Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 11
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Pochodna funkcji. Podstawowe wzory
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu
)
;
(
0
x
U
punktu
x
i niech
. Załóżmy,
że
. Wówczas wyrażenie
0
U
x
0
0
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
f
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie odpowiadającym przyrostowi argumentu o
x
0
x
.
Jeżeli istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego przy
0
x
, to nazywamy ją pochodną funkcji
f w punkcie
i oznaczamy symbolem
.
0
x
)
(
0
/
x
f
Zatem
0
0
0
0
0
0
/
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
.
O funkcji mającej pochodną w danym punkcie mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.
Funkcję f nazywamy różniczkowalną w przedziale I , gdy posiada pochodną w każdym punkcie tego
przedziału.
Przykład 1.
Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć
) , jeżeli:
(
0
/
x
f
a)
x
x
f
)
(
,
b)
2
)
(
x
x
f
, c)
x
x
f
sin
)
(
, d)
x
x
f
ln
)
(
.
Rozwiązanie.
a)
1
1
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
/
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
.
b)
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
2
0
2
0
0
0
0
0
0
/
)
(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
2
)
2
(
lim
)
2
(
lim
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
c)
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
0
0
0
0
0
0
0
/
sin
)
sin(
lim
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
cos
2
2
cos
2
2
sin
lim
2
2
cos
2
sin
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
(W obliczeniach skorzystaliśmy ze wzoru:
2
cos
2
sin
2
sin
sin
i wzoru:
1
sin
lim
0
t
t
t
).
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
2
d) Niech
. Wówczas
0
0
x
lim
)
0
]
ln
)
[ln(
1
lim
ln
)
ln(
lim
)
(
)
(
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
/
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
ln
1
1
ln
lim
1
ln
lim
1
ln
1
lim
ln
1
lim
0
0
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
o
.
Wzory podstawowe rachunku różniczkowego
1.
, (c - dowolna stała),
0
)
(
/
c
2.
, (
1
/
)
(
x
x
- dowolna stała),
Najczęściej stosowane przypadki tego wzoru:
2
/
/
2
/
3
/
2
/
1
)
1
(
,
2
1
)
(
,
3
)
(
,
2
)
(
,
1
)
(
,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.
, 4. (
,
5.
x
x
2
/
cos
1
)
tg
x
x
cos
)
sin
(
/
x
x
sin
)
cos
/
(
,
6.
Przykład 2.
Obliczyć pochodną funkcji:
a)
, b)
7
)
(
x
x
f
x
x
x
f (
,
c)
)
3
1
)
(
x
x
f
, d)
4
)
(
x
x
f
, e)
3
2
1
)
(
x
x
f
.
Rozwiązanie.
a) Stosując wzór o pochodnej funkcji potęgowej mamy
6
1
7
7x
.
/
7
/
7
)
(
)
(
x
x
x
f
b) Zapisując funkcję w postaci
2
)
(
x
x
f
mamy
3
x
3
2
.
x
x
x
f
2
2
3
2
3
)
(
1
1
2
3
/
c) Ponieważ
3
)
(
x
x
, to
f
4
4
3
.
1
3
/
3
/
3
3
)
(
)
(
x
x
x
x
x
f
d) Nadając danej funkcji postać
4
)
(
x
x
otrzymujemy
1
f
4
3
1
.
4
3
1
4
1
/
4
1
/
4
4
1
4
1
)
(
)
(
x
x
x
x
x
f
e) Ponieważ
3
)
(
x
x
, to
2
f
3
5
2
.
3
5
1
3
2
/
3
2
/
3
3
2
3
2
)
(
)
(
x
x
x
x
x
f
x
x
2
/
sin
1
)
ctg
(
,
7.
2
/
1
1
)
arcsin
2
/
1
1
)
arccos
(
, 8.
x
x
(
,
x
x
2
/
1
1
)
arctg
(
x
x
2
/
1
1
)
arcctg
(
x
x
9.
, 10.
,
11.
(
,
12.
, 13.
x
x
e
e
/
)
a
a
a
x
x
ln
)
(
/
x
x
1
)
ln
(
, 14.
/
a
x ln
1
x
a
)
log
(
/
.
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
3
2. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Iloraz
różnicowy oraz pochodna funkcji w punkcie mają prostą interpretację geometryczną.
Z faktu, że równanie prostej przechodzącej przez
punkty ma przy
postać
M
0
M
x
0
x
x
0
f x
x
(
)
0
f x
( )
0
Y
X
y
f x
( )
x
l
)
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1
y
x
P
y
x
P
2
1
x
x
)
(
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
wynika, że równanie prostej siecznej przechodzącej
przez punkty
i
))
(
,
(
0
0
0
x
f
x
M
))
(
,
(
0
0
x
x
f
x
x
M
leżące na krzywej
)
(x
f
y
, wyraża się wzorem:
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
y
.
Ilustrację geometryczną przedstawia rys.1.
Rys. 1
Z otrzymanego wzoru wynika, że współczynnik kierunkowy prostej
, będący tangensem jej kąta
nachylenia do osi OX, jest równy ilorazowi różnicowemu funkcji f w punkcie
.
M
M
0
0
x
M
0
M
x
0
x
x
0
f x
x
(
)
0
f x
( )
0
Y
X
y
f x
( )
x
l
0
l
Rys.
2
Twierdzenie. Funkcja f posiada pochodną w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje styczna do
wykresu tej funkcji
w punkcie
, której równanie ma postać:
x
0
))
(
,
(
0
0
x
f
x
M
)
)(
(
)
(
0
0
/
0
x
x
x
f
x
f
y
.
Przykład 3.
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie o odciętej
2
)
(
x
x
f
1
0
x
.
Sporządzić wykres stycznej i funkcji.
Y
X
y
x
2
y
x
2
1
-
1
1
Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
, to jest ciągła w tym punkcie.
x
0
Rozwiązanie. Mamy tutaj
.
2
2
)
(
,
1
)
(
,
1
0
0
/
0
0
x
x
f
x
f
x
Równanie szukanej stycznej przyjmie więc postać: )
1
(
2
1
x
y
,
a po uporządkowaniu 1
2
x
y
.
Ilustrację graficzną przedstawiono na rys.3.
Rys. 3
Załóżmy teraz, że 0
x
M
(
). Wówczas punkt M
zmierza po krzywej do punktu
, a sieczna przechodząca
przez punkty
dąży do pewnego granicznego poło-
żenia (patrz rys.2), którym jest prosta przechodząca przez
i posiadająca współczynnik kierunkowy:
0
x
x
0
M
M
0
i
0
M
)
(
)
(
)
(
lim
0
/
0
0
0
x
f
x
x
f
x
x
f
a
x
.
Prostą tę nazywamy styczną do krzywej
w punkcie
.
)
(x
f
y
))
(
,
(
0
0
x
f
x
M
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
4
Y
X
y
x
2
3
O
Rys. 4
Uwaga.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład
funkcja
3
2
)
(
x
x
f
jest ciągła w każdym punkcie, w szczególno-
ści w punkcie
0
0
x
, lecz w punkcie tym pochodna nie istnieje
(wykres nie posiada stycznej w punkcie (0,0) ). Wykres funkcji
przedstawiony został na rys.4.
2. Reguły różniczkowania
Twierdzenie.
Jeżeli istnieją pochodne
, to
f x
g x
/
/
( )
( )
i
a) [
, b) [
, gdzie k-stała,
( )
( )]
( )
( )
/
/
/
f x
g x
f x
g x
( )]
( )
/
/
k f x
k f
x
c) [
, d)
( )
( )]
( )
( )
( )
( )
f x g x
f x g x
f x g x
/
/
/
2
/
/
/
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
, o ile
.
0
)
(
x
g
Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji:
a)
, b)
5
4
)
(
x
x
f
x
x
f
ln
2
)
(
,
c)
, d)
f x
x
e
x
( )
2
3
2
x
x
x
f
3
sin
5
)
(
, e)
x
f
)
(
x
e
x
2
,
f)
, g)
x
x
x
f
ln
4
)
(
3
3
1
2
)
(
2
x
x
x
x
f
, h)
x
x
x
x
f (
, i)
cos
2
sin
)
2
4
cos
2
)
(
f
.
3
2
x
x
x
x
Rozwiązanie.
Na podstawie wzoru o pochodnej iloczynu funkcji przez stałą dostajemy
a)
4
4
20x
.
/
5
/
5
/
5
4
)
(
4
)
4
(
)
(
x
x
x
x
f
b)
x
x
2
)
/
.
x
x
f
(ln
2
)
ln
2
(
)
(
/
/
Stosując dodatkowo wzór o pochodnej sumy lub różnicy funkcji mamy
c)
x
e
x
4
3 .
f x
x
e
x
e
x
x
/
/
/
/
( ) (
)
(
)
( )
2
3
2
3
2
2
d)
x
x
3
.
x
x
x
x
x
f
2
cos
5
)
(
3
)
(sin
5
)
3
sin
5
(
)
(
/
/
/
/
Korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy
e)
x
e
x
x
)
2
.
x
x
x
x
x
e
x
xe
e
x
e
x
e
x
x
f
2
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
/
2
/
2
/
2
/
f)
2
4x
x
.
2
3
2
/
3
/
3
/
3
/
ln
12
1
4
ln
12
)
(ln
4
ln
)
4
(
)
ln
4
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
Na podstawie wzoru o pochodnej ilorazu funkcji mamy
g)
2
/
2
/
2
/
2
/
)
3
(
)
3
)(
1
2
(
)
3
(
)
1
2
(
3
1
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
2
2
)
3
(
7
6
)
3
(
)
1
2
(
)
3
)(
2
2
(
x
x
x
x
x
x
x
x
.
h)
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
/
2
/
2
/
2
/
cos
)(cos
2
(sin
cos
)
2
(sin
cos
2
sin
)
(
x
x
x
x
x
x
x
2
2
cos
sin
)
2
(sin
cos
)
4
(cos
.
Stosując wzór o pochodnej ilorazu, a następnie iloczynu funkcji otrzymujemy
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
5
i)
2
3
/
3
2
3
/
2
/
3
2
/
)
4
(
)
4
)(
cos
2
(
)
4
(
)
cos
2
(
4
cos
2
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
3
2
2
3
2
)
4
(
3
)
cos
2
(
)
4
)(
sin
2
cos
4
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Twierdzenie.
Jeżeli u jest funkcją określoną i różniczkowalną w pewnym przedziale
i przekształcającą ten przedział w przedział
) oraz f jest funkcją różniczkowalną w przedziale
,
to istnieje pochodna funkcji złożonej
w każdym punkcie
)
;
( b
a
;
(
d
c
)
;
(
d
c
u
f
)
;
(
b
a
x
i wyraża się ona wzorem
)
(
))
(
(
))]
(
(
[
)
(
)
(
/
/
/
/
x
u
x
u
f
x
u
f
x
u
f
.
Uwaga.
Powyższy wzór stosujemy najczęściej w przypadku, gdy f jest jedną z funkcji występujących
po lewej stronie wzorów podstawowych, natomiast u jest dowolną funkcją zmiennej x. Twierdzenie można
wtedy wyrazić w następujący sposób:
Jeżeli we wzorze podstawowym rachunku różniczkowego argument x zastąpić pewną funkcją
)
(x
u
u
,
to aby uzyskać pochodną takiej funkcji złożonej należy analogicznej modyfikacji dokonać po prawej stronie
wzoru i dodatkowo otrzymane wyrażenie pomnożyć przez
.
)
(
/
x
u
Najczęściej używane wzory rachunku różniczkowego w postaci zmodyfikowanej
(
we wzorach
oznacza dowolną funkcję zmiennej x)
)
(x
u
u
1.
2.
3
, 3.
/
/
2
1
)
(
u
u
u
/
/
2
/
2
/
2
)
(
u
u
u
3
)
(
u
u
u
,
4.
, 5.
, 6.
/
2
/
cos
1
)
tg
(
u
u
u
/
/
cos
)
sin
(
u
u
u
/
/
sin
)
cos
(
u
u
u
,
/
/
1
)
ln
(
u
u
u
/
2
/
1
1
)
arctg
(
u
u
u
, 8.
, 9.
/
/
)
(
u
e
e
u
u
.
7.
Przykład 5. Obliczyć pochodną funkcji:
a)
, b)
x
x
f
5
sin
)
(
5
3
2
)
(
2
x
x
x
f
, c)
, d)
,
2
3
2
)
(
x
x
e
x
f
)
5
3
ln(
)
(
x
x
f
e) , f)
, g)
, h)
)
arctg(
)
(
2
x
x
x
f
x
x
f
2
sin
)
(
x
e
x
f
x
2
cos
)
(
3
x
x
x
x
x
f
2
sin
3
5
cos
4
)
(
.
Rozwiązanie.
a) Przyjmując
na podstawie wzoru 4. mamy
.
x
u 5
x
x
x
x
x
f
5
cos
5
)
5
(
5
cos
)
5
(sin
)
(
/
/
/
b) Korzystając ze wzoru 3. dla
5
3
mamy
2
2
x
x
u
5
3
2
2
4
)
5
3
2
(
5
3
2
2
1
)
5
3
2
(
)
(
2
/
2
2
/
2
/
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
.
c) Stosując wzór 8. przy
2
3
dostajemy
2
x
x
u
.
2
3
/
2
2
3
/
2
3
/
2
2
2
)
3
2
(
)
2
3
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
e
e
x
f
d) Na podstawie wzoru 9. przyjmując
5
3
x
u
mamy
5
3
3
)
5
3
(
5
3
1
)]
5
3
[ln(
)
(
/
/
/
x
x
x
x
x
f
.
e) Ze wzoru 7. dla
dostajemy
x
x
u
2
2
2
/
2
2
2
/
)]
x
2
/
)
(
1
1
2
)
(
(
arctg
[
)
(
x
x
x
x
x
x
x
f
1
)
(
1
x
x
.
f) We wzorze 1. przyjmując
dostajemy
x
u
sin
x
x
x
x
x
x
x
f
2
sin
cos
sin
2
)
(sin
sin
2
)
(sin
)
(
/
/
2
/
.
Wykład 11. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
6
g) Korzystając najpierw ze wzoru o pochodnej iloczynu, a następnie o pochodnej funkcji złożonej mamy
/
3
/
3
/
3
/
3
/
3
/
)
2
)(
2
sin
(
2
cos
)
3
(
)
2
(cos
2
cos
)
(
)
2
cos
(
)
(
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
x
e
x
f
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
x
2
sin
2
2
cos
3
3
3
.
h) Stosując wzór o pochodnej ilorazu i pochodnej funkcji złożonej mamy
2
/
/
/
/
)
2
sin
3
(
)
2
sin
3
)(
5
cos
4
(
)
2
sin
3
(
)
5
cos
4
(
2
sin
3
5
cos
4
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
)
2
sin
3
(
)
2
cos
2
3
)(
5
cos
4
(
)
2
sin
3
)(
5
sin
5
4
(
x
x
x
x
x
x
x
x
.
3. Pochodne wyższych rzędów
Przypuśćmy, że funkcja f posiada pochodną
w pewnym przedziale I oraz funkcja
jest róż-
niczkowalna na tym przedziale. Wówczas jej pochodną
oznaczamy przez
i nazywamy drugą
pochodną
lub pochodną drugiego rzędu funkcji f.
/
f
/
f
/
/
)
( f
//
f
Podobnie określamy pochodną rzędu n (n-tą pochodną):
. Definicja ta ma więc charak-
ter indukcyjny.
/
)
1
(
)
(
)
(
n
n
f
f
Przykład 6. Wyznaczyć
) , jeżeli
(
//
x
f
x
x
x
f
arctg
)
(
.
Rozwiązanie. Ponieważ
2
/
/
/
/
1
arctg
)
arctg
(
arctg
)
(
)
arctg
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
, to na podstawie
definicji drugiej pochodnej mamy:
2
2
/
2
2
/
2
/
2
/
/
2
//
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
)
1
(
)
arctg
(
)
1
arctg
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
2
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
1
)
1
(
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Przykład 7.
Wyznaczyć
) , jeżeli
.
(
///
x
f
x
e
x
x
f
3
)
(
Rozwiązanie. Mamy tutaj kolejno
x
x
x
x
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
x
f
)
3
(
3
)
(
)
(
)
(
)
(
2
3
3
2
/
3
/
3
/
3
/
,
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
x
f
)
6
6
(
)
3
(
)
6
3
(
)
)(
3
(
)
3
(
]
)
3
[(
)
(
2
3
2
3
2
/
2
3
/
2
3
/
2
3
/
,
/
2
3
/
2
3
/
2
3
///
)
)(
6
6
(
)
6
6
(
]
)
6
6
[(
)
(
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
x
x
f
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
)
6
18
9
(
)
6
6
(
)
6
12
3
(
2
3
2
3
2
.
Przykład 8.
Obliczyć kilka kolejnych pochodnych funkcji
)
1
ln(
)
(
x
x
f
, a następnie podać wzór na
pochodną
.
)
(
)
(
x
f
n
Rozwiązanie. Otrzymujemy tutaj kolejno
x
x
x
f
1
1
))
1
(ln(
)
(
/
/
,
,
,
2
/
1
//
)
1
(
1
]
)
1
[(
)
(
x
x
x
f
3
/
2
///
)
1
(
2
1
]
)
1
(
[
)
(
x
x
x
f
4
/
3
)
4
(
)
1
(
3
2
1
]
)
1
(
2
1
[
)
(
x
x
x
f
.
Ogólnie
n
n
n
x
n
x
f
)
1
(
)!
1
(
)
1
(
)
(
1
)
(
.