Slajd

1/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Granice i ciągłość

funkcji

Wykład 9

Slajd

2/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Otoczenie punktu

Otoczeniem o środku w punkcie x

0

i

promieniu



nazywamy przedział (x

0

-



; x

0

+



)

i oznaczamy symbolem U(x

0

,



).

0

0

( , )

x U x

x x

d

d

�

� -

<

Otoczeniem lewostronnym o środku w punkcie x

0

i promieniu



nazywamy przedział (x

0

-



; x

0

] i

oznaczamy symbolem U

-

(x

0

,



).

Otoczeniem prawostronnym o środku w punkcie
x

0

i promieniu



nazywamy przedział [x

0

; x

0

+



)

i oznaczamy symbolem U

+

(x

0

,



).

Slajd

3/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwem o środku w punkcie x

0

i

promieniu



nazywamy sumę przedziałów (x

0

-



; x

0

)  (x

0

; x

0

+



) i oznaczamy symbolem

S(x

0

,



).

S

-

(x

0

,



) = (x

0

-



; x

0

) nazywamy

sąsiedztwem

lewostronnym

.

0

0

( , )

0

x S x

x x

d

d

�

� < -

<

S

+

(x

0

,



) = (x

0

; x

0

+



) nazywamy

sąsiedztwem

prawostronnym

.

Slajd

4/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Granica funkcji w punkcie – def.

Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S punktu x

0

.

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

g

�

=

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do S i  zbieżnego do x

0

, ciąg

wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do g, to

liczbę g nazywamy granicą (właściwą)
funkcji f w punkcie x

0

.

0

lub

( )

.

x x

f x

g

�

����

Slajd

5/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Interpretacja

geometryczna

x

0

y = f(x)

x

1

x

3

x

4

x

2

f(x

1

)

f(x

2

)

f(x

3

)

f(x

4

)

g

0

lim ( )

x x

f x

g

�

=

Slajd

6/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Wykazać,
że

3

lim(3

5) 14.

x

x

�

+ =

Niech (x

n

) będzie dowolnym ciągiem spełniającym

warunki:

{ }

, lim

3.

n

n

n

x

S

x

��

�

=

Wtedy korzystając z odpowiednich twierdzeń
dotyczących granic ciągów mamy:

lim(3

5)

n

n

x

��

+ =

Oznacza to, że

lim3 lim

lim5

n

n

n

n

x

��

��

��

�

+

=

14

3 3 5

�+ =

3

lim(3

5) 14.

x

x

�

+ =

Slajd

7/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

O nieistnieniu granicy funkcji w

punkcie

Jeżeli istnieją dwa ciągi: (x

n

/

) i (x

n

//

) o wyrazach

różnych od x

0

, zbieżne do x

0

i takie, że

/

/

//

//

lim ( )

, lim ( )

n

n

n

n

f x

g

f x

g

��

��

=

=

oraz

g

/



g

//

to funkcja f nie posiada granicy w
punkcie x

0

.

Slajd

8/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Wykazać, że funkcja signum nie
posiada granicy w punkcie x

0

= 0.

1 dla

(

;0)

sgn( )

0 dla

0

1 dla

(0; )

x

x

x

x

-

� - �

�

�

=

=

�

�

Υ

�

Określmy dwa ciągi

wzorami:

/

//

1

1

,

.

n

n

x

x

n

n

=

=-

Wyrazy obu ciągów są różne

od x

0

= 0.

/

/

( ) sgn( )

n

n

f x

x

=

=

Tym
samym:

/

lim ( ) 1,

n

n

f x

��

=

Funkcja f nie posiada granicy w
punkcie x

0

= 0.

//

lim ( )

1.

n

n

f x

��

=-

Oba ciągi są zbieżne do
x

0

= 0.

//

//

( ) sgn( )

n

n

f x

x

=

=

1

- 1

Slajd

9/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Granica lewostronna funkcji w punkcie –

def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie lewostronnym S

-

punktu x

0

.

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

g

-

�

=

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do S

-

i  zbieżnego do x

0

, ciąg

wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do g, to

liczbę g nazywamy granicą lewostronną
(właściwą) funkcji f w punkcie x

0

.

0

lub

( )

.

x x

f x

g

-

�

����

Slajd

10/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Interpretacja

geometryczna

y = f(x)

x

0

x

1

x

3

x

4

x

2

f(x

1

)

f(x

2

)

f(x

3

)

f(x

4

)

g

0

lim ( )

x x

f x

g

-

�

=

Slajd

11/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Granica prawostronna funkcji w punkcie –

def. Heinego

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie lewostronnym S

+

punktu x

0

.

Zapisujemy wtedy

0

lim ( )

x x

f x

g

+

�

=

Jeżeli dla każdego ciągu (x

n

) o wyrazach

należących do S

+

i  zbieżnego do x

0

, ciąg

wartości funkcji (f(x

n

)) jest zbieżny do g, to

liczbę g nazywamy granicą prawostronną
(właściwą) funkcji f w punkcie x

0

.

0

lub

( )

.

x x

f x

g

+

�

����

Slajd

12/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Interpretacja

geometryczna

x

0

y = f(x)

x

1

x

3

x

4

x

2

f(x

1

)

f(x

2

)

f(x

3

)

f(x

4

)

g

0

lim ( )

x x

f x

g

+

�

=

Slajd

13/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Granice jednostronne

Granicę lewostronną i 
prawostronną nazywamy

granicami jednostronnymi

.

Slajd

14/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Granica funkcji w punkcie a granice

jednostronne

Funkcja f posiada w punkcie x

0

granicę wtedy i

tylko wtedy gdy istnieją obie granice jednostronne
i są sobie równe.

0

0

0

lim ( )

( lim ( )

lim ( )

).

x x

x x

x x

f x

g

f x

f x

g

-

+

�

�

�

= �

=

=

Slajd

15/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Arytmetyka granic funkcji w

punkcie

Jeżeli
, to

p

x

g

g

x

f

x

x

x

x









)

(

lim

i

)

(

lim

0

0

[

]

0

1. lim ( )

( )

,

x x

f x

g x

g p

�

+

= +

[

]

0

3. lim

( ) ( )

,

x x

f x g x

g p

�

= �

0

4. lim

o ile ( ) 0 i

0.

x x

g

f(x)

=

g x

p

g(x)

p

�

�

�

[

]

0

2. lim

( )

( )

,

x x

f x

g x

g p

�

-

= -

Uwaga.

Analogiczne twierdzenia można sformułować dla granic
jednostronnych.

Slajd

16/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

2

3

3

5

+ �=

Obliczyć:

3

2

lim(

5 )

x

x

x

�

+

=

2

3

lim(

5 ).

x

x

x

�

+

24

Slajd

17/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

2

2
4

2

+

=

-

4

2

-

Obliczyć:

2

2

lim

4

x

x
x

�

+

=

-

2

2

lim

.

4

x

x
x

�

+
-

2

=-

Slajd

18/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

2

0

0

2

4

e +

=

-

3

4

-

Obliczyć:

0

2

2

lim

4

x

x

e

x

+

�

+

=

-

2

0

2

lim

.

4

x

x

e

x

+

�

+

-

3
4

=-

Slajd

19/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

0

arctg(

1)

0

e

-

+

1

4

p

= �

Obliczyć:

0

lim

arctg(

1)

x

x

e

x

-

-

�

+ =

0

lim

arctg(

1).

x

x

e

x

-

-

�

+

4

p

=

Slajd

20/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ważna uwaga

W przypadku funkcji elementarnej obliczanie granic:

w przypadku gdy x

0

D, sprowadza się do obliczenia

wartości f(x

0

) .

0

0

0

lim ( ), lim ( ),

lim ( )

x x

x x

x x

f x

f x

f x

-

+

�

�

�

Slajd

21/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

2

(

2

4

2

3

)

�

+

-

-

-

=

4 2
6 3

-

=

-

Obliczyć:

2

3

2

lim

4

x

x

x

�

-

+

=

-

2

3

2

lim

.

4

x

x

x

�-

+

-

f(x)

g = f(-2)

Slajd

22/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

0

3e =

Obliczyć:

0

lim3

x

x

e

-

�

=

0

lim3 .

x

x

e

-

�

f(x
)

g = f(0)

3

Slajd

23/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

0

n(

4 )

0

l e

-

+ � =

ln1=

Obliczyć:

0

lim ln(

4 )

x

x

e

x

-

+

�

+

=

0

lim ln(

4 ).

x

x

e

x

-

+

�

+

f(x)

g = f(0)

0

Slajd

24/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

sin

c s

4

4

o

p

p

+

=

0 1

+ =

Obliczyć:

4

lim(sin

cos )

x

x

x

p

p

�

-

+

=

4

lim(sin

cos ).

x

x

x

p

p

-

�

+

f(x)

g = f(4)

1

Slajd

25/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Uwaga praktyczna

Powyższą metodę można rozszerzyć do
obliczania granic niektórych funkcji określonych
w pewnym sąsiedztwie punktu x

0

, lecz

nieokreślonych w samym punkcie:

Jeżeli f(x) = h(x) w pewnym sąsiedztwie S
punktu x

0

oraz

istnieje granica , to istnieje granica

i obie granice są sobie równe.

0

lim ( )

x x

h x

�

)

(

lim

0

x

f

x

x

Slajd

26/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

2

16

4

4

4

-

=

-

0
0

��

��

��

Obliczyć:

2

4

4

16

lim(

) lim(

4)

4

x

x

x

x

x

�

�

-

=

+ =

-

2

4

16

lim

.

4

x

x

x

�

-

-

h(x)

g = h(4)

2

16

4

x

x

-

=

-

Dla x  4

mamy:

4

x

= +

f(x)

h(x)

2

4

16

lim(

)

4

x

x

x

�

-

=

-

(symbol
nieoznaczony)

(

4)(

4)

4

x

x

x

-

+

-

4

+ 4 = 8

Slajd

27/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

2

2

4

cos

sin

lim

cos

sin

x

x

x

x

x

p

�

-

=

-

Obliczyć:

4

(cos

sin )(cos

sin )

lim

cos

sin

x

x

x

x

x

x

x

p

�

-

+

=

=

-

4

cos2

lim

.

cos

sin

x

x

x

x

p

�

-

h(x)

g = h(/4)

4

cos2

lim

cos

sin

x

x

x

x

p

�

=

-

(symbol
nieoznaczon
y)

4

cos2

0

lim

cos

sin

0

x

x

x

x

p

�

��

=

=

��

-

��

4

4

cos

sin

p

p

=

+

=

)

4

4

4

cos(2

cos

sin

p

p

p

�

=

-

2

2

2

2

2

cos

p

-

0
0

��

=��

��

4

lim(cos

sin )

x

x

x

p

�

+

=

2

2

2

2

+

=

2.

Slajd

28/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Obliczyć:

2

2

2

6

lim

.

4

x

x

x

x

�

+ -

-

2

2

2

6

lim

4

x

x

x

x

�

+ -

=

-

(symbol
nieoznaczon
y)

Z obliczeń tych wynika, że liczba 2 jest pierwiastkiem
obu wielomianów (tego z licznika i tego z
mianownika), a co za tym idzie w obu przypadkach
możemy wyłączyć przed nawias czynnik x – 2.

2

4 (

2)(

2)

x

x

x

- = -

+

2

2

6

2

4

2

2

+ -

=

-

0
0

��

��

��

2

6 (

2)(

)

x

x

x

x a

+ - = -

�

3

+

Slajd

29/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

2

(

2)(

3)

lim

(

2)(

2)

x

x

x

x

x

�

-

+

=

-

+

Przykład

2

3

lim

2

x

x

x

�

+

=

=

+

h(x)

g =

h(2)

2

2

2

6

0

lim

0

4

x

x

x

x

�

+ -

��

=

=

��

-

��

2

4 (

2)(

2)

x

x

x

- = -

+

3

2

2

3

6 (

2)(

3

3)

x

x

x

x

x

x

+ -

- = -

+ +

2

3
2

2

+

=

+

5

.

4

Slajd

30/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ważne granice

0

sin

lim

1.

x

x

x

�

=

sin

( )

x

f x

x

=

Slajd

31/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ważne granice

0

1

lim

1.

x

x

e

x

�

-

=

1

( )

x

e

f x

x

-

=

Slajd

32/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

0

sin5

lim

x

x

x

�

=

5

Obliczyć:

0

sin5

lim

.

x

x

x

�

0

sin5

lim

x

x

x

�

=

5

5

�

1

�

0

sin

lim

1.

�

=

Slajd

33/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

0

sin6

lim

cos6 2

x

x

x x

�

=

�

Obliczyć:

0

tg6

lim

.

2

x

x

x

�

0

tg6

lim

2

x

x

x

�

=

0

sin6

lim

6

x

x

x

�

�

=

cos6x

2

2

=1

cos0

�

=

2

1

�

0

sin

lim

1.

�

=

Slajd

34/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

4

0

1

lim

x

x

e

x

�

-

=

4

Obliczyć:

4

0

1

lim

.

x

x

e

x

�

-

4

0

1

lim

x

x

e

x

�

-

=

4

4

�

1

�

0

1

lim

1.

e

�

-

=

Slajd

35/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

0

1

lim

1.

e

�

-

=

Obliczyć:

0

3 1

lim

.

x

x

x

�

-

0

3 1

lim

x

x

x

�

-

=

lnt

t e

=

ln3

3 e

=

x

( )

x

ln3

0

1

lim

x

x

e

x

�

-

=

ln3

ln3

ln3

�

1

�

Slajd

36/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ciągłość funkcji w punkcie

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
otoczeniu U punktu x

0

.

Jeżeli natomiast zachodzi tylko jeden z warunków:

to funkcję nazywać będziemy odpowiednio:
lewostronnie ciągłą w punkcie x

0

lub

prawostronnie ciągłą w punkcie x

0

.

0

0

0

0

lim ( )

( ) lub lim ( )

( ) ,

x x

x x

f x

f x

f x

f x

-

+

�

�

=

=

)

(

)

(

lim

0

0

x

f

x

f

x

x





Jeżeli , to funkcję nazywać
będziemy ciągłą w punkcie x

0

.

Slajd

37/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Zbadać ciągłość
funkcji:

1

sin

dla

0

( )

0

dla

0

x

x

f x

x

x

�

�

�

=�

�

=

�

w punkcie
x

0

= 0.

0

lim ( )

x

f x

�

=

Funkcja f jest ciągła w punkcie
x

0

= 0.

0

1

lim sin

x

x

x

�

=

0

(0) 0

f

=

Granica funkcji f w punkcie x

0

= 0 jest równa

wartości funkcji w tym punkcie.

Slajd

38/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Zbadać ciągłość
funkcji:

1

sin

dla

0

( )

0

dla

0

x

x

f x

x

x

�

�

�

=�

�

=

�

w punkcie
x

0

= 0.

Slajd

39/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Zbadać ciągłość
funkcji:

2

1

dla

0

1

( )

2

dla

1

x

x

x

f x

x

� -

�

� -

=�

� -

=

�

w punkcie
x

0

= 1.

1

lim ( )

x

f x

-

�

=

2

1

1

lim

1

x

x

x

-

�

-

=

-

(1)

2

f

=-

1

(

1)(

1)

lim

1

x

x

x

x

-

�

-

+

=

-

- 1

- 2

Funkcja f nie jest ciągła w punkcie
x

0

= 1.

Tylko granica lewostronna funkcji f w punkcie x

0

= 1

jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

1

lim ( )

x

f x

+

�

=

2

1

1

lim

1

x

x

x

+

�

-

=

-

1

(

1)(

1)

lim

1

x

x

x

x

+

�

-

+

=

-

1

2

Jest natomiast ciągła lewostronnie w
punkcie x

0

= 1.

Slajd

40/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Zbadać ciągłość
funkcji:

2

1

dla

0

1

( )

2

dla

1

x

x

x

f x

x

� -

�

� -

=�

� -

=

�

w punkcie
x

0

= 1.

-2

-1

1

2

3

4

-3

-2

-1

1

2

3

X

Y

Slajd

41/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Funkcja ciągła na

przedziale

Funkcję f nazywamy ciągłą na przedziale

I

=

(a; b), jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie
tego przedziału.

Gdy

I

= [a; b], to funkcję nazywamy ciągłą w

tym przedziale, jeżeli dodatkowo jest ona ciągła
prawostronnie w punkcie a i lewostronnie
w punkcie b.

Slajd

42/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Funkcje ciągłe na

przedziale

Funkcję f jest ciągła na
przedziale

I

, gdy jej

wykres można narysować
bez odrywania ręki od
rysunku.

Slajd

43/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Nieciągłość funkcji

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
otoczeniu U punktu x

0

.

Funkcja f jest nieciągła w punkcie x

0

wtedy i

tylko wtedy, gdy

0

lim ( )

x x

f x

�

1. nie istnieje granica

0

0

lim ( )

( ).

x x

f x

f x

�

�

2. .

albo

Slajd

44/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Nieciągłość funkcji

Uwaga.

O nieciągłości funkcji w
punkcie można mówić tylko
wtedy, gdy funkcja jest w tym
punkcie określona.

Slajd

45/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Wykazać, że funkcja określona
wzorem:

1

sin

dla

0

( )

0

dla

0

x

f x

x

x

�

�

�

=�

�

=

�

nie jest ciągła w
punkcie x

0

= 0.

Slajd

46/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Wykazać, że funkcja określona
wzorem:

1

sin

dla

0

( )

0

dla

0

x

f x

x

x

�

�

�

=�

�

=

�

nie jest ciągła w
punkcie x

0

= 0.

Ponieważ f(0) = 0, to wystarczy znaleźć ciąg (x

n

)

zbieżny do zera o wyrazach różnych od zera, taki
że

lim ( ) 0.

n

n

f x

��

�

Jeżeli funkcja f posiada granicę w
punkcie x

0

= 0, to jest ona różna od

zera.

2

1

.

2

n

x

n

p

p

=

+

Wtedy:

Przyjmijmy:

1

2

2

1

( ) sin

sin(2

) 1

2

n

n

f x

n

p

p

p

p

+

=

=

+

=

Slajd

47/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych w

punkcie

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x

0

, to

Uwagi.

1. funkcja f + g jest ciągła w punkcie x

0

,

2. funkcja f - g jest ciągła w punkcie x

0

,

3. funkcja f

.

g jest ciągła w punkcie x

0

,

4. funkcja jest ciągła w punkcie x

0

, o ile

g(x

0

)  0.

f

g

I.

Analogiczne twierdzenia można sformułować w
przypadku ciągłości jednostronnych.

II. Jeżeli o funkcjach f i g założymy, że są ciągłe w

zbiorze X, to wnioski dotyczyć będą ciągłości
odpowiednich funkcji w całym zbiorze X.

Slajd

48/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ciągłość w punkcie funkcji

złożonej

Jeżeli

1. funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

,

2. funkcja g jest ciągła w punkcie y

0

= f(x

0

),

to funkcja złożona g

o

f jest ciągła w punkcie

x

0

.

Slajd

49/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ciągłość funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja f jest ciągła i ściśle
monotoniczna na przedziale [a ; b],

to funkcja odwrotna f

-1

jest ciągła i ściśle

monotoniczna na przedziale [f(a); f(b)].

Slajd

50/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Ciągłość funkcji

elementarnych

Każda funkcja elementarna
jest ciągła w swojej
naturalnej dziedzinie.

Z powyższego twierdzenia, stanowiącego jedno z
fundamentalnych twierdzeń analizy matematycznej
wynika, że dla funkcji elementarnej obliczanie
granic:

w przypadku gdy x

0

D, sprowadza się do obliczenia

wartości f(x

0

) .

0

0

0

lim ( ), lim ( ),

lim ( )

x x

x x

x x

f x

f x

f x

-

+

�

�

�

Slajd

51/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

O lokalnym zachowaniu znaku
funkcji

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

oraz f(x

0

) >

0, to istnieje takie otoczenie U(x

0

,



), że

( ) 0

f x >

dla każdego x 

U(x

0

,



).

x

0

Y

X

y
=f(x)

x

0

-



x

0

+



f(x

0

)

Slajd

52/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

Własność Weierstrassa 1 (o ograniczoności
funkcji ciągłej)

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

[a; b].

X

Y

a

b

f(a)

f(b)

Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale, to jest
ograniczona.

y =

m

y =

M

Slajd

53/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

Własność Weierstrassa 2 (o osiąganiu kresów
funkcji ciągłej)

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

[a; b].

c

X

Y

a

b

f(a)

f(b)

, że
f(c) = m

= inf {f(x); x  [a,b] },

f(d) = M =

sup{ f(x); x  [a,b] }.

Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale,

to istnieją w tym przedziale
takie argumenty c i d

f(

c

) =

m

d

f(

d

) =

M

Slajd

54/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

Własność Weierstrassa 2 -
uwaga

Funkcja f ciągła na przedziale [a; b] swoje wartości
optymalne: m i M może przyjmować zarówno w
punktach wewnętrznych jak i na końcach przedziału.

c

X

Y

a

f(a)

f(

c

) =

m

b =

d

f(

d

) =

M

X

Y

a =

c

f(

c

) =

m

b =

d

f(

d

) =

M

Slajd

55/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

Własność Darboux 1. (o przyjmowaniu wartości
pośrednich)

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

[a; b] i taką, że f(a)  f(b).

c

X

Y

a

b

f(a)

f(b)

,
że

f(c) = p.

Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale,

to dla każdej wartości p
leżącej między f(a) i f(b)

p

istnieje w
tym przedziale taki argument
c

Slajd

56/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

Własność Darboux 2. (o miejscach zerowych
funkcji)

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

[a; b] i taką, że f(a)

.

f(b) < 0.

c

, że

f(c) = 0.

Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale,

to

istnieje w tym przedziale
taki argument c

X

Y

a

b

f(a)

f(b)

Slajd

57/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Własności funkcji ciągłych

Uwagi

1. Jeżeli funkcja f jest w przedziale [a, b] ściśle

monotoniczna, to punkt c, o którym mowa w
obu własnościach Darboux jest określony
jednoznacznie.

2. Twierdzenie Darboux 2. stosuje się często do

wyznaczania miejsc zerowych funkcji z dowolną
dokładnością.

Slajd

58/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Wyznaczyć z dokładnością do 0,1 pierwiastek równania:

3

2

1 0.

x

x

+ - =

Przyjmijmy

3

( )

2

1.

f x

x

x

= + -

Funkcja ta jest ciągła w zbiorze R (bo jest elementarna).

f(0) =-1,

f(1) =2.

Ponieważ na końcach przedziału [0 ; 1] funkcja
przyjmuje wartości różnych znaków, to wewnątrz
przedziału znajduje się przynajmniej jedno jej miejsce
zerowe.

1

( )

2

f

=

1

.

2

x =

Środkiem tego przedziału
jest

.

1

.

8

1
2

1

0

_

+

+

Slajd

59/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii

Przykład

Wyznaczyć z dokładnością do 0,1 pierwiastek równania:

3

2

1 0.

x

x

+ - =

Teraz poszukiwania miejsca zerowego funkcji
możemy ograniczyć do przedziału

1
2

[0; ].

1
2

1

0

_

+

+

1

( )

4

f

=

1

.

4

x=

Środkiem tego przedziału
jest

31

.

64

-

1

4

_

3

( )

8

f

=

3

.

8

x =

Środkiem kolejnego przedziału
jest

101

.

512

-

3

8

_

Długość aktualnego przedziału
wynosi

1

.

8

Przyjmując jego środek jako wartość
pierwiastka, popełnimy błąd
nieprzekraczający

1

.

16

7

16

7

16

x�

Slajd

60/ 60

T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii