Wstęp teoretyczny do ćwiczeń laboratoryjnych numer 27: pomiar przewodności cieplnej i elektrycznej metali.

Ogólnie podczas tych ćwiczeń laboratoryjnych będziemy się zajmować poznaniem mechanizmu przenoszenia energii cieplnej i elektrycznej w metalach czyli tzw. transportu energii.

Metale dzięki swej budowie nadają się idealnie na przewodniki ciepła i elektryczności. Mają bowiem budowę krystaliczną oraz swobodne elektrony, dzięki którym właśnie tą energię mogą transportować.

Do zjawiska transportu energii możemy zaliczyć: przewodnictwo cieplne, przewodnictwo elektryczne, dyfuzję oraz lepkość czyli tarcie wewnętrzne.

• Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu energii pomiędzy częściami ciała, których temperatury są różne. Wielkością przenoszoną jest energia cieplna.

• Przewodnictwo elektryczne powstaje wtedy gdy do ciała przyłożymy jednorodne pole elektryczne o określonym natężeniu. Wielkością przenoszoną jest ładunek elektryczny, a zjawisko zachodzi dzięki gradientowi potencjału elektrycznego.

• Dyfuzja występuje wtedy gdy w jednej części materiału zagęszczenie cząsteczek jest większe, cząsteczki przejdą z obszaru o dużym zagęszczeniu do obszaru o małym zagęszczeniu. Wielkością przenoszoną jest oczywiście masa.

• Tarcie wewnętrzne czyli lepkość występuje pomiędzy dwiema warstwami przesuwającej się cieczy lub gazu względem siebie. Wielkością przenoszoną jest pęd (wg gradientu prędkości).

Ogólne równanie transportu dla wszystkich powyższych zjawisk to :

Gdzie j to wektor gęstości strumienia odpowiedniej wielkości (energii wewnętrznej, ładunku, masy, pędu); to wspł. proporcjonalności; A to zależna od współrzędnych wielkość skalarna.

Prawo Fouriera

W przypadku przewodnictwa cieplnego powyższy wzór przybiera postać:

Gdzie q to wektor gęstości strumienia energii przepływającej przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu; T to temperatura; K to współczynnik przewodnictwa cieplnego.

Prawo to stosujemy gdy gradient temperatury nie zależy od czasu.

Jeśli interesującym nas układem jest pręt o końcach umieszczonych w różnych temperaturach to wzór upraszcza się do wyrażenia:

Gdzie: Q to ilość energii przepływającej przez pręt; l to długość pręta; K to przewodność cieplna; to różnica temperatur na końcach pręta; t to czas przepływu energii.

Współczynnik przewodnictwa cieplnego, K wyznaczamy ze wzoru:

Tak przedstawione prawo Fouriera stosujemy wyłącznie do ciał izotropowych (mających takie same właściwości w całej objętości). Współczynnik przewodnictwa cieplnego jest tensorem.

Mechanizm przewodzenia ciepła w ciałach stałych

Energia ciała stałego jest sumą energii poszczególnych kwazicząstek, odpowiadających ruchom elementarnym kryształu. Atomy kryształu zajmują w różnych jego komórkach identyczne położenia i mają identyczne otoczenia. Dowolne wzbudzenie jednego z atomów powododuje rozchodzenie się fali po całym krysztale, a ruch związany z tymi falami może być przekazywany wyłącznie w postaci fali sprężystej. Stan kryształu zmienia się wraz ze zmianą temperatury. Ruch w atomach odbywa się nawet T = 0 K i nosi on nazwę drgań zerowych. Podwyższenie temp. oznacza zwiększenie energii chaotycznego ruchu atomów, w najprostszej postaci są to drgania wokół położeń ich równowagi. Drgania te rozchodzą się w postaci fal po całym krysztale, a kwant energii tej fali nosi nazwę fononu. Fonony to gazy, w których wzrostowi temp. towarzyszy wzrost liczby fononów. Własności gazu fononów określają pojemność cieplną kryształów i ich przewodnictwo cieplne. Jeżeli potraktujemy kryształ jako zbiornik zawierający gaz fononów, a na jednym z końców kryształu, będzie utrzymywana stała temp. T₁ a na drugim T₂, przy czym

T₁ > T₂ to fonony będą „przepływać” z końca o temp. wyższej do chłodniejszego, dążąc do wyrównania koncentracji w całej objętości. W metalach duży udział w przewodnictwie cieplnym ma gaz elektronów swobodnych, którego istnienie odróżnia metale od innych ciał stałych.

Prawo Wiedemanna – Franza

Prawo transportu ładunku (prawo Ohma) można zapisać w postaci:

j = -σ▼V

gdzie j jest wektorem gęstości strumienia ładunków, V- potencjałem elektrycznym, zaś σ- przewodność elektryczna właściwa.

Istnieje prosty związek pomiędzy współczynnikiem przewodzenia ciepła K, a przewodnością właściwą σ.

gdzie T oznacza temp. bezwzględną, a L zaś jest współczynnikiem proporcjonalności, nazywanym liczbą Lorentza. Stosując kwantową statystykę obliczono liczbę Lorentza:

gdzie: e- ładunek elektronu, k_b- stała Boltzmanna.

W niskich temp. odstępstwa od prawa Wiedemanna-Franza są bardzo duże, ale w tych temp. w przewodnictwie cieplnym zaczyna odgrywać dominującą rolę mechanizm fononowy.