Slajd
1/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granice i ciągłość
funkcji
Wykład 9
Slajd
1/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granice i ciągłość
funkcji
Wykład 9
Slajd
2/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Otoczenie punktu
Otoczeniem o środku w punkcie x
0
i
promieniu
nazywamy przedział (x
0
-
; x
0
+
)
i oznaczamy symbolem U(x
0
,
).
0
0
( , )
x U x
x x
d
d
�
� -
<
Otoczeniem lewostronnym o środku w punkcie x
0
i promieniu
nazywamy przedział (x
0
-
; x
0
] i
oznaczamy symbolem U
-
(x
0
,
).
Otoczeniem prawostronnym o środku w punkcie
x
0
i promieniu
nazywamy przedział [x
0
; x
0
+
)
i oznaczamy symbolem U
+
(x
0
,
).
Slajd
3/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Sąsiedztwo punktu
Sąsiedztwem o środku w punkcie x
0
i
promieniu
nazywamy sumę przedziałów (x
0
-
; x
0
) (x
0
; x
0
+
) i oznaczamy symbolem
S(x
0
,
).
S
-
(x
0
,
) = (x
0
-
; x
0
) nazywamy
sąsiedztwem
lewostronnym
.
0
0
( , )
0
x S x
x x
d
d
�
� < -
<
S
+
(x
0
,
) = (x
0
; x
0
+
) nazywamy
sąsiedztwem
prawostronnym
.
Slajd
4/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granica funkcji w punkcie – def.
Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie S punktu x
0
.
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
g
�
=
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do S i zbieżnego do x
0
, ciąg
wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do g, to
liczbę g nazywamy granicą (właściwą)
funkcji f w punkcie x
0
.
0
lub
( )
.
x x
f x
g
�
����
Slajd
5/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Interpretacja
geometryczna
x
0
y = f(x)
x
1
x
3
x
4
x
2
f(x
1
)
f(x
2
)
f(x
3
)
f(x
4
)
g
0
lim ( )
x x
f x
g
�
=
Slajd
6/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Wykazać,
że
3
lim(3
5) 14.
x
x
�
+ =
Niech (x
n
) będzie dowolnym ciągiem spełniającym
warunki:
{ }
, lim
3.
n
n
n
x
S
x
��
�
=
Wtedy korzystając z odpowiednich twierdzeń
dotyczących granic ciągów mamy:
lim(3
5)
n
n
x
��
+ =
Oznacza to, że
lim3 lim
lim5
n
n
n
n
x
��
��
��
�
+
=
14
3 3 5
�+ =
3
lim(3
5) 14.
x
x
�
+ =
Slajd
7/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
O nieistnieniu granicy funkcji w
punkcie
Jeżeli istnieją dwa ciągi: (x
n
/
) i (x
n
//
) o wyrazach
różnych od x
0
, zbieżne do x
0
i takie, że
/
/
//
//
lim ( )
, lim ( )
n
n
n
n
f x
g
f x
g
��
��
=
=
oraz
g
/
g
//
to funkcja f nie posiada granicy w
punkcie x
0
.
Slajd
8/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Wykazać, że funkcja signum nie
posiada granicy w punkcie x
0
= 0.
1 dla
(
;0)
sgn( )
0 dla
0
1 dla
(0; )
x
x
x
x
-
� - �
�
�
=
=
�
�
Υ
�
Określmy dwa ciągi
wzorami:
/
//
1
1
,
.
n
n
x
x
n
n
=
=-
Wyrazy obu ciągów są różne
od x
0
= 0.
/
/
( ) sgn( )
n
n
f x
x
=
=
Tym
samym:
/
lim ( ) 1,
n
n
f x
��
=
Funkcja f nie posiada granicy w
punkcie x
0
= 0.
//
lim ( )
1.
n
n
f x
��
=-
Oba ciągi są zbieżne do
x
0
= 0.
//
//
( ) sgn( )
n
n
f x
x
=
=
1
- 1
Slajd
9/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granica lewostronna funkcji w punkcie –
def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie lewostronnym S
-
punktu x
0
.
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
g
-
�
=
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do S
-
i zbieżnego do x
0
, ciąg
wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do g, to
liczbę g nazywamy granicą lewostronną
(właściwą) funkcji f w punkcie x
0
.
0
lub
( )
.
x x
f x
g
-
�
����
Slajd
10/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Interpretacja
geometryczna
y = f(x)
x
0
x
1
x
3
x
4
x
2
f(x
1
)
f(x
2
)
f(x
3
)
f(x
4
)
g
0
lim ( )
x x
f x
g
-
�
=
Slajd
11/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granica prawostronna funkcji w punkcie –
def. Heinego
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
sąsiedztwie lewostronnym S
+
punktu x
0
.
Zapisujemy wtedy
0
lim ( )
x x
f x
g
+
�
=
Jeżeli dla każdego ciągu (x
n
) o wyrazach
należących do S
+
i zbieżnego do x
0
, ciąg
wartości funkcji (f(x
n
)) jest zbieżny do g, to
liczbę g nazywamy granicą prawostronną
(właściwą) funkcji f w punkcie x
0
.
0
lub
( )
.
x x
f x
g
+
�
����
Slajd
12/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Interpretacja
geometryczna
x
0
y = f(x)
x
1
x
3
x
4
x
2
f(x
1
)
f(x
2
)
f(x
3
)
f(x
4
)
g
0
lim ( )
x x
f x
g
+
�
=
Slajd
13/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granice jednostronne
Granicę lewostronną i
prawostronną nazywamy
granicami jednostronnymi
.
Slajd
14/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Granica funkcji w punkcie a granice
jednostronne
Funkcja f posiada w punkcie x
0
granicę wtedy i
tylko wtedy gdy istnieją obie granice jednostronne
i są sobie równe.
0
0
0
lim ( )
( lim ( )
lim ( )
).
x x
x x
x x
f x
g
f x
f x
g
-
+
�
�
�
= �
=
=
Slajd
15/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Arytmetyka granic funkcji w
punkcie
Jeżeli
, to
p
x
g
g
x
f
x
x
x
x
)
(
lim
i
)
(
lim
0
0
[
]
0
1. lim ( )
( )
,
x x
f x
g x
g p
�
+
= +
[
]
0
3. lim
( ) ( )
,
x x
f x g x
g p
�
= �
0
4. lim
o ile ( ) 0 i
0.
x x
g
f(x)
=
g x
p
g(x)
p
�
�
�
[
]
0
2. lim
( )
( )
,
x x
f x
g x
g p
�
-
= -
Uwaga.
Analogiczne twierdzenia można sformułować dla granic
jednostronnych.
Slajd
16/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
2
3
3
5
+ �=
Obliczyć:
3
2
lim(
5 )
x
x
x
�
+
=
2
3
lim(
5 ).
x
x
x
�
+
24
Slajd
17/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
2
2
4
2
+
=
-
4
2
-
Obliczyć:
2
2
lim
4
x
x
x
�
+
=
-
2
2
lim
.
4
x
x
x
�
+
-
2
=-
Slajd
18/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
2
0
0
2
4
e +
=
-
3
4
-
Obliczyć:
0
2
2
lim
4
x
x
e
x
+
�
+
=
-
2
0
2
lim
.
4
x
x
e
x
+
�
+
-
3
4
=-
Slajd
19/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
0
arctg(
1)
0
e
-
+
1
4
p
= �
Obliczyć:
0
lim
arctg(
1)
x
x
e
x
-
-
�
+ =
0
lim
arctg(
1).
x
x
e
x
-
-
�
+
4
p
=
Slajd
20/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ważna uwaga
W przypadku funkcji elementarnej obliczanie granic:
w przypadku gdy x
0
D, sprowadza się do obliczenia
wartości f(x
0
) .
0
0
0
lim ( ), lim ( ),
lim ( )
x x
x x
x x
f x
f x
f x
-
+
�
�
�
Slajd
21/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
2
(
2
4
2
3
)
�
+
-
-
-
=
4 2
6 3
-
=
-
Obliczyć:
2
3
2
lim
4
x
x
x
�
-
+
=
-
2
3
2
lim
.
4
x
x
x
�-
+
-
f(x)
g = f(-2)
Slajd
22/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
0
3e =
Obliczyć:
0
lim3
x
x
e
-
�
=
0
lim3 .
x
x
e
-
�
f(x
)
g = f(0)
3
Slajd
23/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
0
n(
4 )
0
l e
-
+ � =
ln1=
Obliczyć:
0
lim ln(
4 )
x
x
e
x
-
+
�
+
=
0
lim ln(
4 ).
x
x
e
x
-
+
�
+
f(x)
g = f(0)
0
Slajd
24/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
sin
c s
4
4
o
p
p
+
=
0 1
+ =
Obliczyć:
4
lim(sin
cos )
x
x
x
p
p
�
-
+
=
4
lim(sin
cos ).
x
x
x
p
p
-
�
+
f(x)
g = f(4)
1
Slajd
25/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Uwaga praktyczna
Powyższą metodę można rozszerzyć do
obliczania granic niektórych funkcji określonych
w pewnym sąsiedztwie punktu x
0
, lecz
nieokreślonych w samym punkcie:
Jeżeli f(x) = h(x) w pewnym sąsiedztwie S
punktu x
0
oraz
istnieje granica , to istnieje granica
i obie granice są sobie równe.
0
lim ( )
x x
h x
�
)
(
lim
0
x
f
x
x
Slajd
26/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
2
16
4
4
4
-
=
-
0
0
��
��
��
Obliczyć:
2
4
4
16
lim(
) lim(
4)
4
x
x
x
x
x
�
�
-
=
+ =
-
2
4
16
lim
.
4
x
x
x
�
-
-
h(x)
g = h(4)
2
16
4
x
x
-
=
-
Dla x 4
mamy:
4
x
= +
f(x)
h(x)
2
4
16
lim(
)
4
x
x
x
�
-
=
-
(symbol
nieoznaczony)
(
4)(
4)
4
x
x
x
-
+
-
4
+ 4 = 8
Slajd
27/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
2
2
4
cos
sin
lim
cos
sin
x
x
x
x
x
p
�
-
=
-
Obliczyć:
4
(cos
sin )(cos
sin )
lim
cos
sin
x
x
x
x
x
x
x
p
�
-
+
=
=
-
4
cos2
lim
.
cos
sin
x
x
x
x
p
�
-
h(x)
g = h(/4)
4
cos2
lim
cos
sin
x
x
x
x
p
�
=
-
(symbol
nieoznaczon
y)
4
cos2
0
lim
cos
sin
0
x
x
x
x
p
�
��
=
=
��
-
��
4
4
cos
sin
p
p
=
+
=
)
4
4
4
cos(2
cos
sin
p
p
p
�
=
-
2
2
2
2
2
cos
p
-
0
0
��
=��
��
4
lim(cos
sin )
x
x
x
p
�
+
=
2
2
2
2
+
=
2.
Slajd
28/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Obliczyć:
2
2
2
6
lim
.
4
x
x
x
x
�
+ -
-
2
2
2
6
lim
4
x
x
x
x
�
+ -
=
-
(symbol
nieoznaczon
y)
Z obliczeń tych wynika, że liczba 2 jest pierwiastkiem
obu wielomianów (tego z licznika i tego z
mianownika), a co za tym idzie w obu przypadkach
możemy wyłączyć przed nawias czynnik x – 2.
2
4 (
2)(
2)
x
x
x
- = -
+
2
2
6
2
4
2
2
+ -
=
-
0
0
��
��
��
2
6 (
2)(
)
x
x
x
x a
+ - = -
�
3
+
Slajd
29/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
2
(
2)(
3)
lim
(
2)(
2)
x
x
x
x
x
�
-
+
=
-
+
Przykład
2
3
lim
2
x
x
x
�
+
=
=
+
h(x)
g =
h(2)
2
2
2
6
0
lim
0
4
x
x
x
x
�
+ -
��
=
=
��
-
��
2
4 (
2)(
2)
x
x
x
- = -
+
3
2
2
3
6 (
2)(
3
3)
x
x
x
x
x
x
+ -
- = -
+ +
2
3
2
2
+
=
+
5
.
4
Slajd
30/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ważne granice
0
sin
lim
1.
x
x
x
�
=
sin
( )
x
f x
x
=
Slajd
31/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ważne granice
0
1
lim
1.
x
x
e
x
�
-
=
1
( )
x
e
f x
x
-
=
Slajd
32/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
0
sin5
lim
x
x
x
�
=
5
Obliczyć:
0
sin5
lim
.
x
x
x
�
0
sin5
lim
x
x
x
�
=
5
5
�
1
�
0
sin
lim
1.
�
=
Slajd
33/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
0
sin6
lim
cos6 2
x
x
x x
�
=
�
Obliczyć:
0
tg6
lim
.
2
x
x
x
�
0
tg6
lim
2
x
x
x
�
=
0
sin6
lim
6
x
x
x
�
�
=
cos6x
2
2
=1
cos0
�
=
2
1
�
0
sin
lim
1.
�
=
Slajd
34/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
4
0
1
lim
x
x
e
x
�
-
=
4
Obliczyć:
4
0
1
lim
.
x
x
e
x
�
-
4
0
1
lim
x
x
e
x
�
-
=
4
4
�
1
�
0
1
lim
1.
e
�
-
=
Slajd
35/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
0
1
lim
1.
e
�
-
=
Obliczyć:
0
3 1
lim
.
x
x
x
�
-
0
3 1
lim
x
x
x
�
-
=
lnt
t e
=
ln3
3 e
=
x
( )
x
ln3
0
1
lim
x
x
e
x
�
-
=
ln3
ln3
ln3
�
1
�
Slajd
36/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ciągłość funkcji w punkcie
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
otoczeniu U punktu x
0
.
Jeżeli natomiast zachodzi tylko jeden z warunków:
to funkcję nazywać będziemy odpowiednio:
lewostronnie ciągłą w punkcie x
0
lub
prawostronnie ciągłą w punkcie x
0
.
0
0
0
0
lim ( )
( ) lub lim ( )
( ) ,
x x
x x
f x
f x
f x
f x
-
+
�
�
=
=
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
Jeżeli , to funkcję nazywać
będziemy ciągłą w punkcie x
0
.
Slajd
37/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Zbadać ciągłość
funkcji:
1
sin
dla
0
( )
0
dla
0
x
x
f x
x
x
�
�
�
=�
�
=
�
w punkcie
x
0
= 0.
0
lim ( )
x
f x
�
=
Funkcja f jest ciągła w punkcie
x
0
= 0.
0
1
lim sin
x
x
x
�
=
0
(0) 0
f
=
Granica funkcji f w punkcie x
0
= 0 jest równa
wartości funkcji w tym punkcie.
Slajd
38/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Zbadać ciągłość
funkcji:
1
sin
dla
0
( )
0
dla
0
x
x
f x
x
x
�
�
�
=�
�
=
�
w punkcie
x
0
= 0.
Slajd
39/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Zbadać ciągłość
funkcji:
2
1
dla
0
1
( )
2
dla
1
x
x
x
f x
x
� -
�
� -
=�
� -
=
�
w punkcie
x
0
= 1.
1
lim ( )
x
f x
-
�
=
2
1
1
lim
1
x
x
x
-
�
-
=
-
(1)
2
f
=-
1
(
1)(
1)
lim
1
x
x
x
x
-
�
-
+
=
-
- 1
- 2
Funkcja f nie jest ciągła w punkcie
x
0
= 1.
Tylko granica lewostronna funkcji f w punkcie x
0
= 1
jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
1
lim ( )
x
f x
+
�
=
2
1
1
lim
1
x
x
x
+
�
-
=
-
1
(
1)(
1)
lim
1
x
x
x
x
+
�
-
+
=
-
1
2
Jest natomiast ciągła lewostronnie w
punkcie x
0
= 1.
Slajd
40/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Zbadać ciągłość
funkcji:
2
1
dla
0
1
( )
2
dla
1
x
x
x
f x
x
� -
�
� -
=�
� -
=
�
w punkcie
x
0
= 1.
-2
-1
1
2
3
4
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
Slajd
41/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Funkcja ciągła na
przedziale
Funkcję f nazywamy ciągłą na przedziale
I
=
(a; b), jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie
tego przedziału.
Gdy
I
= [a; b], to funkcję nazywamy ciągłą w
tym przedziale, jeżeli dodatkowo jest ona ciągła
prawostronnie w punkcie a i lewostronnie
w punkcie b.
Slajd
42/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Funkcje ciągłe na
przedziale
Funkcję f jest ciągła na
przedziale
I
, gdy jej
wykres można narysować
bez odrywania ręki od
rysunku.
Slajd
43/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Nieciągłość funkcji
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
otoczeniu U punktu x
0
.
Funkcja f jest nieciągła w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy
0
lim ( )
x x
f x
�
1. nie istnieje granica
0
0
lim ( )
( ).
x x
f x
f x
�
�
2. .
albo
Slajd
44/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Nieciągłość funkcji
Uwaga.
O nieciągłości funkcji w
punkcie można mówić tylko
wtedy, gdy funkcja jest w tym
punkcie określona.
Slajd
45/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Wykazać, że funkcja określona
wzorem:
1
sin
dla
0
( )
0
dla
0
x
f x
x
x
�
�
�
=�
�
=
�
nie jest ciągła w
punkcie x
0
= 0.
Slajd
46/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Wykazać, że funkcja określona
wzorem:
1
sin
dla
0
( )
0
dla
0
x
f x
x
x
�
�
�
=�
�
=
�
nie jest ciągła w
punkcie x
0
= 0.
Ponieważ f(0) = 0, to wystarczy znaleźć ciąg (x
n
)
zbieżny do zera o wyrazach różnych od zera, taki
że
lim ( ) 0.
n
n
f x
��
�
Jeżeli funkcja f posiada granicę w
punkcie x
0
= 0, to jest ona różna od
zera.
2
1
.
2
n
x
n
p
p
=
+
Wtedy:
Przyjmijmy:
1
2
2
1
( ) sin
sin(2
) 1
2
n
n
f x
n
p
p
p
p
+
=
=
+
=
Slajd
47/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych w
punkcie
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x
0
, to
Uwagi.
1. funkcja f + g jest ciągła w punkcie x
0
,
2. funkcja f - g jest ciągła w punkcie x
0
,
3. funkcja f
.
g jest ciągła w punkcie x
0
,
4. funkcja jest ciągła w punkcie x
0
, o ile
g(x
0
) 0.
f
g
I.
Analogiczne twierdzenia można sformułować w
przypadku ciągłości jednostronnych.
II. Jeżeli o funkcjach f i g założymy, że są ciągłe w
zbiorze X, to wnioski dotyczyć będą ciągłości
odpowiednich funkcji w całym zbiorze X.
Slajd
48/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ciągłość w punkcie funkcji
złożonej
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
,
2. funkcja g jest ciągła w punkcie y
0
= f(x
0
),
to funkcja złożona g
o
f jest ciągła w punkcie
x
0
.
Slajd
49/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ciągłość funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja f jest ciągła i ściśle
monotoniczna na przedziale [a ; b],
to funkcja odwrotna f
-1
jest ciągła i ściśle
monotoniczna na przedziale [f(a); f(b)].
Slajd
50/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Ciągłość funkcji
elementarnych
Każda funkcja elementarna
jest ciągła w swojej
naturalnej dziedzinie.
Z powyższego twierdzenia, stanowiącego jedno z
fundamentalnych twierdzeń analizy matematycznej
wynika, że dla funkcji elementarnej obliczanie
granic:
w przypadku gdy x
0
D, sprowadza się do obliczenia
wartości f(x
0
) .
0
0
0
lim ( ), lim ( ),
lim ( )
x x
x x
x x
f x
f x
f x
-
+
�
�
�
Slajd
51/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
O lokalnym zachowaniu znaku
funkcji
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
oraz f(x
0
) >
0, to istnieje takie otoczenie U(x
0
,
), że
( ) 0
f x >
dla każdego x
U(x
0
,
).
x
0
Y
X
y
=f(x)
x
0
-
x
0
+
f(x
0
)
Slajd
52/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
Własność Weierstrassa 1 (o ograniczoności
funkcji ciągłej)
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
[a; b].
X
Y
a
b
f(a)
f(b)
Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale, to jest
ograniczona.
y =
m
y =
M
Slajd
53/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
Własność Weierstrassa 2 (o osiąganiu kresów
funkcji ciągłej)
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
[a; b].
c
X
Y
a
b
f(a)
f(b)
, że
f(c) = m
= inf {f(x); x [a,b] },
f(d) = M =
sup{ f(x); x [a,b] }.
Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale,
to istnieją w tym przedziale
takie argumenty c i d
f(
c
) =
m
d
f(
d
) =
M
Slajd
54/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
Własność Weierstrassa 2 -
uwaga
Funkcja f ciągła na przedziale [a; b] swoje wartości
optymalne: m i M może przyjmować zarówno w
punktach wewnętrznych jak i na końcach przedziału.
c
X
Y
a
f(a)
f(
c
) =
m
b =
d
f(
d
) =
M
X
Y
a =
c
f(
c
) =
m
b =
d
f(
d
) =
M
Slajd
55/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
Własność Darboux 1. (o przyjmowaniu wartości
pośrednich)
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
[a; b] i taką, że f(a) f(b).
c
X
Y
a
b
f(a)
f(b)
,
że
f(c) = p.
Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale,
to dla każdej wartości p
leżącej między f(a) i f(b)
p
istnieje w
tym przedziale taki argument
c
Slajd
56/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
Własność Darboux 2. (o miejscach zerowych
funkcji)
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
[a; b] i taką, że f(a)
.
f(b) < 0.
c
, że
f(c) = 0.
Jeżeli f jest ciągła na tym
przedziale,
to
istnieje w tym przedziale
taki argument c
X
Y
a
b
f(a)
f(b)
Slajd
57/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Własności funkcji ciągłych
Uwagi
1. Jeżeli funkcja f jest w przedziale [a, b] ściśle
monotoniczna, to punkt c, o którym mowa w
obu własnościach Darboux jest określony
jednoznacznie.
2. Twierdzenie Darboux 2. stosuje się często do
wyznaczania miejsc zerowych funkcji z dowolną
dokładnością.
Slajd
58/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Wyznaczyć z dokładnością do 0,1 pierwiastek równania:
3
2
1 0.
x
x
+ - =
Przyjmijmy
3
( )
2
1.
f x
x
x
= + -
Funkcja ta jest ciągła w zbiorze R (bo jest elementarna).
f(0) =-1,
f(1) =2.
Ponieważ na końcach przedziału [0 ; 1] funkcja
przyjmuje wartości różnych znaków, to wewnątrz
przedziału znajduje się przynajmniej jedno jej miejsce
zerowe.
1
( )
2
f
=
1
.
2
x =
Środkiem tego przedziału
jest
.
1
.
8
1
2
1
0
_
+
+
Slajd
59/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii
Przykład
Wyznaczyć z dokładnością do 0,1 pierwiastek równania:
3
2
1 0.
x
x
+ - =
Teraz poszukiwania miejsca zerowego funkcji
możemy ograniczyć do przedziału
1
2
[0; ].
1
2
1
0
_
+
+
1
( )
4
f
=
1
.
4
x=
Środkiem tego przedziału
jest
31
.
64
-
1
4
_
3
( )
8
f
=
3
.
8
x =
Środkiem kolejnego przedziału
jest
101
.
512
-
3
8
_
Długość aktualnego przedziału
wynosi
1
.
8
Przyjmując jego środek jako wartość
pierwiastka, popełnimy błąd
nieprzekraczający
1
.
16
7
16
7
16
x�
Slajd
60/ 60
T. Kowalski. W.9: Granice i ciągłość funkcjii