Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 9

GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI. GRANICE NIEWŁAŚCIWE W PUNKCIE

1. Granica i ciągłość funkcji w punkcie

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie

S

punktu

x

. Jeżeli dla każdego ciągu

o wyrazach należących do S i zbieżnego do , ciąg wartości funkcji

jest zbieżny do

0

(

( f

)

(

n

x

x

0

))

n

x

g

, to liczbę

g

nazywamy granicą funkcji

f

w punkcie

. Zapisujemy wtedy

x

0

g

x

x

f

x





lim

)

(

0

.

Jeżeli w powyższej definicji sąsiedztwo S punktu

x

zastąpimy sąsiedztwem lewostronnym

(lub

prawostronnym

) , to otrzymamy definicję granicy lewostronnej (lub prawostronnej) funkcji

0



S



S

f

w punkcie

x

.

Stosujemy przy tym zapis:

(lub zapis:

).

0

)

(

lim

0

x

f

x

x





lim ( )

x

x

f x





0

Granicę lewostronną i prawostronną nazywamy granicami jednostronnymi. Ilustrację granic

jednostronnych przedstawiono na rys.1.

Y

X

0

x

)

(

1

x

f

g

2

x

1

x

n

x

)

(

2

x

f

)

(

n

x

f

)

(x

f

y



g

x

f

x

x







)

(

lim

0

Y

X

0

x

)

(

1

x

f

g

2

x

1

x

n

x

)

(

2

x

f

)

(

n

x

f

)

(x

f

y



g

x

f

x

x







)

(

lim

0

Rys. 1.

Twierdzenie.

Funkcja f posiada w punkcie

granicę wtedy i tylko wtedy gdy istnieją obie granice

jednostronne i są sobie równe.

0

x

)

)

(

lim

)

(

lim

(

)

(

lim

0

0

0

g

x

f

x

f

g

x

f

x

x

x

x

x

x



















.

Twierdzenie.

Jeżeli

p

x

g

g

x

f

x

x

x

x









)

(

lim

i

)

(

lim

0

0

, to









.

0

i

0

)

(

ile

o

lim

.

3

,

)

(

)

(

lim

.

2

,

)

(

)

(

lim

.

1

0

0

0





















p

x

g

p

g

=

g(x)

f(x)

p

g

x

g

x

f

p

g

x

g

x

f

x

x

x

x

x

x

Uwaga.

Analogiczne twierdzenia można sformułować dla granic jednostronnych.

Przykład 1.

Obliczyć: a)

, b)

,

c)

x

x

6

lim

3



)

1

4

(

lim

2

2







x

x

x

1

5

lim

2









x

x

x

.

Rozwiązanie. Korzystając z definicji i powyższego twierdzenia mamy
a)

, b)

,

18

3

6

6

lim

3









x

x

13

1

2

4

2

2

)

1

4

(

lim

)

1

4

(

lim

2

2

2





























x

x

x

x

x

x

x

c)

1

1

2

5

2

1

5

lim

2























x

x

x

.

Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie

2

Uwaga

. Funkcja f określona w pewnym otoczeniu U

punktu jest ciągła w tym punkcie, jeżeli dla każdego
ciągu

o wyrazach należących do

i zbie nego do , ciąg wartości funkcji

jest

zbież

.

Ilustrację warunku przedstawiono na rys. 2.

)

Obliczenie

każdej z powyższych granic sprowadziło się, formalnie, do podstawienia we wzorze funkcji

wartości

w miejsce x. Okazało się więc, że granica

jest liczbą równą

.

0

x

)

(

lim

0

x

f

x

x



(

0

x

f

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U punktu

(tzn. zarówno w punkcie

x

jak

i pewnym jego sąsiedztwie). Jeżeli

x

0

0

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x





, to funkcję nazywać będziemy ciągłą w punkcie .

x

0

Jeżeli natomiast zachodzi tylko jeden z warunków:

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x







x

0

lub

, to funkcję

nazywać będziemy odpowiednio: lewostronnie ciągłą w punkcie lub prawostronnie ciągłą w punkcie

.

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x







x

0

Y

X

0

x

n

x

)

(

0

x

f

)

(

n

x

f

)

(x

f

y



)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x





x

0

)

n

x

do

}

{

\

0

x

U

S



))

(

(

n

x

f

(

ż

ny

x

0

)

0

x

(

f

Rys. 2.

Funkcję f nazywamy ciągłą na przedziale

)

;

(

b

a

I



, jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie tego

przedziału. Gdy

b

a

I

;



, to funkcję nazywamy ciągłą w tym przedziale, jeżeli dodatkowo jest ona ciągła

prawostronnie w punkcie a i lewostronnie w punkcie b.

Twierdzenie.

Każda funkcja elementarna jest ciągła w swojej naturalnej dziedzinie.

Uwaga.

Z powyższego twierdzenia, stanowiącego jedno z fundamentalnych twierdzeń analizy

matematycznej wynika, że dla funkcji elementarnej obliczanie granic:

,

,

, w przypadku gdy

, sprowadza się do obliczenia wartości

.

)

(

lim

0

x

f

x

x



f

)

(

lim

0

x

f

x

x





)

0

x

f

D

x



0

(

)

(

lim

0

x

f

x

x





Przykład 2.

Obliczyć: a)

4

2

3

lim

2









x

x

x

, b)

, c)

x

x

e





3

lim

0

)

2

arctg

4

(

lim

2

1

x

x

x





,

d)

, e)

)

4

ln(

lim

0

x

e

x

x









)

cos

(sin

lim

4

x

x

x











.

Rozwiązanie. We wszystkich przypadkach mamy do czynienia z granicą funkcji elementarnej w punkcie
należącym do dziedziny. Zatem

a)

3

2

4

2

2

6

4

2

3

lim

2





















x

x

x

, b)

,

c)

3

3

3

lim

0

0









e

e

x

x

4

2

1

arctg

2

)

2

arctg

4

(

lim

2

1















x

x

x

,

d)

, e)

0

1

ln

)

4

ln(

lim

0













x

e

x

x

1

1

0

4

cos

4

sin

)

cos

(sin

lim

4

























x

x

x

.

Powyższą metodę daje się zastosować do obliczania granic niektórych funkcji określonych w pewnym

sąsiedztwie punktu

, lecz nieokreślonych w samym punkcie.

0

x

Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie

3

Twierdzenie. Jeżeli

w pewnym sąsiedztwie S punktu

oraz

,

)

(

)

(

x

g

x

f



0

x

g

x

g

x

x





)

(

lim

0

to

.

g

x

g

x

f

x

x

x

x









)

(

lim

)

(

lim

0

0

Przykład 3. Obliczyć: a)

4

16

lim

2

4







x

x

x

, b)

x

x

x

x

sin

cos

2

cos

lim

4







, c)

2

2

lim

2

2











x

x

x

x

.

Rozwiązanie. W Każdym z przypadków obliczenie wartości

prowadzi do symbolu nieoznaczonego

)

(

0

x

f

]

[

0

0

. Aby obliczyć granice przekształcimy dane funkcje tak, aby uniknąć nieoznaczoności.

a) Dla

mamy

x

 4

4

4

)

4

)(

4

(

4

16

)

(

2



















x

x

x

x

x

x

x

f

, zatem

8

)

4

(

lim

4

16

lim

4

2

4















x

x

x

x

x

.

b) Postępując podobnie (przekształcenia funkcji dokonujemy pod znakiem granicy) otrzymujemy

x

x

x

x

x

x

x

x

x

sin

cos

sin

cos

lim

0

0

sin

cos

2

cos

lim

2

2

4

4

]

[



















2

)

sin

(cos

lim

sin

cos

)

sin

)(cos

sin

(cos

lim

4

4



















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





.

c)

3

)

1

(

lim

2

)

1

)(

2

(

lim

0

0

2

2

lim

2

2

2

2

]

[





































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

2. Własności funkcji ciągłych

Twierdzenie

Darboux

(o przyjmowaniu wartości pośredniej). Jeżeli funkcja

f

jest ciągła w przedziale

domkniętym

b

a ;

przy czym

, to dla każdej wartości p leżącej między istnieje

taki argument

, że

.

)

(

)

(

b

f

a

f



p

x



)

(

0

)

(

i

)

(

b

f

a

f

)

;

(

0

b

a

x



f

Uwaga.

Powyższe twierdzenie formułuje się często

w następującej wersji: Jeżeli funkcja

Y

X

a

0

x

b

f a

( )

f b

( )

f

jest ciągła

w przedziale

b

a ;

, a ponadto

0

)

(

(



)

 b

a

f

)

f

(tzn. f

przyjmuje na końcach przedziału wartości różnych znaków), to
istnieje taki argument

0

;

( b

a

x



, że

0

. Interpretację

geometryczną tej wersji twierdzenia przedstawia rys. 3.

f

0

)

(



x

Z własności tej korzystamy szukając pierwiastka równania

tzw. metodą połowienia.

0

)

(



x

f

Rys. 3.

Przykład 4.

Wyznaczyć z dokładnością do 0,1 pierwiastek równania

.

0

1

2

3





 x

x

Rozwiązanie. Przyjmijmy

. Funkcja ta jest ciągła w zbiorze R oraz

,

. Stąd wynika, że miejsce zerowe funkcji f (pierwiastek równania) znajduje się w przedziale

. Środkiem tego przedziału jest

1

2

)

(

3







x

x

x

f

0

1

)

0

(







f

0

2

)

1

(





f

)

1

;

0

(

2

1



x

, przy czym

0

8

1

)

2

1

(





f

. Oznacza to, że pierwiastek znajduje

się w przedziale

)

2

1

;

0

(

. Postępując podobnie ( patrz rys.4.) otrzymujemy

0



64

31

)

4

1

(





f

, czyli

pierwiastek

Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie

4

)

2

1

;

4

1

(

znajduje się w przedziale

. Dalej mamy

kolejne przedziały, w których
znajduje się pierwiastek
równania

0

1
4

3

8

7

16

1
2

1

Znak f (x)

+

+

 

1

16

Rys. 4.

0

512

101

)

8

3

(







f

. Przyjmując za przybliżoną

wartość pierwiastka środek przedziału

)

2

1

;

8

3

(

tj.

punkt

16

7

0



x

, poszukiwania możemy zakończyć,

gdyż błąd przybliżenia nie przekracza

16

1





.

Y

X

M

m

1

x

a



2

x

b

)

(x

f

y



f

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja jest ciągła

w przedziale domkniętym a ;b , to jest w nim
ograniczona oraz istnieją w tym przedziale punkty

, dla których

, gdzie m

, M oznaczają odpowiednio wartość najmniejszą
i największą funkcji w przedziale.

2

1

, x

x

M

x

f

m

x

f





)

(

,

)

(

2

1

Rys. 5.

Ilustrację twierdzenia przedstawia rys.5.

3. Granice niewłaściwe w punkcie

Niech

f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie

punktu

.



S

0

x

Jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach należących do

i zbieżnego do ciąg wartości funkcji

jest rozbieżny do

)

(

n

x



S

x

0

))

(

(

n

x

f



(jest rozbieżny do

 

), to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie

x

0

lewostronną granicę niewłaściwą

(lewostronną granicę niewłaściwą



 

). Zapisujemy wtedy

(







)

(

lim

0

x

f

x

x







)

(

lim

0

x

f

x

x

)

.

Uwaga.

Zastępując w powyższej definicji sąsiedztwo

punktu

sąsiedztwem

otrzymamy

definicję prawostronnej granicy niewłaściwej oraz prawostronnej asymptoty pionowej.



S

0

x



S

Ilustrację jednostronnych granic niewłaściwych przedstawia rys. 6.

Y

X

0

x

n

x

)

(

n

x

f

)

(x

f

y











)

(

lim

0

x

f

x

x

Y

X

0

x

n

x

)

(

n

x

f

)

(x

f

y











)

(

lim

0

x

f

x

x

Rys. 6

Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie

5

Wykaz najczęściej spotykanych granic niewłaściwych zapisanych w postaci symbolicznej

Granica Uogólnienie Zapis

symboliczny









x

x

1

lim

0

Jeżeli i

, to

0

)

(

lim

0





x

u

x

x

0

)

(



x

u







)

(

1

lim

0

x

u

x

x

.







]

[

0

1









x

x

1

lim

0

Jeżeli i

0

)

(

lim

0





x

u

x

x

0

)

(



x

u

, to







)

(

1

lim

0

x

u

x

x

.







]

[

0

1









x

x

ln

lim

0

Jeżeli i

, to

0

)

(

lim

0





x

u

x

x

0

)

(



x

u







)

(

ln

lim

0

x

u

x

x

.







]

0

[ln

Uwaga. We wszystkich warunkach występujących w kolumnie: "Uogólnienie" przejście graniczne

może być zastąpione dowolnym innym (zarówno przejściami

jak i tymi, które

omówione zostaną w następnych paragrafach).

0

x

x











0

0

,

x

x

x

x

Przykład 5.

Obliczyć: a)

4

2

4

lim

2







x

x

x

, b)

1

2

5

lim

2

1









x

x

x

, c)

1

2

5

lim

2

1











x

x

x

, d)

1

2

4

lim

0









x

x

e

x

.

Rozwiązanie

. a)















]

[

0

8

4

2

4

lim

2

x

x

x

, b)

















]

[

0

7

1

2

5

lim

2

1

x

x

x

,

c)





















]

[

0

3

1

2

5

lim

2

1

x

x

x

, d)



















]

[

0

2

1

2

4

lim

0

x

x

e

x

.