Slajd  

1/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcje liczbowe

Wykład 7

Slajd  

2/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Określenie funkcji

Funkcją ze zbioru X w zbiór Y  nazywamy 
przyporządkowanie każdemu elementowi x ze 
zbioru X dokładnie jednej wartości y ze zbioru Y. 

Zapisujemy wtedy  f: X Y  lub y = f(x), 

xX.
 Wartość funkcji  f  w punkcie x oznaczamy  
f(x).

Slajd  

3/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór 

wartości funkcji

Zbiór X nazywa się dziedziną funkcji f  lub 
zbiorem argumentów funkcji f. 

Zbiór Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji 
f. 

Zbiór W

f

 zawierający się w Y złożony z tych 

elementów y  Y, dla którego istnieje x  X takie, 

że y = f(x), nazywa się zbiorem wartości 
funkcji. 

Zbiór wartości nie musi być identyczny z całą 
przeciwdziedziną.

Slajd  

4/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Dziedzina naturalna 

funkcji

Funkcję określać będziemy najczęściej za pomocą 
wzoru (wzorów). 

Dziedziną (naturalną  funkcji) nazywać 
będziemy zbiór wszystkich x, dla których prawa 
strona wzoru ma określoną wartość i oznaczać 
symbolem  D  lub D

f

. 

Slajd  

5/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji 
określonej wzorem:

2

( )

4

3.

f x

x

x

= -

+ -

2

D =

 

 +

 



 

 

 

 

 

X

 

3

1



Dziedziną funkcji jest 
przedział: [1;3].

2

{

;

4

3 0}

D

x R

x

x

= �

-

+ - �

16 12 4,

D= -

=

1

4 2

3

2

x

- -

=

=

-

2

4 2

1

2

x

- +

=

=

-

 

 

Slajd  

6/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Wykres funkcji

Wykresem funkcji  f  

nazywamy zbiór punktów 

płaszczyzny  XOY,  których 

współrzędne  x, y  spełniają 

warunek:  xD,  y = f(x). 

Jeżeli liczba zero należy do 
dziedziny funkcji  f , to punkt 
(0, f(0))  jest punktem 
przecięcia się wykresu z osią  
OY.

Rzędne punktów przecięcia się wykresu z osią  OX  
są równe y = 0.

P(x,f(x)
)

x

 x

0

 f 
(0)

Odcięte (miejsca zerowe funkcji) otrzymujemy 
rozwiązując równanie f(x) = 0.

Slajd  

7/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R  będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję nazywać 
będziemy  rosnącą w 
zbiorze X, jeżeli 
spełniony jest warunek: 

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

<

�

<

�

   

Y 

O 

X 

y

f x

 ( )

 

x

1

 

x

2

 

f x

( )

2

 

f x

( )

1

 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



 

Slajd  

8/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R  będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję nazywać 
będziemy  niemalejącą 
w zbiorze X, jeżeli 
spełniony jest warunek: 

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

ޣ

<

�

   

Y 

O 

X 

y

f x

 ( )

 

x

1

 

x

2

 

f x

( )

2

 

f x

( )

1

 

1

2

( )

( )

f x

f x



 

Slajd  

9/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R  będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję nazywać 
będziemy  malejącą w 
zbiorze X, jeżeli 
spełniony jest warunek: 

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

<

�

<

�

   

Y 

O 

X 

y

f x

 ( )

 

x

1

 

x

2

 

f x

( )

1

 

f x

( )

2

 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



 

Slajd  

10/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Niech f: X R  będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję nazywać 
będziemy  nierosnącą w 
zbiorze X, jeżeli 
spełniony jest warunek: 

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

ޣ

<

�

   

Y 

O 

X 

y

f x

 ( )

 

x

1

 

x

2

 

f x

( )

1

 

f x

( )

2

 

1

2

( )

( )

f x

f x



 

Slajd  

11/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

Funkcję nazywamy monotoniczną, jeżeli w 
całej swojej dziedzinie jest rosnąca lub 
malejąca lub nierosnąca lub niemalejąca lub 
stała.

Slajd  

12/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Monotoniczność funkcji

  

 

Y 

X 

 

O 

Funkcję nazywamy przedziałami 
monotoniczną, jeżeli jej dziedzinę można 
przedstawić w postaci sumy przedziałów, na 
których  jest rosnąca lub malejąca lub 
nierosnąca lub niemalejąca lub stała.

Slajd  

13/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać monotoniczność funkcji określonej 
wzorem:

( )

1

x

f x

x

=

+

w zbiorze

(0;

).

X = +�

Niech x

1

 < x

2

,  czyli  x

2

 – x

1

 > 0.

Zbadamy różnicę:

2

1

( )

( )

f x

f x

-

=

2

2

1

x

x

+

1

1

1

x

x

-

=

+

2

1

(1

)(1

)

x

x

=

+

+

2

2 1

x

x x

+

1

1 2

x x x

-

-

2

1

2

1

(1

)(1

)

x

x

x

x

-

+

+

W rozpatrywanym zbiorze X wyrażenie to jest 
dodatnie.

2

1

1

2

( )

( ) 0 czyli ( )

( ).

f x

f x

f x

f x

-

<

<

Badana funkcja w zbiorze X  jest 
rosnąca.

Slajd  

14/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać monotoniczność funkcji określonej 
wzorem:

2

( )

f x

x

=

w zbiorze

.

X R

=

Niech x

1

 < x

2

,  czyli  x

2

 – x

1

 > 0.

Zbadamy różnicę:

2

1

( )

( )

f x

f x

-

=

2

2

2

1

x

x

-

=

2

1

2

1

(

)(

)

x

x x

x

-

+

Zauważmy, 
że 

Badana funkcja jest rosnąca w 
przedziale (0; +)  i malejąca w 

przedziale (- ;0).

1. jeżeli x

1

, x

2 

 (0; +), to 

2

1

1

2

( )

( ) 0 czyli ( )

( ),

f x

f x

f x

f x

-

<

<

2. jeżeli x

1

, x

2

  (- ;0), to 

2

1

1

2

( )

( ) 0 czyli ( )

( ).

f x

f x

f x

f x

-

<

<

Slajd  

15/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji i na jego podstawie określić 
monotoniczność,  jeżeli:

( )

.

f x

x x

= -

Zauważmy, 
że

( )

f x

�

=�

�

dla

0,

x<

dla

0.

x�

Badana funkcja jest nierosnąca w 
zbiorze R.

2x

-

0

Slajd  

16/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji i na jego podstawie określić 
monotoniczność,  jeżeli:

( ) max{1, }.

f x

x

=

Zauważmy, 
że

( )

f x

�

=�

�

dla

1,

x<

dla

1.

x�

Badana funkcja jest niemalejąca w 
zbiorze R.

1

x

Slajd  

17/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji i na jego podstawie określić 
monotoniczność,  jeżeli:

2

( ) min{1, }.

f x

x

=

Zauważmy, 
że

( )

f x

�

=�

�

dla 1

1,

x

- < <

dla pozost. .

x

2

x

1

Badana funkcja jest przedziałami 
monotoniczna.

W przedziale (-1;0) funkcja jest malejąca, w 
przedziale (0;1) – rosnąca, w przedziałach: (-; 

-1) oraz (1; +) – stała.

Slajd  

18/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Różnowartościowość 

funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję nazywać będziemy  różnowartościową w 
zbiorze X, jeżeli spełniony jest warunek: 

1

2

1

2

,

1 2

(

)

( ( )

( ))

x x X

x

x

f x

f x

�

ޣ�

�

W praktyce wygodnie jest rozpatrywać warunek 
równoważny:

1

2

1

2

,

1 2

( ( )

( ))

(

)

x x X

f x

f x

x

x

�

=

�

=

�

Slajd  

19/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Różnowartościowość 

funkcji

Każda funkcja ściśle monotoniczna (rosnąca, 
malejąca) jest różnowartościowa.

Slajd  

20/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać różnowartościowość funkcji określonej 
wzorem:

3

( )

f x

x

=

w zbiorze

.

X R

=

Niech x

1

  x

2

,  czyli  x

2

 – 

x

1

  0.

2

1

( )

( )

f x

f x

-

=

3

3

2

1

x

x

-

=

2

2

2

1

2

2 1

1

(

)(

)

x

x x

x x x

-

+

+

Zauważmy, że jeżeli przynajmniej jedna z liczb 
x

1

, x

2  

jest różna od zera, to wyrażenie w drugim 

nawiasie jest dodatnie.

Badana funkcja jest 
różnowartościowa.

0.

�

Slajd  

21/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja „na”

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

=

��

Inaczej

.

f

W

Y

=

Funkcja  f  odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co 
zapisujemy w postaci  f: X   Y  wtedy i tylko 

wtedy, gdy 

na

Slajd  

22/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać czy dana funkcja  f: X   Y jest „na”, 

jeżeli:

2

( ) log

f x

x

=

(0;

),

.

X

Y R

= +�

=

Niech  y będzie dowolną liczbą ze 
zbioru Y.

Pokażemy, że istnieje x  X takie, że f(x) = y.

Istotnie
:

2

log x y

=

2

y

x

� =

Funkcja  f  jest 
„na”.

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

=

��

Slajd  

23/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać czy dana funkcja  f: X   Y jest „na”, 

jeżeli:

( ) 2

x

f x =

,

[0;

).

X R Y

=

= +�

Pokażemy, że  f  nie jest „na”, tzn.:

Istotnie dla y = 0 mamy:

2

0

x

�

Funkcja  f  nie jest 
„na”.

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

=

��

( )

.

y Y x X

f x

y

� �

�

��

dla każdego x  

R.

Slajd  

24/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Ograniczoność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję tę nazywać będziemy 
ograniczoną z dołu  na zbiorze 
 X , jeżeli spełniony jest 
warunek: 

( )

.

m R x X

f x

m

� �

�

��

  

 

Y 

X 

y

f x

 ( )

 

 y=m

 

 

O 

Wykres funkcji ograniczonej z dołu na 
zbiorze  X  leży powyżej pewnej prostej 
poziomej y = m . 

Slajd  

25/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Ograniczoność funkcji

Niech f: X R będzie funkcją odwzorowującą  

pewien  zbiór  X  w zbiór liczb rzeczywistych  R. 

Funkcję tę nazywać będziemy 
ograniczoną z góry  na zbiorze 
 X , jeżeli spełniony jest 
warunek: 

( )

.

M R x X

f x

M

� �

�

��

  

Y 

X 

y f x

 ( )

 

 y=M

 

 O 

Wykres funkcji ograniczonej 
z góry na zbiorze  X  leży 
poniżej pewnej prostej 
poziomej y = M.

Slajd  

26/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Ograniczoność funkcji

W przypadku, gdy funkcja jest ograniczona z 
dołu i z góry, to nazywamy ją ograniczoną 
na zbiorze. 

  

Y 

X 

y f x

 ( )

 

 y=M

 

 y=m

 

 O 

( )

.

m RM R x X

m f x

M

�

� �

�

�

���

Slajd  

27/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać ograniczoność funkcji określonej 
wzorem:

2

2

( )

1

x

f x

x

=

+

w zbiorze

.

X R

=

Zauważmy, że dla każdego x  R zachodzą 

warunki:

2

(

1)

0

x-

�

2

(

1)

0

x+

�

2

2

1 0

x

x

-

+ �

Przekształcając te nierówności kolejno mamy:

Otrzymaliśmy 
zatem:

2

2

(

1)

x

x

-

�-

+

2

2

1

1

x

x

�

+

2

2

1 0

x

x

+ + �

2

2

(

1)

x

x

�-

+

2

2

1

1

x

x

�-

+

2

2

1

1

1

x R

x

x

�

- �

�

+

�

Funkcja  f  jest 
ograniczona.

( )

.

m RM R x X

m f x

M

�

� �

�

�

���

Slajd  

28/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Zbadać ograniczoność funkcji określonej 
wzorem:

2

1

( )

1

x

f x

x

+

=

+

w zbiorze

[0;

).

X = +�

Zauważmy, że:

2

1

0.

1

x X

x

x

�

+

�

+

�

(

)

~

( )

.

M R x X

f x

M

� �

�

��

Pokażemy, że  f  nie jest 
ograniczona z góry.

1. Jeżeli M < 1, to x = 1 spełnia 

nierówność.

( )

M R x X

f x

M

� �

<

��

2

1

1

x

M

x

+

<

+

Funkcja  f  nie jest 
ograniczona z góry.

( )

.

m R x X

f x

m

� �

�

��

f  jest ograniczona z 
dołu.

2. Jeżeli M  1, to x = M + 1 spełnia 

nierówność.

2

(

1)

1

2

M

M

+

+

+

2

2

2

2

M

M

M

+

+

+

(

2) 2

2

M M

M

+ +

+

2

2

M

M

+

+

Slajd  

29/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Zbiory symetryczne 

względem zera

Zbiór D nazywamy symetrycznym względem 
zera, jeżeli warunek xD pociąga za sobą 

warunek -xD .

 

D = [ -2; 

2]

 -1

 

0

 1

 2

 
3

 4

 -2

 -3

 -4

 -1

 

0

 1

 2

 
3

 4

 -2

 -3

 -4

(

; 1) (1;

)

D = - � -

� +�

Slajd  

30/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Parzystość funkcji

( )

( ),

x D

f x

f x

�

-

=

�

Wykres funkcji parzystej 
jest symetryczny 
względem osi  OY. 

Jeżeli zbiór D stanowiący dziedzinę  
naturalną funkcji  f  jest symetryczny 
względem zera  oraz 

to funkcję  nazywamy  parzystą.

  

 -

x

 

 x

 

Y 

X 

)

(

)

(

x

f

x

f





 

Slajd  

31/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Parzystość funkcji

( )

( ),

x D

f x

f x

�

-

=-

�

Wykres funkcji nieparzystej 
jest symetryczny względem 
początku układu 
współrzędnych. 

Jeżeli zbiór D stanowiący dziedzinę  
naturalną funkcji  f  jest symetryczny 
względem zera  oraz 

to funkcję  nazywamy  nieparzystą.

  

Y 

X 

-

x

 

 x

 

f x

( )

 

f

x

f x

( )

( )





 

Slajd  

32/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

\{ 2,2}

R

=

-

x

-

2

( )

.

4

x

f x

x

=

-

Zbadać parzystość funkcji określonej 
wzorem 

2

1.

{

: 4

0}

D

x R

x

= �

-

�

Funkcja jest 
nieparzysta. 

2. ( )

f x

-

=

Dziedzina jest zbiorem symetrycznym 
względem zera.

2

4

x

x

=-

=

-

( ).

f x

-

2

4 ( )

x

- -

Slajd  

33/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

1 2

( )

.

1 2

x

x

f x

x

-

=

+

Zbadać parzystość funkcji określonej 
wzorem 

1.

{

: 1 2

0}

x

D

x R

= �

+

�

Funkcja jest 
parzysta. 

2.

(

)

f

x

-

=

Dziedzina jest zbiorem symetrycznym 
względem zera.

1

1

2

1

1

2

x

x

x

-

-

=

+

2

1

2

2

1

2

x

x

x

x

x

-

-

=

+

2

1

2

2

2

1

x

x

x

x

x

-

=-

�

=

+

2 1

2 1

x

x

x

-

-

=

+

(1 2 )

1 2

x

x

x

- -

-

=

+

1 2
1 2

x

x

x

-

=

+

( )

f x

= 

R

1 2
1 2

x

x

x

-

-

-

-

=

+

Slajd  

34/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Okresowość funkcji

(

)

(

)

( ),

x D

x D

x D

x T

D

f x T

f x

�

�

� �

+ � �

+ =

�

�

Najmniejszą liczbę dodatnią  
T  będącą okresem funkcji 
okresowej nazywamy 
okresem podstawowym. 

Niech zbiór D stanowiący dziedzinę  
naturalną funkcji  f  spełnia warunki

to funkcję  nazywamy  okresową o okresie 
T.

 

x+T

 

Y 

X 

 x

 

f x

f x T

( )

(

)





 

Slajd  

35/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja odwrotna do 

danej

Niech   f   będzie funkcją różnowartościową, której 
dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór  X , 
a zbiorem wartości zbiór Y.  

X

Y

x

1

x

2

x

3

x

4

y

1

y

2

y

3

y

4

Slajd  

36/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja odwrotna do 

danej

Niech   f   będzie funkcją różnowartościową, której 
dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór  X , 
a zbiorem wartości zbiór Y.  

Otrzymaną w ten sposób funkcję nazywamy 
funkcją odwrotną do funkcji  f   i  
oznaczamy symbolem f 

-1

. 

Wówczas  w zbiorze  Y, można w naturalny 
sposób, określić funkcję przyporządkowującą  
każdemu yY ten jedyny xX, któremu funkcja  

f  przyporządkowała  y .

X

Y

x

1

x

2

x

3

x

4

y

1

y

2

y

3

y

4

Slajd  

37/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja odwrotna do 

danej

Niech   f   będzie funkcją różnowartościową, której 
dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór  X , 
a zbiorem wartości zbiór Y.  

X

Y

x

1

x

2

x

3

x

4

y

1

y

2

y

3

y

4

Jeżeli  f: X Y ,  to f 

-1

: Y  

X 

oraz  

gdy y = f(x), to x = f 

-1

(y).

Slajd  

38/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcję odwrotną najczęściej zapisuje się w 
postaci y = f 

-1

(x). 

W praktyce oznacza to, że aby znaleźć wzór funkcji 
odwrotnej do funkcji danej wzorem y = f(x) (o ile 
funkcja odwrotna istnieje) należy:

Zapis ten dostosowany jest do pewnej tradycji 
matematycznej, w której przyjęło się argumenty 
funkcji oznaczać przez  x,         a wartości funkcji 
przez y. 

1. we wzorze y = f(x) zamienić ze sobą zmienne x 

 i  y, 

2. a następnie otrzymane równanie  rozwiązać 

względem  y.

Funkcja odwrotna do 

danej

Slajd  

39/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

 Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji określonej wzorem  

y = 4x - 7.

x

 = 4

y

 - 7

Zamieniamy 
x i y między 
sobą.

f

 1

(x) 

x 7

4

y 

= 

x

y=

f(

x)

y=

f

-1

(x)

(0, -7)

(-7, 0)

y = 4x - 7

0,

7
4









7
4

,0









Rozwiązujem
y równanie 
względem y.

7

4

x

y

+

=

4

7

y x

= +

x + 7 = 4y

Wykresy funkcji odwrotnych są 
symetryczne względem prostej 
y = x.

Przykład

Slajd  

40/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Funkcja złożona

Niech  f: X R, g: U R  oraz zbiór X

0

= {xX: f(x)U} 

jest niepusty

Tak określoną funkcję nazywać będziemy złożeniem 
funkcji  g  i  f    i oznaczać symbolem  g 

o

 f. 

))

(

(

)

)(

(

)

(

x

f

g

x

f

g

x

h



 

( )

( ( )).

h x

g f x

=

   

0

X

 

 

U 

 

X 

 

R 

 

R 

 

R 

 

x 

  

u 

 

y 

 

f 

 

g 

f

g

h





 

Na zbiorze X

0

 można z pomocą funkcji  f  i  g określić 

funkcję h wzorem:

Slajd  

41/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby obliczyć h(x) = g(f(x)) należy 
argument we wzorze funkcji  g  zastąpić 
wyrażeniem f(x).

Slajd  

42/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

       Wyznaczyć funkcje:

,

.

h g f k f g

=

=

o

o

Niech  f: R R  i g: R R będą funkcjami 

określonymi wzorami:

2

( ) 3

2,

( )

5 .

f x

x

g x

x

x

= +

= +

( )

( ( ))

h x

g f x

=

= (3

2)

g x+ =

2

(3

2)

5(3

2)

x

x

=

+

+

+ =

2

(

)

5(

)

+

=

3x+2

3x+2

2

9

27

14

x

x

+

+

Slajd  

43/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

       Wyznaczyć funkcje:

,

.

h g f k f g

=

=

o

o

Niech  f: R R  i g: R R będą funkcjami 

określonymi wzorami:

2

( ) 3

2,

( )

5 .

f x

x

g x

x

x

= +

= +

( )

( ( ))

h x

g f x

=

= (3

2)

g x+ =

2

(

)

5(

)

+

=

3x+2

3x+2

( )

( ( ))

k x

f g x

=

=

2

(

5 )

f x

x

+

=

2

3(

5 ) 2

x

x

=

+

+ =

3(

) 2

+ =

x

2

+5x

2

(3

2)

5(3

2)

x

x

=

+

+

+ =

2

9

27

14

x

x

+

+

2

3

15

2

x

x

+

+

Slajd  

44/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

       Wyznaczyć funkcje:

,

.

h g f k f g

=

=

o

o

Niech  f: R R  i g: R R będą funkcjami 

określonymi wzorami:

2

( ) 3

2,

( )

5 .

f x

x

g x

x

x

= +

= +

( )

( ( ))

h x

g f x

=

= (3

2)

g x+ =

2

(

)

5(

)

+

=

3x+2

3x+2

( )

( ( ))

k x

f g x

=

=

2

(

5 )

f x

x

+

=

2

3(

5 ) 2

x

x

=

+

+ =

3(

) 2

+ =

x

2

+5x

2

(3

2)

5(3

2)

x

x

=

+

+

+ =

2

9

27

14

x

x

+

+

2

3

15

2

x

x

+

+

Składanie funkcji nie jest 
przemienne.

Slajd  

45/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji                     , a następnie wykres 
funkcji

3

1

2.

4

y

x

=

+

3

1

4

y

x

=

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

Y

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

-

1

4

-

0

2

1
4

3

1

4

y

x

=

x

-2 -1 0 1 2

3

1

2

4

y

x

=

+

0

7

4

2

4

9

4

Tym samym argumentom 
odpowiadają wartości poprzedniej 
funkcji powiększone o 2.

„Stary” wykres funkcji należy 
przesunąć o 2 jednostki do góry.

3

1

2

4

y

x

=

+

Slajd  

46/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby z wykresu funkcji  y = f(x)  otrzymać wykres 
funkcji           y = f(x) + A,   należy „stary” 
wykres przesunąć o wektor [0, A].

Slajd  

47/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

Przykład

x

-2 -1 0 1 2

y=3

x

Naszkicować wykres funkcji  
y = 3

x

, a następnie na jego 

podstawie sporządzić 
wykres funkcji y = 3

x

 - 1.

1
9

1

3

1 3

9

Wykres funkcji y = 3

x 

- 1 

powstanie ze „starego” 
wykresu przez przesunięcie 
o wektor [0, -1].

3

x

y =

3 1

x

y = -

Slajd  

48/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji                     , a następnie wykres 
funkcji

3

1

(

1) .

4

y

x

=

+

3

1

4

y

x

=

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

Y

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

-

1

4

-

0

2

1
4

3

1

4

y

x

=

x

-2 -1 0 1 2

3

1

(

1)

4

y

x

=

+

1

4

-

0

1

4

27

4

2

Wartość funkcji przypisana 
poprzednio liczbie x, przypisana jest 
teraz liczbie x – 1.

„Stary” wykres funkcji należy 
przesunąć o 1 jednostkę w lewo.

3

1

(

1)

4

y

x

=

-

Slajd  

49/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby z wykresu funkcji  y = f(x)  otrzymać wykres 
funkcji           y = f(x - a),   należy „stary” wykres 
przesunąć o wektor [a, 0].

Slajd  

50/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

Przykład

x

-2 -1 0 1 2

y=3

x

Naszkicować wykres funkcji  
y = 3

x

, a następnie na jego 

podstawie sporządzić 
wykres funkcji y = 3

x-2

.

1
9

1

3

1 3

9

Wykres funkcji y = 3

x-2

 

powstanie ze „starego” 
wykresu przez przesunięcie 
o wektor [2, 0]

3

x

y =

2

3

x

y

-

=

Slajd  

51/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Przykład

Sporządzić wykres funkcji                     , a następnie wykres 
funkcji

3

1

.

4

y

x

=

3

1

4

y

x

=

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

Y

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

-

1

4

-

0

2

1
4

3

1

4

y

x

=

x

-2 -1 0 1 2

3

1

4

y

x

=

2

0

1

4

1

4

2

Wartości ujemne zastąpione zostały 
wartościami dodatnimi (takimi 
samymi co do modułu).

Część „starego” wykresu funkcji leżącą 
poniżej osi OX należy symetrycznie 
odbić względem tej osi.

3

1

(

1)

4

y

x

=

-

Slajd  

52/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe

Uwaga

Aby z wykresu funkcji  y = f(x)  otrzymać wykres 
funkcji           y = | f(x) | ,   należy tę część 
„starego” wykresu, która znajduje się pod osią 
OX, odbić symetrycznie względem tej osi.

Slajd  

53/ 53

T.Kowalski. W.7: Funkcje liczbowe