Maciej Sawicki Data wykonania : 10.12.2012

EF0-DI-1(01)

Laboratorium z fizyki

Ćw. nr: 10

Wyznaczanie częstotliwości drgań widełek stroikowych metodą pomiaru częstości dudnienia

Grupa laboratoryjna : L 01

Zespół ćwiczeniowy : VI

I. Wstęp teoretyczny

Fale mechaniczne polegają na wytrąceniu zespołu cząstek ośrodka sprężystego z

położenia równowagi, co powoduje ich drganie wokół tego położenia, przy czym dzięki właściwościom sprężystego ośrodka, zaburzenie przenosi się z jednej warstwy na następną, wprawiając ją w ruch drgający o określonej częstotliwości. W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali rozróżnia się fale poprzeczne lub podłużne. Fala poprzeczna występuje wtedy, gdy cząsteczki ośrodka sprężystego drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Fala podłużne natomiast występuje, gdy cząsteczki ośrodka drgają wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali.

Odległość między dwoma najbliższymi cząsteczkami ośrodka drgającego mającymi jednakowe fazy nazywamy długością fali λ. Okres T jest to czas w którym ruch falowy przenosi się na odległość λ. Tak więc prędkość v ruchu falowego określa się wzorem:

Częstotliwość drgań f wynosi:

Jeżeli przez ośrodek sprężysty przechodzi równocześnie kilka fal rozchodzących się z różnych źródeł drgań, to każda cząsteczka ośrodka uczestniczy w kilku nakładających się wzajemnie ruchach drgających. Zasada superpozycji mówi nam, że wychylenie jakiego doznaje każda cząsteczka ośrodka jest sumą wektorową wychyleń jakich doznawałaby przy rozchodzeniu się każdej z tych fal z osobna. Drgania cząsteczki mogą się osłabiać lub wzmacniać, w zależności czy są wynikiem nakładania się fal o fazach zgodnych, czy też przeciwnych. Zjawisko to nosi nazwę interferencji fal.

Szczególnym przypadkiem interferencji jest powstawanie fali stojącej, będącej wynikiem nakładania się dwóch fal o jednakowych amplitudach, częstotliwościach i prędkościach, rozchodzących się w ośrodku sprężystym w przeciwnych kierunkach.

strzałki

Na rysunku widać wyraźnie punkty, w których drgania nie występują (amplituda drgań jest równa zeru), zwane węzłami fali stojącej; oraz znajdujące się między nimi punkty o największej amplitudzie drgań, zwane strzałkami fali stojącej.

Dudnienie jest to zjawisko spowodowane nakładaniem się dwu ciągów fal o równych amplitudach rozchodzących się w tym samym ośrodku.

Zaburzenie spowodowane przez jedną z fal w dowolnym punkcie opisuje równanie:

można przyjąć, że φ₁=0 φ₂=0 oraz x=o.

Zgodnie z zasadą superpozycji:

podstawiając ω₁=2πf₁ i ω₂=2πf₂ otrzymujemy:

Drgania wypadkowe mają więc częstotliwość: , a amplitudę A opisuje wyrażenie:

Maksymalna amplituda, czyli dudnienie występuje wówczas, gdy:

czyli zdarza się dwa razy w ciągu okresu. Częstotliwość dudnień jest równa podwójnej częstotliwości modulacji.

f_dud = 2f_mod = f₂ – f₁

II. Tabelka pomiarowa

Lp.	f2	y	t	Td	fd	f1 ± u(f1)
	[Hz]	[cm]	[s]	[s]	[Hz]	[Hz]
1	435	5	9,63	0,963	1,038	434,02±0,07
2			10,17	1,017	0,983
3			9,63	0,963	1,038
4			10,05	1,005	0,995
5			10,21	1,021	0,979
6			10,89	1,089	0,918
7			10,21	1,021	0,979
8			10,61	1,061	0,942
9			10,39	1,039	0,962
10			10,55	1,055	0,948
11		2,5	11,73	1,173	0,853	434,13±0,06
12			11,38	1,138	0,879
13			11,92	1,192	0,839
14			11,11	1,111	0,900
15			12,15	1,215	0,823
16			11,53	1,153	0,867
17			11,17	1,117	0,895
18			11,34	1,134	0,882
19			11,56	1,156	0,865
20			11,61	1,161	0,861

III. Obliczenia

$T_{d} = \frac{t}{10} = \lbrack s\rbrack$ $f_{d} = \frac{1}{T_{d}}$

$$T_{d} = \frac{9,63}{10} = 0,963\lbrack s\rbrack$$

$$T_{d_{1}} = \sum_{i = 1}^{10}\frac{T_{d_{n}}}{n} = \frac{10,234}{10} = 1,0234\ \lbrack s\rbrack$$

$$T_{d_{2}} = \sum_{i = 1}^{10}\frac{T_{d_{n}}}{n} = \frac{11,55}{10} = 1,155\ \lbrack s\rbrack$$

Obliczanie niepewności u(T_d)

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{s_{x}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n(n - 1)}} = u(\overset{\overline{}}{x})$$

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \sqrt{\frac{0,0241}{380}} = 7.9637 \bullet 10^{- 3}$$

u(T_d) ≈ 0, 008 [s]

Obliczanie częstotliwości drgań widełek stroikowych z opaską f₁

f₁ = f₂ − f_d

f₁ = 435 − 0, 9785 = 434, 02 [Hz] −  dla y = 5 cm

f₁ = 435 − 0, 8664 = 434, 13 [Hz] −  dla y = 2, 5 cm

Obliczanie niepewności standardowej u(f₁)

$$u\left( f_{1} \right) = \frac{10}{{10,23}^{2}} \bullet \left( 0,2 + \frac{1,0234}{2} \right) = 0,068\ \lbrack Hz\rbrack\ - \ dla\ y = 5\ cm$$

$$u\left( f_{1} \right) = \frac{10}{{11,55}^{2}} \bullet \left( 0,2 + \frac{1,155}{2} \right) = 0,058\ \lbrack Hz\rbrack - \ dla\ y = 2,5\ cm$$

IV. Wnioski

Na błąd pomiaru składa się zdolność reakcji człowieka (ok.0,2s) oraz zdolność określenia chwili, w której wzmocnienie osiąga wartość maksymalną (1/2 T), co jest trudniejsze przy dłuższym wykonywaniu pomiarów ze względu zmęczenia narządu słuchu osoby wykonującej pomiar.