Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego

Instytut Geotechniki i Hydrotechniki

Politechniki Wrocławskiej

Zakład Fundamentowania

Ćwiczenie projektowe nr 1
z Fundamentowania

Ćwiczenie projektowe nr 1A (27) – Posadowienie bezpośrednie

Prowadzący:	Student:

Wstęp

Celem niniejszego ćwiczenia projektowego nr 1 z przedmiotu Fundamentowanie jest zaprojektowanie skrajnej ławy fundamentowej wielokondygnacyjnego budynku mieszkalnego zlokalizowanego w Ustce.

W niniejszym opracowaniu wykorzystano materiały:

• norma PN-EN 1997-1 (Eurokod 7),

• norma PN-81/B-03020 – Grunty budowlane. Posadowienie bezpośrednie budowli. Obliczenia statyczne i projektowanie,

• Olgierd Puła – Projektowanie fundamentów bezpośrednich według Eurokodu 7. Wydanie II, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2012 r.

Profil geotechniczny wraz z parametrami gruntów

Na podstawie wydanego tematu przyjęto poniższe dane projektowanej ławy fundamentowej oraz parametry geotechniczne gruntu, jak również obciążenia jakie powinna przenieść ta ława.

Tabela . Efektywne wartości charakterystyczne parametrów gruntowych.

Lp.	Symbol	Nazwa gruntu	Grubość warstwy	γ	γ^′	ϕ^′	c^′	Mo	β	M
			[m]	$$\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{3}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{3}} \right\rbrack$$	[]	[kPa]	[MPa]	-	[MPa]
1.	πp (saSi)	Pył piaszczysty	4,50	20,60	10,60	20,90	27,80	37	0,75	49,33
2.	Gp (siSa)	Glina piaszczysta	4,00	20,10	10,10	17,60	21,30	29	0,75	38,68
3.	Ps (grSi)	Piasek średni	∞	18,00	10,73	34,00	-	103	0,90	114,44

gdzie:

γ - ciężar właściwy gruntu, $\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{3}} \right\rbrack$,

γ^′ - ciężar właściwy gruntu znajdującego się pod wodą z uwzględnieniem wyporu, $\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{3}} \right\rbrack$,

ϕ^′ - kąt tarcia wewnętrznego, [],

c^′ - spójność gruntu, [kPa],

M_o - edometryczny moduł ściśliwości pierwotnej, [MPa],

β – wskaźnik skonsolidowania gruntu,

M – edometryczny moduł ściśliwości wtórnej, [MPa].

Rysunek . Profil geotechniczny.

Na podstawie tematu stwierdzono, iż zwierciadło napięte wody znajduje się 3,80 m poniżej poziomu terenu.

Tabela . Oddziaływania charakterystyczne.

Lp.	Oddziaływania charakterystyczne	Vk	HY; k	MX; k
		$$\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{\text{kNm}}{m} \right\rbrack$$
1.	Stałe	G	500	30
2.	Zmienne	Q	40	5
3.	Wyjątkowe	A	10	5

Wiadome parametry projektowanej ławy fundamentowej są następujące:

• poziom terenu p.t.=0,00 m n.p.m.,

• szerokość ściany na fundamencie b_sc=0,30 m,

• poziom posadzki najniższej kondygnacji p.p=1,00 m poniżej poziomu terenu,

• odległość między osiami ławy fundamentu skrajnego, a ławy fundamentu sąsiedniego
  l=4,20 m,

• długość ławy fundamentowej L=12,00 m,

• szerokość ławy fundamentowej sąsiedniej B₂ = 1, 10 • B₁,

• siła tnąca w osi fundamentu sąsiedniego V₂ = 1, 30 • V₁.

Założenia wstępne do projektu – wysokość fundamentu oraz poziom posadowienia

Analizowany fundament zlokalizowany jest w Ustce, w województwie pomorskim. Na podstawie ogólnodostępnych informacji przyjęto głębokość posadowienia gruntu ze względu na lokalne warunki przemarzania gruntu h_z=1,00 m. W tym przypadku grunty wysadzinowe,
tj. o zawartości frakcji ilastej i pylastej > 10%, znajdują się także poniżej strefy przemarzania oraz poniżej występującego napiętego zwierciadła wody gruntowej h_w=3,80 m p.p.t.

Poziom posadzki najniższej kondygnacji projektowanego budynku znajduje się na poziomie -1,00 m. W okresie zimowym najniższa kondygnacja nie będzie ogrzewana.

Wstępnie, dla dalszych obliczeń przyjęto następujące wartości:

• szerokość ławy fundamentowej B₁=1,80 m (zakres 0,80÷2,00 m),

• wysokość ławy fundamentowej d_f=0,40 m (zakres 0,30÷0,50 m).

Rysunek . Wstępnie przyjęte wymiary projektowanej ławy fundamentowej.

Wszelkie wartości pośrednie obliczono na podstawie poniższego rysunku 3. oraz zależności geometrycznych.

Rysunek . Skupianie obciążeń do punktu O.

Z powyższego rysunku wynika:

• H₁ = |p.t.−p.p.| + H₂ + H₃ = |0,00−(−1,00)| + 0, 15 + 0, 60 = 1, 75m,

• H₂ = h_pos = 0, 15m – grubość posadzki w najniższej kondygnacji (zakres 0,10÷0,20 m),

• H₃ = h_z − d_f = 1, 00 − 0, 40 = 0, 60m,

• d_f = 0, 40m,

• $b = \frac{\left( B_{1} - b_{\text{sc}} \right)}{2} = \frac{\left( 1,80 - 0,30 \right)}{2} = 0,75m$,

• $r = \frac{b}{2} + \frac{b_{\text{sc}}}{2} = \frac{0,75}{2} + \frac{0,30}{2} = 0,53m$.

Ponadto przyjęto do obliczeń ciężary:

• zasypki $\gamma_{1} = \gamma_{3} = 18,50\frac{\text{kN}}{m^{3}}\ $,

• posadzki $\gamma_{2} = 23\frac{\text{kN}}{m^{3}}$,

• żelbetu $\gamma_{4} = 25\frac{\text{kN}}{m^{3}}$.

Obciążenia poszczególnych części obliczono poniżej w odniesieniu do 1 mb projektowanej ławy fundamentowej:

$$G_{1} = \gamma_{1} \bullet H_{1} \bullet b = 18,50 \bullet 1,75 \bullet 0,75 = 24,28\frac{\text{kN}}{m}\ $$

$$G_{2} = \gamma_{2} \bullet H_{2} \bullet b = 23 \bullet 0,15 \bullet 0,75 = 2,59\frac{\text{kN}}{m}\ $$

$$G_{3} = \gamma_{3} \bullet H_{3} \bullet b = 18 \bullet 0,60 \bullet 0,75 = 8,33\frac{\text{kN}}{m}\ $$

$$G_{4} = \gamma_{4} \bullet d_{f} \bullet B_{1} = 25 \bullet 0,40 \bullet 1,80 = 18,00\frac{\text{kN}}{m}\ $$

Z warunków statyki w punkcie O wynika:

$${\sum_{}^{}{M_{O} = M_{X;k}^{G} + H_{Y;k}^{G} \bullet}d_{f} - G_{1} \bullet r + \left( G_{2} + G_{3} \right) \bullet r + G_{4} \bullet 0 = 20 + 30 \bullet 0,40 - 24,28 \bullet 0,53 + \backslash n}{\left( 2,59 + 8,33 \right) \bullet 0,53 + 18,00 \bullet 0 = 24,98\frac{\text{kNm}}{1\ mb}}$$

$$\sum_{}^{}{V_{O} = V^{G} + G_{1} + G_{2} + G_{3} + G_{4} = 500 + 24,28 + 2,59 + 8,33 + 18,00 = 553,19\frac{\text{kN}}{m}}$$

$e_{k}^{G} = \frac{\sum_{}^{}M_{O}}{\sum_{}^{}V_{O}} = \frac{24,98}{553,19} = 0,05\ m$ -> przyjęto e_O = 0, 05 m

Sprawdzenie stanów granicznych nośności GEO

Podłoże jednorodne

Po uwzględnieniu mimośrodu e_O zmienił się układ sił wokół ławy fundamentowej, co ma wpływ na obliczenie poniższego warunku według stanu granicznego GEO:

V_d ≤ R_d

gdzie:

V_d – pionowa siła przyłożona do fundamentu w punkcie O’, kN,

R_d – obliczeniowa nośność gruntu w punkcie O’, kN.

Rysunek . Układ sił po przesunięciu stopy fundamentu o mimośród e_O.

Z powyższego rysunku wynika:

$$V_{d} = V_{k}^{G} \bullet \gamma_{G} + V_{k}^{Q} \bullet \gamma_{Q} + V_{k}^{A} \bullet \gamma_{A} + \sum_{}^{}G_{i,d}$$

$$\sum_{}^{}G_{i,d} = G_{1,d} + G_{2,d} + G_{3,d} + G_{4,d} = G_{1}^{*} \bullet \gamma_{G_{1}^{*}} + G_{2}^{*} \bullet \gamma_{G_{2}^{*}} + G_{3}^{*} \bullet \gamma_{G_{3}^{*}} + G_{4}^{*} \bullet \gamma_{G_{4}^{*}}$$

Przyjmuje się do dalszych obliczeń:

• γ_G = 1, 35

• γ_Q = 1, 50

• γ_A = 1, 00

• γ_G1^* = γ_G3^* = γ_G4^* = 1, 00

• γ_G2^* = 1, 35

• b_l = b − e_O

• b_p = b + e_O

• r_l = r + e_O

• r_p = r − e_O

b_l = b − e_O = 0, 75 − 0, 05 = 0, 70m

b_p = b + e_O = 0, 75 + 0, 05 = 0, 80m

r_l = r + e_O = 0, 53 + 0, 05 = 0, 58m

r_p = r − e_O = 0, 53 − 0, 05 = 0, 48m

$$G_{1,k}^{*} = \gamma_{1} \bullet H_{1} \bullet b_{l} = 18,50 \bullet 1,75 \bullet 0,70 = 22,66\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{2,k}^{*} = \gamma_{2} \bullet H_{2} \bullet b_{p} = 23,00 \bullet 0,15 \bullet 0,80 = 2,76\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{3,k}^{*} = \gamma_{3} \bullet H_{3} \bullet b_{p} = 18,50 \bullet 0,60 \bullet 0,80 = 8,88\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{4,k}^{*} = G_{4} = \gamma_{4} \bullet d_{f} \bullet B = 25,00 \bullet 0,40 \bullet 1,80 = 18,00\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}G_{i,d} = 22,66 \bullet 1,00 + 2,76 \bullet 1,35 + 8,88 \bullet 1,00 + 18,00 \bullet 1,00 = 53,27\frac{\text{kN}}{m}$$

$$V_{d} = 500 \bullet 1,35 + 40 \bullet 1,50 + 10 \bullet 1,00 + 53,27 = 798,27\frac{\text{kN}}{m}$$

Nośność obliczeniowa gruntu wyraża się wzorem:

$$R_{d} = \frac{R_{k}}{\gamma_{R}}$$

gdzie:

γ_R – globalny współczynnik bezpieczeństwa, γ_R = 1, 40,

R_k – charakterystyczna nośność gruntu wyznaczana ze wzoru:

$$R_{k} = A^{'} \bullet \left( q^{'} \bullet N_{q} \bullet b_{q} \bullet s_{q} \bullet i_{q} + \frac{1}{2} \bullet \gamma \bullet B^{'} \bullet N_{\gamma} \bullet b_{\gamma} \bullet s_{\gamma} \bullet i_{\gamma} + c^{'} \bullet N_{c} \bullet b_{c} \bullet s_{c} \bullet i_{c} \right)$$

A^′ = B^′ • L^′

B^′ = B₁ − 2 • |e_B|

L^′ = L − 2 • |e_L| → e_L = 0 → L^′ = L

$$e_{B} = e_{B}^{G + Q + A} = \frac{\sum_{}^{}M_{O^{'},k}^{G + Q + A}}{\sum_{}^{}V_{O^{'},k}^{G + Q + A}}$$

$$M_{O^{'},k}^{G + Q + A} = M_{k}^{G} + M_{k}^{Q}{+ M}_{k}^{A} = 20 + 5 + 5 = 30\frac{\text{kNm}}{m}$$

$$V_{O^{'},k}^{G + Q + A} = V_{k}^{G} + V_{k}^{Q}{+ V}_{k}^{A} = 500 + 40 + 10 = 550\frac{\text{kN}}{m}$$

$$H_{O^{'},k}^{G + Q + A} = H_{k}^{G} + H_{k}^{Q}{+ H}_{k}^{A} = 30 + 5 + 5 = 40\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}M_{O^{'},k}^{G + Q + A} = M_{O^{'},k}^{G + Q + A} + d_{f} \bullet H_{O^{'},k}^{G + Q + A} - {r_{l} \bullet G}_{1}^{*} + r_{p} \bullet \left( G_{2}^{*} + G_{3}^{*} \right) - e_{O} \bullet V_{O^{'},k}^{G + Q + A}$$

$$\sum_{}^{}V_{O^{'},k}^{G + Q + A} = V_{O^{'},k}^{G + Q + A} + \sum_{}^{}G_{i,k}$$

$$\sum_{}^{}G_{i,k} = G_{1}^{*} + G_{2}^{*} + G_{3}^{*} + G_{4}^{*}$$

Po podstawieniu danych powyższych:

$$\sum_{}^{}G_{i,k} = 22,66 + 2,76 + 8,88 + 18,00 = 52,30\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}V_{O^{'},k}^{G + Q + A} = 550 + 52,30 = 602,30\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}M_{O^{'},k}^{G + Q + A} = 30 + 0,40 \bullet 40 - 0,58 \bullet 22,66 + 0,48 \bullet \left( 2,76 + 8,88 \right) - 0,05 \bullet 550 = 11,00\frac{\text{kNm}}{m}$$

$$e_{B} = e_{B}^{G + Q + A} = \frac{11,00}{602,30} = 0,02m$$

B^′ = 1, 80 − 2 • |0,02| = 1, 80 − 0, 04 = 1, 76m

A^′ = 1, 76 • 12, 00 = 21, 12m²

Dla dalszych obliczeń dla gruntu jednorodnego przyjęto następujące parametry jak dla pierwszej warstwy gruntu, tj. c^′ = 27, 80 kPa oraz ϕ^′ = 20, 90^o. Ponadto:

$$q_{\min}\begin{Bmatrix} q_{1} = \left( H_{1} + d_{f} \right) \bullet \gamma_{1} \\ q_{2} = H_{2} \bullet \gamma_{2} + \left( H_{3} + d_{f} \right) \bullet \gamma_{3} \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} q_{1} = \left( 1,75 + 0,40 \right) \bullet 20,60 \\ q_{2} = 0,15 \bullet 23 + \left( 0,60 + 0,40 \right) \bullet 20,60 \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} q_{1} = 44,29 \\ q_{2} = 24,05 \\ \end{Bmatrix} = q^{'} = q_{2} = 24,05\ kPa$$

$$\gamma = \gamma_{\text{zast}} = \frac{\gamma_{1} \bullet \left( h_{w - 1} - \left( H_{1} + d_{f} \right) \right) + \left( H_{1} + d_{f} + B_{1} - h_{w - 1} \right) \bullet \gamma_{1}^{'}}{B_{1}} = \frac{20,60 \bullet \left( 3,80 - \left( 1,75 + 0,40 \right) \right) + \left( 1,75 + 0,40 + 1,80 - 3,80 \right) \bullet 10,60}{1,80} = 19,77\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$

Współczynniki nośności:

$$N_{q} = e^{\pi \bullet \tan\left( \phi_{k}^{'} \right)} \bullet \operatorname{}\left( 45 + \frac{\phi_{k}^{'}}{2} \right)$$

N_γ = 2 • (N_q−1) • tan(ϕ_k^′)

N_c = (N_q−1) • ctan(ϕ_k^′)

Współczynniki nachylenia podstawy fundamentu:

b_q = b_γ = (1−α•tan(ϕ_k^′))²

$$b_{c} = b_{q} - \frac{1 - b_{q}}{N_{c} \bullet \tan\left( \phi_{k}^{'} \right)}$$

W projekcie przyjęto α = 0 rad → b_q = b_γ = b_c = 1.

Współczynniki kształtu (dla prostokąta):

$$s_{q} = 1 + \left( \frac{B^{'}}{L^{'}} \right) \bullet \sin\left( \phi_{k}^{'} \right)$$

$$s_{\gamma} = 1 - 0,3 \bullet \left( \frac{B^{'}}{L^{'}} \right)$$

$$s_{c} = \frac{s_{q} \bullet N_{q} - 1}{N_{q} - 1}$$

Współczynniki uwzględniające wpływ sił poziomych:

$$i_{q} = \left\lbrack 1 - \frac{H_{O^{'},k}^{G + Q + A}}{V_{O^{'},k}^{G + Q + A} + A^{'} \bullet c^{'} \bullet \operatorname{ctan}\left( \phi_{k}^{'} \right)} \right\rbrack^{m}$$

$$i_{\gamma} = \left\lbrack 1 - \frac{H_{O^{'},k}^{G + Q + A}}{V_{O^{'},k}^{G + Q + A} + A^{'} \bullet c^{'} \bullet \operatorname{ctan}\left( \phi_{k}^{'} \right)} \right\rbrack^{\left( m + 1 \right)}$$

$$i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i_{q}}{N_{c} \bullet \tan\left( \phi_{k}^{'} \right)}$$

$$m = m_{B} = \frac{2 + \frac{B^{'}}{L^{'}}}{1 + \frac{B^{'}}{L^{'}}}$$

Na podstawie przyjętych powyżej wymiarów obliczono:

$$N_{q} = e^{\pi \bullet \tan\left( 20,90 \right)} \bullet \operatorname{}\left( 45 + \frac{20,90}{2} \right) = 7,00$$

N_γ = 2 • (7,00−1) • tan(20,90) = 4, 58

N_c = (7,00−1) • ctan(20,90) = 15, 71

$$s_{q} = 1 + \left( \frac{1,76}{12,0} \right) \bullet \sin\left( 20,90 \right) = 1,05$$

$$s_{\gamma} = 1 - 0,3 \bullet \left( \frac{1,76}{12,0} \right) = 0,96$$

$$s_{c} = \frac{1,05 \bullet 7,00 - 1}{7,00 - 1} = 1,06$$

$$m = m_{B} = \frac{2 + \frac{1,76}{12,0}}{1 + \frac{1,76}{12,0}} = 1,87$$

$$i_{q} = \left\lbrack 1 - \frac{40}{550 + 21,12 \bullet 27,80 \bullet \operatorname{ctan}\left( {20,90}^{o} \right)} \right\rbrack^{1,87} = 0,96$$

$$i_{\gamma} = \left\lbrack 1 - \frac{40}{550 + 21,12 \bullet 27,80 \bullet \operatorname{ctan}\left( {20,90}^{o} \right)} \right\rbrack^{\left( 1,87 + 1 \right)} = 0,95$$

$$i_{c} = 0,96 - \frac{1 - 0,96}{15,71 \bullet \tan\left( {20,90}^{o} \right)} = 0,96$$

$$R_{k} = 21,12 \bullet \left( 24,05 \bullet 7,00 \bullet 1,00 \bullet 1,05 \bullet 0,96 + \frac{1}{2} \bullet 20,60 \bullet 1,76 \bullet 4,58 \bullet 1,00 \bullet 0,96 \bullet 0,95 + 27,80 \bullet 15,71 \bullet 1,00 \bullet 1,06 \bullet 0,96 \right) = 14513,94\ kN$$

$$R_{d} = \frac{14513,94}{1,40} = 10367,10kN$$

798, 27kN/m • 12, 00m ≤ 10367, 10kN → 9579, 24kN ≤ 10367, 10kN

$0,90 \leq \frac{9579,24kN}{10367,10kN} = 0,92 \leq 1,00$ warunek spełniony!

Podłoże uwarstwione

Należy sprawdzić poniższy warunek GEO dla podłoża uwarstwionego przyjmując, iż poniżej warstwy „mocnej” znajduje się warstwa „słaba”:

V_d^′ ≤ R_d^′

gdzie:

V_d^′ – pionowa siła przyłożona do fundamentu w punkcie O”, kN,

R_d^′ – obliczeniowa nośność gruntu w punkcie O”, kN.

Rysunek . Układ sił dla podłoża uwarstwionego i przyjętego fundamentu zastępczego.

Z powyższego rysunku wynika:

$$V_{d}^{'} = V_{k}^{G} \bullet \gamma_{G} + V_{k}^{Q} \bullet \gamma_{Q} + V_{k}^{A} \bullet \gamma_{A} + \sum_{}^{}G_{i,d}^{'}$$

$$\sum_{}^{}G_{i,d}^{'} = G_{1,d} + G_{2,d} + G_{3,d} + G_{4,d} + G_{5,d} = G_{1}^{*} \bullet \gamma_{G_{1}^{*}} + G_{2}^{*} \bullet \gamma_{G_{2}^{*}} + G_{3}^{*} \bullet \gamma_{G_{3}^{*}} + G_{4}^{*} \bullet \gamma_{G_{4}^{*}} + G_{5}^{*} \bullet \gamma_{G_{5}^{*}}$$

$h_{\text{fz}} \leq 2 \bullet B_{1} \rightarrow h_{\text{fz}} = 2,35m \rightarrow b = \frac{h_{\text{fz}}}{3} = 0,78m$ przyjmuję h_fz do stropu warstwy kolejnej

$$B^{"} = B_{1} + b = 1,80 + 0,78m = 2,58m$$

$$\gamma_{G_{5}^{*}} = \frac{\left( h_{w} - \left( H_{1} + d_{f} \right) \right) \bullet \gamma_{1} - \left( W_{\pi_{p}} - h_{w} \right) \bullet \gamma_{1}^{'}}{B^{"}} = \frac{\left( 3,80 - \left( 1,75 + 0,40 \right) \right) \bullet 20,60 - \left( 4,50 - 3,80 \right) \bullet 10,60}{2,58} = 16,03\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$

$$G_{1,k}^{*} = 22,66\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{2,k}^{*} = 2,76\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{3,k}^{*} = 8,88\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{4,k}^{*} = G_{4} = 18,00\frac{\text{kN}}{m}$$

$$G_{5,k}^{*} = \gamma_{G_{5}^{*}} \bullet h_{\text{fz}} \bullet B^{"} = 16,03 \bullet 2,35 \bullet 2,58 = 97,31\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}G_{i,d}^{'} = 22,66 \bullet 1,00 + 2,76 \bullet 1,35 + 8,88 \bullet 1,00 + 18,00 \bullet 1,00 + 97,31 \bullet 1,00 = 150,58\frac{\text{kN}}{m}$$

$$V_{d}^{'} = 500 \bullet 1,35 + 40 \bullet 1,50 + 10 \bullet 1,00 + 150,58 = 895,58\frac{\text{kN}}{m}$$

Nośność obliczeniowa gruntu wyraża się wzorem:

$$R_{d}^{'} = \frac{R_{k}^{'}}{\gamma_{R}}$$

gdzie:

γ_R – globalny współczynnik bezpieczeństwa, γ_R = 1, 40,

R_k^′ – charakterystyczna nośność gruntu wyznaczana ze wzoru:

$$R_{k}^{'} = A^{"} \bullet \left( q^{"} \bullet N_{q}^{'} \bullet b_{q}^{'} \bullet s_{q}^{'} \bullet i_{q}^{'} + \frac{1}{2} \bullet \gamma \bullet B^{'''} \bullet N_{\gamma}^{'} \bullet b_{\gamma}^{'} \bullet s_{\gamma}^{'} \bullet i_{\gamma}^{'} + c^{'} \bullet N_{c}^{'} \bullet b_{c}^{'} \bullet s_{c}^{'} \bullet i_{c}^{'} \right)$$

$$A^{"} = B^{'''} \bullet L^{''}$$

B^‴ = B^″ − 2 • |e_B^′|

L^″ = L + b = 12, 00 + 0, 78 = 12, 78m

$$e_{B}^{'} = \frac{\sum_{}^{}M_{O^{''},k}^{G + Q + A}}{\sum_{}^{}V_{O^{''},k}^{G + Q + A}}$$

$$M_{O^{''},k}^{G + Q + A} = M_{k}^{G} + M_{k}^{Q}{+ M}_{k}^{A} = 20 + 5 + 5 = 30\frac{\text{kNm}}{m}$$

$$V_{O^{''},k}^{G + Q + A} = V_{k}^{G} + V_{k}^{Q}{+ V}_{k}^{A} = 500 + 40 + 10 = 550\frac{\text{kN}}{m}$$

$$H_{O^{''},k}^{G + Q + A} = H_{k}^{G} + H_{k}^{Q}{+ H}_{k}^{A} = 30 + 5 + 5 = 40\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}M_{O^{''},k}^{G + Q + A} = M_{O^{''},k}^{G + Q + A} + \left( d_{f} + \left( W_{\pi_{p}} - H_{1} \right) \right) \bullet H_{O^{''},k}^{G + Q + A} - {r_{l} \bullet G}_{1}^{*} + r_{p} \bullet \left( G_{2}^{*} + G_{3}^{*} \right) - e_{O} \bullet V_{O^{''},k}^{G + Q + A}$$

$$\sum_{}^{}V_{O^{''},k}^{G + Q + A} = V_{O^{''},k}^{G + Q + A} + \sum_{}^{}G_{i,k}^{'}$$

$$\sum_{}^{}G_{i,k}^{'} = G_{1}^{*} + G_{2}^{*} + G_{3}^{*} + G_{4}^{*} + G_{5}^{*}$$

Po podstawieniu danych powyższych:

$$\sum_{}^{}G_{i,k}^{'} = 22,66 + 2,76 + 8,88 + 18,00 + 97,31 = 149,62\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}V_{O^{''},k}^{G + Q + A} = 550 + 149,62 = 699,62\frac{\text{kN}}{m}$$

$$\sum_{}^{}M_{O^{''},k}^{G + Q + A} = 30 + \left( 0,40 + 2,35 \right) \bullet 40 - 0,58 \bullet 22,66 + 0,48 \bullet \left( 2,76 + 8,88 \right) - 0,05 \bullet 550 = 105,00\frac{\text{kNm}}{m}$$

$$e_{B}^{'} = \frac{105,00}{699,62} = 0,15m$$

B^‴ = 2, 58 − 2 • |0,15| = 2, 28m

$$A^{"} = 2,28 \bullet 12,78 = 29,19m^{2}$$

Dla dalszych obliczeń dla gruntu uwarstwionego przyjęto następujące parametry jak dla drugiej warstwy gruntu, tj. c^′ = 21, 30 kPa oraz ϕ^′ = 17, 60^o. Ponadto:

$$q_{\min}\begin{Bmatrix} q_{1} = h_{w} \bullet \gamma_{1} + \left( W_{\pi_{p}} - h_{w} \right) \bullet \gamma_{1}^{'} \\ q_{2} = H_{2} \bullet \gamma_{2} + \left( h_{w} - \left| \text{p.pos.} \right| - H_{2} \right) \bullet \gamma_{1} + \left( W_{\pi_{p}} - h_{w} \right) \bullet \gamma_{1}^{'} \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} q_{1} = 3,80 \bullet 20,60 + \left( 4,50 - 3,80 \right) \bullet 10,60 \\ q_{2} = 0,15 \bullet 23,00 + \left( 3,80 - \left| - 1,00 \right| - 0,15 \right) \bullet 20,60 + \left( 4,50 - 3,80 \right) \bullet 10,60 \\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} q_{1} = 85,70 \\ q_{2} = 65,46 \\ \end{Bmatrix} = q^{"} = q_{2} = 65,46\ kPa$$

$$\gamma = \gamma_{\text{zast}}^{'} = \frac{\left( h_{w} - \left( H_{1} + d_{f} \right) \right) \bullet \gamma_{1} + \left( W_{\pi_{p}} - h_{w} \right) \bullet \gamma_{1}^{'}}{h_{\text{fz}}} = \frac{\left( 3,80 - \left( 1,75 + 0,40 \right) \right) \bullet 20,60 + \left( 4,50 - 3,80 \right) \bullet 10,60}{2,35} = 17,62\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$

Współczynniki nośności:

$$N_{q}^{'} = e^{\pi \bullet \tan\left( \phi_{k}^{'} \right)} \bullet \operatorname{}\left( 45 + \frac{\phi_{k}^{'}}{2} \right)$$

N_γ^′ = 2 • (N_q−1) • tan(ϕ_k^′)

N_c^′ = (N_q−1) • ctan(ϕ_k^′)

Współczynniki nachylenia podstawy fundamentu:

b_q^′ = b_γ^′ = (1−α•tan(ϕ_k^′))²

$$b_{c}^{'} = b_{q}^{'} - \frac{1 - b_{q}^{'}}{N_{c}^{'} \bullet \tan\left( \phi_{k}^{'} \right)}$$

W projekcie przyjęto α = 0 rad → b_q^′ = b_γ^′ = b_c^′ = 1.

Współczynniki kształtu (dla prostokąta):

$$s_{q}^{'} = 1 + \left( \frac{B^{''}}{L^{''}} \right) \bullet \sin\left( \phi_{k}^{'} \right)$$

$$s_{\gamma}^{'} = 1 - 0,3 \bullet \left( \frac{B^{''}}{L^{''}} \right)$$

$$s_{c}^{'} = \frac{s_{q}^{'} \bullet N_{q}^{'} - 1}{N_{q}^{'} - 1}$$

Współczynniki uwzględniające wpływ sił poziomych:

$$i_{q}^{'} = \left\lbrack 1 - \frac{H_{O^{''},k}^{G + Q + A}}{V_{O^{''},k}^{G + Q + A} + A^{"} \bullet c^{'} \bullet \operatorname{ctan}\left( \phi_{k}^{'} \right)} \right\rbrack^{m^{'}}$$

$$i_{\gamma}^{'} = \left\lbrack 1 - \frac{H_{O^{''},k}^{G + Q + A}}{V_{O^{''},k}^{G + Q + A} + A^{"} \bullet c^{'} \bullet \operatorname{ctan}\left( \phi_{k}^{'} \right)} \right\rbrack^{\left( m^{'} + 1 \right)}$$

$$i_{c}^{'} = i_{q}^{'} - \frac{1 - i_{q}^{'}}{N_{c}^{'} \bullet \tan\left( \phi_{k}^{'} \right)}$$

$$m^{'} = m_{B}^{'} = \frac{2 + \frac{B^{''}}{L^{''}}}{1 + \frac{B^{''}}{L^{''}}}$$

Na podstawie przyjętych powyżej wymiarów obliczono:

$$N_{q}^{'} = e^{\pi \bullet \tan\left( 20,90 \right)} \bullet \operatorname{}\left( 45 + \frac{17,60}{2} \right) = 5,06$$

N_γ^′ = 2 • (5,06−1) • tan(17,60) = 2, 57

N_c^′ = (5,06−1) • ctan(17,60) = 12, 79

$$s_{q}^{'} = 1 + \left( \frac{2,28}{12,78} \right) \bullet \sin\left( 17,60 \right) = 1,05$$

$$s_{\gamma}^{'} = 1 - 0,3 \bullet \left( \frac{2,28}{12,78} \right) = 0,95$$

$$s_{c}^{'} = \frac{1,05 \bullet 5,06 - 1}{5,06 - 1} = 1,07$$

$$m^{'} = m_{B}^{'} = \frac{2 + \frac{2,28}{12,78}}{1 + \frac{2,28}{12,78}} = 1,85$$

$$i_{q}^{'} = \left\lbrack 1 - \frac{40}{550 + 29,19 \bullet 21,30 \bullet \operatorname{ctan}\left( {17,60}^{o} \right)} \right\rbrack^{1,85} = 0,97$$

$$i_{\gamma}^{'} = \left\lbrack 1 - \frac{40}{550 + 29,19 \bullet 21,30 \bullet \operatorname{ctan}\left( {17,60}^{o} \right)} \right\rbrack^{\left( 1,85 + 1 \right)} = 0,96$$

$$i_{c}^{'} = 0,97 - \frac{1 - 0,97}{12,79 \bullet \tan\left( {17,60}^{o} \right)} = 0,96$$

$$R_{k}^{'} = 29,19 \bullet \left( 65,46 \bullet 5,06 \bullet 1,00 \bullet 1,05 \bullet 0,97 + \frac{1}{2} \bullet 17,62 \bullet 2,28 \bullet 2,57 \bullet 1,00 \bullet 0,95 \bullet 0,96 + 21,30 \bullet 12,79 \bullet 1,00 \bullet 1,07 \bullet 0,96 \right) = 21926,26\ kN$$

$$R_{d}^{'} = \frac{21926,26}{1,40} = 15661,61\ kN$$

895, 58kN/m • 12, 78m ≤ 15661, 61kN → 11445, 51kN ≤ 15661, 61kN

$0,90 \leq \frac{11445,51kN}{15661,61kN} = 0,73 \leq 1,00$ warunek nie spełniony!

Rozkład naprężeń pod fundamentem dla kombinacji obciążeń

Dla analizowanej ławy fundamentowej należy wyznaczyć rozkład naprężeń powstałych
w wyniku ściskania mimośrodowego. W tym celu należy określić warunki:

• sprawdzenie czy przyłożona siła V na mimośrodzie e_O znajduje się w rdzeniu przekroju:

$${\sum_{}^{}{M_{O'} = M_{X;k}^{G} + H_{Y;k}^{G} \bullet}d_{f} - G_{1} \bullet r + \left( G_{2} + G_{3} \right) \bullet r + G_{4} \bullet 0 - V^{G} \bullet e_{O} = 20 + 30 \bullet 0,40 - 24,28 \bullet 0,53 + \backslash n}{\left( 2,59 + 8,33 \right) \bullet 0,53 + 18,00 \bullet 0 - 500 \bullet 0,05 = - 0,08\frac{\text{kNm}}{1\ mb}}$$

$$\sum_{}^{}{V_{O} = V^{G} + G_{1} + G_{2} + G_{3} + G_{4} = 500 + 24,28 + 2,59 + 8,33 + 18,00 = 553,19\frac{\text{kN}}{m}}$$

${e'}_{k}^{G} = \frac{\sum_{}^{}M_{O}}{\sum_{}^{}V_{O}} = \frac{- 0,08}{553,19} = - 0,00014\ m$ -> przyjęto e_O = −0, 00014 m

$\left| {e'}_{k}^{G} \right| \leq \frac{B}{6} \rightarrow \left| - 0,00014m \right| \leq \frac{1,80m}{6} = 0,30m$ – warunek spełniony!

• obliczenie maksymalnej i minimalnej wartości odporu gruntu:

$$V = V_{k}^{G} + G_{1} + G_{2} + G_{3} + G_{4} = 500 + 24,28 + 2,59 + 8,33 + 18,00 = 553,19\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{\max} = \frac{V}{B} \bullet \left( 1 + \frac{6 \bullet \left| {e^{'}}_{k}^{G} \right|}{B} \right) = \frac{553,19}{1,80} \bullet \left( 1 + \frac{6 \bullet \left| - 0,00014 \right|}{1,80} \right) = 307,47\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$q_{\min} = \frac{V}{B} \bullet \left( 1 - \frac{6 \bullet \left| {e^{'}}_{k}^{G} \right|}{B} \right) = \frac{553,19}{1,80} \bullet \left( 1 - \frac{6 \bullet \left| - 0,00014 \right|}{1,80} \right) = 307,18\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

Dla poszczególnych kombinacji obciążeń należy sprawdzić:

• dla kombinacji składającej się jedynie z obciążeń stałych G:

$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} \leq 2,0$ – jak dla gruntów ściśliwych, charakteryzujących się edometrycznym modułem ściśliwości pierwotnej z zakresu 5MPa ≤ M_o ≤ 20MPa

$\frac{q_{\max}}{q_{\min}} = \frac{307,47}{307,18} = 1,00 \leq 2,0$ – warunek spełniony!

• dla kombinacji składającej się z obciążeń stałych G i zmiennych Q:

$$\sum_{}^{}M_{B,k}^{G + Q} = M_{X;k}^{G} + M_{X;k}^{Q} + \left( H_{Y;k}^{G} + H_{Y;k}^{Q} \right) \bullet d_{f} - G_{1} \bullet r + \left( G_{2} + G_{3} \right) \bullet r = 20 + 5 + \left( 30 + 5 \right) \bullet 0,40 - 24,28 \bullet 0,53 + \left( 2,59 + 8,33 \right) \bullet 0,53 = 31,92kNm$$

$$\sum_{}^{}V_{B,k}^{G + Q} = V_{k}^{G} + V_{k}^{Q} + G_{1} + G_{2} + G_{3} + G_{4} = 500 + 40 + 24,28 + 2,59 + 8,33 + 18,00 = 593,19kN$$

$$e_{B,k}^{G + Q} = \frac{\sum_{}^{}M_{B,k}^{G + Q}}{\sum_{}^{}V_{B,k}^{G + Q}} = \frac{31,92}{593,19} = 0,05m$$

$e_{B,k}^{G + Q} \leq \frac{B}{6} \rightarrow 0,05m \leq \frac{1,80m}{6} = 0,30m$ – warunek spełniony!

• dla kombinacji składającej się z obciążeń stałych G, zmiennych Q i wyjątkowych A:

$${\sum_{}^{}M_{B,k}^{G + Q + A} = M_{X;k}^{G} + M_{X;k}^{Q} + M_{X;k}^{A} + \left( H_{Y;k}^{G} + H_{Y;k}^{Q} + H_{Y;k}^{A} \right) \bullet d_{f} - G_{1} \bullet r + \left( G_{2} + G_{3} \right) \bullet r = 20 + 5 + 5 + \backslash n}{\left( 30 + 5 + 5 \right) \bullet 0,40 - 24,28 \bullet 0,53 + \left( 2,59 + 8,33 \right) \bullet 0,53 = 38,92kNm}$$

$$\sum_{}^{}V_{B,k}^{G + Q + A} = V_{k}^{G} + V_{k}^{Q} + V_{k}^{A} + G_{1} + G_{2} + G_{3} + G_{4} = 500 + 40 + 10 + 24,28 + 2,59 + 8,33 + 18,00 = 603,20kN$$

$$e_{B,k}^{G + Q + A} = \frac{\sum_{}^{}M_{B,k}^{G + Q + A}}{\sum_{}^{}V_{B,k}^{G + Q + A}} = \frac{38,92}{603,20} = 0,06m$$

$$e_{B,k}^{G + Q + A} \leq \frac{B}{6} \rightarrow 0,06m \leq \frac{1,80m}{6} = 0,30m$$

$$e_{B,k}^{G + Q + A} > \frac{B}{6} \rightarrow \frac{1}{2} \bullet B - e_{B,k}^{G + Q + A} = \frac{1}{3} \bullet (B - c)$$

$$e_{B,k}^{G + Q + A} \leq \frac{B}{6} \rightarrow c = 0$$

W analizowanym przypadku siły na mimośrodzie pozostają w polu rdzenia przekroju, czyli nie ma strefy rozciągania w ławie fundamentowej, tj. występowanie szczeliny pod fundamentem wynosi c = 0.

Projekt konstrukcji żelbetowej fundamentu

Dla obliczenia zbrojenia ławy fundamentowej przyjęto następujące zalecenia konstrukcyjne:

• beton dla ławy fundamentowej: C20/25

• charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie f_ck: 20 MPa

• obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie f_cd: 13,3 MPa

• charakterystyczna wytrzymałość betonu na rozciąganie f_ctk: 1,5 MPa

• obliczeniowa wytrzymałość betonu na rozciąganie f_ctd: 1,0 MPa

• wytrzymałość średnia betonu na rozciąganie f_ctm: 2,2 MPa

• beton niekonstrukcyjny: C12/15

• przyjęta stal: EPSTAL B500SP

• charakterystyczna granica plastyczności stali f_yk: 500 MPa

• obliczeniowa granica plastyczności stali f_yd: 434,8 MPa

• otulina c: 0,05 m

M_d^{G + Q + A} = M_k^G • γ_G + M_k^Q • γ_Q + M_k^A • γ_A = 20 • 1, 35 + 5 • 1, 50 + 5 • 1, 00 = 39, 50 kNm

V_d^{G + Q + A} = V_k^G • γ_G + V_k^Q • γ_Q + V_k^A • γ_A = 500 • 1, 35 + 40 • 1, 50 + 10 • 1, 00 = 745, 00 kN

H_d^{G + Q + A} = H_k^G • γ_G + H_k^Q • γ_Q + H_k^A • γ_A = 30 • 1, 35 + 5 • 1, 50 + 5 • 1, 00 = 53, 00 kN

$$e_{O,d}^{G + Q + A} = \frac{M_{d}^{G + Q + A} + H_{d}^{G + Q + A} \bullet d_{f} - V_{d}^{G + Q + A} \bullet e_{O}}{V_{d}^{G + Q + A}} = \frac{39,50 + 53,00 \bullet 0,40 - 745,00 \bullet 0,05}{745,00} = 0,03m$$

$$q_{max,d} = \frac{V_{d}^{G + Q + A}}{B} \bullet \left( 1 + \frac{6 \bullet \left| e_{O,d}^{G + Q + A} \right|}{B} \right) = \frac{745,00}{1,80} \bullet \left( 1 + \frac{6 \bullet \left| 0,03 \right|}{1,80} \right) = 455,28\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{min,d} = \frac{V_{d}^{G + Q + A}}{B} \bullet \left( 1 - \frac{6 \bullet \left| e_{O,d}^{G + Q + A} \right|}{B} \right) = \frac{745,00}{1,80} \bullet \left( 1 - \frac{6 \bullet \left| 0,03 \right|}{1,80} \right) = 372,50\frac{\text{kN}}{m}$$

Rysunek . Układ maksymalnej i minimalnej wartości odporu gruntu pod ławą fundamentową dla określenia momentów.

Z warunków geometrycznych wynika:

x = b_l + 0, 15 • b_sc = 0, 70 + 0, 15 • 0, 30 = 0, 75m

y = b_p + 0, 15 • b_sc = 0, 80 + 0, 15 • 0, 30 = 0, 85m

$$q_{1} = 416,40\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{2} = 406,75\frac{\text{kN}}{m}$$

$$M_{1} = q_{1} \bullet y \bullet \frac{1}{2} \bullet y + \frac{1}{2} \bullet \left( q_{max,d} - q_{1} \right) \bullet y \bullet \frac{1}{3} \bullet y = \frac{1}{2} \bullet y^{2} \bullet \left( q_{1} + \frac{1}{3} \bullet \left( q_{max,d} - q_{1} \right) \right) = \frac{1}{2} \bullet \left( 0,85 \right)^{2} \bullet \left( 416,40 + \frac{1}{3} \bullet \left( 455,28 - 416,40 \right) \right) = 155,11kNm$$

$$M_{2} = q_{min,d} \bullet x \bullet \frac{1}{2} \bullet x + \frac{1}{2} \bullet \left( q_{2} - q_{min,d} \right) \bullet x \bullet \frac{1}{3} \bullet x = \frac{1}{2} \bullet x^{2} \bullet \left( q_{min,d} + \frac{1}{3} \bullet \left( q_{2} - q_{min,d} \right) \right) = \frac{1}{2} \bullet \left( 0,75 \right)^{2} \bullet \left( 372,50 + \frac{1}{3} \bullet \left( 406,75 - 372,50 \right) \right) = 107,98kNm$$

M_max = max{M₁,M₂} = 155, 11kNm

Uproszczone wymiarowanie zbrojenia:

d_B = d_f − c − 0, 50 • ϕ = 0, 40 − 0, 05 − 0, 50 • 0, 012 = 0, 34m

$$A_{s} = \frac{M_{\max}}{f_{\text{yd}} \bullet 0,90 \bullet d_{B}} = \frac{155,11}{434800 \bullet 0,90 \bullet 0,34} = 11,66\frac{\text{cm}^{2}}{m}$$

Przyjmuje się ϕ14 co 10 cm.

Sprawdzenie ławy na przebicie będzie polegać na określeniu sił mogących powodować przebicie na podstawie poniższych zależności geometrycznych.

Rysunek . Układ maksymalnej i minimalnej wartości odporu gruntu pod ławą fundamentową dla określenia sił przebicia.

Z warunków geometrycznych wynika:

x = b_l − d_B = 0, 70 − 0, 34 = 0, 36m

y = b_p − d_B = 0, 80 − 0, 34 = 0, 46m

$$q_{3} = 388,59\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{4} = 434,56\frac{\text{kN}}{m}$$

$$P_{1} = q_{min,d} \bullet x + \frac{1}{2} \bullet \left( q_{3} - q_{min,d} \right) \bullet x = 372,50 \bullet 0,36 + \frac{1}{2} \bullet \left( 388,59 - 372,50 \right) \bullet 0,36 = 137,00kN$$

$$P_{2} = q_{4} \bullet y + \frac{1}{2} \bullet \left( q_{max,d} - q_{4} \right) \bullet y = 434,56 \bullet 0,46 + \frac{1}{2} \bullet \left( 455,28 - 434,56 \right) \bullet 0,46 = 204,66kN$$

P_max = max{P₁,P₂} = 204, 66kNm

P_max = 204, 66kN ≤ P = f_ctm • d_B • 1mb = 2200 • 0, 34 • 1 = 748kN – warunek spełniony!

Opis techniczny

Projektowana ława fundamentowa wielokondygnacyjnego budynku mieszkalnego w Ustce
o grubości d_f = 0, 40m ma wymiary BxL = 1, 80x12, 0m. Przyjęto głębokość posadowienia gruntu ze względu na lokalne warunki przemarzania gruntu h_z=1,00 m. W tym przypadku grunty wysadzinowe znajdują się także poniżej strefy przemarzania oraz poniżej występującego napiętego zwierciadła wody gruntowej h_w=3,80 m p.p.t.

Poziom posadzki najniższej kondygnacji projektowanego budynku znajduje się na poziomie
-1,00 m. W okresie zimowym najniższa kondygnacja nie będzie ogrzewana.

Wartość mimośrodu, o jaki wysunięto fundament względem ściany wynosi e_O = 0, 05m. Dobrano beton dla ławy fundamentowej C20/25 o parametrach:

• charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie f_ck: 20 MPa

• obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie f_cd: 13,3 MPa

• charakterystyczna wytrzymałość betonu na rozciąganie f_ctk: 1,5 MPa

• obliczeniowa wytrzymałość betonu na rozciąganie f_ctd: 1,0 MPa

• wytrzymałość średnia betonu na rozciąganie f_ctm: 2,2 MPa

Fundament będzie znajdował się na wylewce z betonu niekonstrukcyjnego C12/15. Jako zbrojenie ławy fundamentowej przyjęto stal EPSTAL B500SP o parametrach:

• charakterystyczna granica plastyczności stali f_yk: 500 MPa

• obliczeniowa granica plastyczności stali f_yd: 434,8 MPa

Zbrojenie główne składa się z prętów ϕ14 co 10 cm, zbrojenie rozdzielcze z prętów
ϕ10 co 20 cm. Dobrano strzemiona ϕ8 co 20 cm. Ponadto przyjęto otulinę o grubości 0,05 m.

Ilość zbrojenia jest następująca:

• pręty ϕ14: 120 szt.

• pręty ϕ10: 12 szt.

• strzemiona ϕ8: 59 szt.

Rysunek konstrukcyjny ławy