Dane :

Rozpiętość belki stropowej B = 2m

Rozpiętość przęsła podciągu L = 6m

Obciążenie technologiczne (użytkowe) stropu q = 5kN/m²

1. Zestawienie obciążeń.

   1. Obciążenia stałe.

	Wartość charakterystyczna obciążenia [kN/m^2]	ϒg	Obl. [kN/m^2]
Podłoga Posadzka – gres 15mm Gładź cem. 6cm Izolacja ze styropianu 5cm	0,015x21 = 0,32 0,06 x 23 = 1,38 0,05 x 0,3 = 0,01	1,35 1,35 1,35	0,43 1,86 0,01
Płyta żelbetowa 8cm	0,08 x (24+1) = 2,00	1,35	2,70
Tynk cem. – wap. 1,5cm	0,015 x 20 = 0,30	1,35	0,41
Instalacje 10 kg/m^2	0,10	1,35	0,14
Razem :	4,11		5,55

1. Obciążenia zmienne.

	Wartość charakterystyczna obciążenia [kN/m^2]	ϒQ	Obl. [kN/m^2]
Obciążenia użytkowe(technologiczne)	5,00	1,5	7,50
Razem :	5,00		7,50

1. Projektowanie belki stropowej. Sprawdzenie stanów granicznych belki swobodnie podpartej, zabezpieczonej przed zwichrzeniem.

Rys. Schemat belki.

Belka wykonana jest z dwuteownika walcowanego IPE 300 ze stali gatunku S355.

Przyjęto rozstaw żeber – 2m.

Wartość charakterystyczna obciążenia działającego na belkę :

• obciążenia stałe G_k :

$G_{k} = 4,11\frac{\text{kN}}{m^{2}} \bullet 2m = 8,22\frac{\text{kN}}{m}$

• obciążenia zmienne Q_k :

$Q_{k} = 5,00\frac{\text{kN}}{m^{2}}\ \bullet 2m = 10,00\frac{\text{kN}}{m}$

Wartość obliczeniowa obciążenia działającego na belkę :

• obciążenie stałe G_d :

$G_{d} = 5,55\frac{\text{kN}}{m^{2}\ \bullet 2m = 11,10\frac{\text{kN}}{m}}$

• obciążenie zmienne Q_d :

$Q_{d} = 7,50\frac{\text{kN}}{m^{2}}\ \bullet 2m = 15,00\frac{\text{kN}}{m}$

Suma wartości charakterystycznych obciążeń działających na belkę :

$q_{k} = \ G_{\text{k\ }}\ + \ Q_{k}\ = 8,22\frac{\text{kN}}{m}\ + 10,00\frac{\text{kN}}{\text{m\ }} = 18,22\frac{\text{kN}}{m}$

Suma wartości obliczeniowych obciążeń działających na belkę :

$q_{d} = \ G_{d}\ + \ Q_{d} = 11,10\frac{\text{kN}}{m}\ + 15,00\frac{\text{kN}}{m} = 26,10\frac{\text{kN}}{m}$

Do sprawdzenia stanu granicznego użytkowalności przyjęto sumę obciążeń charakterystycznych działających na belkę i ciężar własny belki :

$q_{k,calk} = \ q_{\text{k\ }}\ + \ q_{\text{belki}} = 18,22\frac{\text{kN}}{m}\ + 0,42\frac{\text{kN}}{m} = 18,64\frac{\text{kN}}{m}$

Do ustalenia maksymalnego momentu zginającego i maksymalnej wartości siły poprzecznej przyjęto sumę obciążeń obliczeniowych działających na belkę i ciężar własny belki :

$q_{d,calk} = \ q_{d}\ + \ q_{\text{belki}} = 26,10\frac{\text{kN}}{m}\ + 0,42\frac{\text{kN}}{m}\ \bullet 1,35 = 26,67\frac{\text{kN}}{m}$

Moment zginający o maksymalnej wartości obliczeniowej :

$$M_{max,Ed} = \ \frac{q_{d,calk\ \ } \bullet l}{2}\ \bullet \ \frac{1}{2} - \ \frac{q_{d,calk}\ \bullet l}{2}\ \bullet \ \frac{q_{d,calk}\ \bullet l}{4} = \ \frac{q_{d,calk}\ \bullet \ l^{2}}{8} = \ \frac{26,67\frac{\text{kN}}{m\ \bullet (2,0m)^{2}}}{8} = 13,33\frac{\text{kN}}{m}$$

Siła poprzeczna o maksymalnej wartości obliczeniowej :

$$V_{max,Ed} = \ \frac{q\ \bullet l}{2} = \ \frac{\frac{26,67kN}{m\ \bullet 2,0m}}{2} = 26,67kN$$

Obciążenie ciągłe o wartości obliczeniowej $\mathbf{q}_{\mathbf{d}}\mathbf{= 26,67}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}}$ powoduje powstanie momentów zginających o maksymalnej wartości obliczeniowej $\mathbf{M}_{\mathbf{max,Ed}}\mathbf{= 13,33}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}}$ w środku belki i sił poprzecznych o maksymalnej wartości obliczeniowej V_max, Ed=26, 67kN przy podporach.

2.1. Charakterystyki geometryczne i materiałowe belki.

Właściwości stali gatunku S355

E = 210000 N/mm² ,

G = 81000 N/mm² ,

t_max = t_f = 10,7 mm < 40 mm więc f_y = 235 N/mm².

Częściowe współczynniki bezpieczeństwa :

ϒ_MO = 1,00 ϒ_M1 = 1,00

Sprawdzenie klasy przekroju kształtownika IPE 300 :

$$\varepsilon = \ \sqrt{\frac{235}{f_{y}}} = \ \sqrt{\frac{235}{235}} = 1,00$$

Środnik poddany jest zginaniu :

$$\frac{c}{t} = \ \frac{h - 2(r + \ t_{r})}{t_{w}} = \ \frac{300 - 2(15,0 + 10,7)}{7,1} = 35,01$$

Wartości graniczne – klasa 1 : 72ε = 72  • 1, 00 = 72, 00

Spełnione są więc wymogi klasy 1 : $\frac{c}{t} = 35,01 < 72\varepsilon = 72,00$

Pas (półka) poddana jest ściskaniu :

$$\frac{c}{t} = \ \frac{\frac{(b - \ t_{w} - \ 2r)}{2}}{t_{f}} = \ \frac{\frac{(150 - 7,1 - 2 \bullet 15}{2}}{10,7} = 5,27$$

Wartości graniczne - klasa 1 : 9ε = 9  • 1, 00 = 9, 00

Spełnione są więc wymogi klasy 1 : $\frac{c}{t} = 5,27 < 9\varepsilon = 9,00$

Cały przekrój spełnia warunek klasy 1.

2.2. Sprawdzenie możliwości utraty stateczności miejscowej przekroju belki spowodowanej oddziaływaniem siły poprzecznej.

Sprawdzenie warunku stateczności nieużebrowanego ścinanego środnika przekroju dwuteowego.

$$\frac{h_{w}}{t_{w}} < 72\ \frac{\varepsilon}{\eta},\ przyjmujemy\ \eta = 1,0\ $$

$$\frac{h_{w}}{t_{w}} = \ \frac{300 - 2 \bullet (10,7 + 15)}{7,1} = 35,01\ < 72\ \bullet \ \frac{1,00}{1,0} = 72,00$$

Stateczność środnika jest zapewniona.

2.3. Sprawdzenie nośności przekroju, w którym występuje maksymalny moment zginający $\mathbf{M}_{\mathbf{max,Ed}}\mathbf{= 13,33}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{m}}$ (nośność na zginanie).

Siła poprzeczna w tym przekroju jest równa 0.

Nośność w przypadku przekrojów 1. I 2 :

$$M_{c,Rd} = \ M_{p1,Rd} = \ \frac{W_{\text{pl}}f_{y}}{\gamma_{M0}} = \ \frac{628\ \bullet 10^{3}\ mm\ \bullet 235\ \frac{N}{\text{mm}^{2}}}{1,0} = 147780\ \bullet \ 10^{3}\ Nmm = 147,78\ kNm$$

Warunek nośności przekroju przy obciążeniu momentem zginającym :

$$\frac{M_{y,Ed}}{M_{c,Rd}} = \ \frac{13,33\ kNm}{147,78\ kNm} = 0,090\ < 1,0\ $$

Warunek został spełniony.

2.4. Sprawdzenie nośności przekroju, w którym występuje maksymalna siła poprzeczna V_max, Rd=26, 67 kN (nośność na ściskanie).

Moment zginający w tym przekroju jest równy 0. Pole przekroju czynnego przy ścinaniu A_v dwuteownika walcowanego, ścinanego prostopadle do osi y-y :

A_v = A −  2bt_f +  (t_w 2r)t_j =  53, 8  • 10² −  2  • 150  • 10, 7 + (7,1+2 •15) • 10, 7 = 2567 mm²

Lecz nie mniej niż ηh_wt_w = 1, 2  • (300−2 •10,7) • 7, 1 = 2374 mm² (wg PN–EN 1993–1 -5

Η = 1,20)

Przy projektowaniu plastycznym przyjmuje się V_c,  Rd =  V_pl,  Rd

Obliczeniowa nośność plastyczna V_pl ,  Rd przy ścinaniu :

$$V_{pl\ ,Rd} = \ \frac{A_{v}(\frac{f_{y}}{\sqrt{3}})}{\gamma_{M0}} = \ \frac{2567\ \text{mm}^{2}\ \bullet \ (235\frac{N}{\frac{\text{mm}^{2}}{\sqrt{3}}\ )}}{1,0}\ \ 348,28\ kN\ \ $$

Warunek nośności przekroju przy obciążeniu siła poprzeczną :

$\frac{V_{\text{Ed}}}{V_{c,\ Rd}} = \ \frac{26,67\ kN}{348,28\ kN} = 0,076\ < 1,0$

Warunek został spełniony.

2.5. Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności.

Aby spełnić wymagania stanu granicznego użytkowalności, należy sprawdzić ugięcie belki :

$$w = \ \frac{5q_{k,\ calk}L^{4}}{{384EI}_{y}} = \ \frac{5\ \bullet 18,64\frac{\text{kN}}{m\ \bullet \ {(2000mm)}^{4}}}{384\ \bullet 210000\ \frac{N}{\text{mm}^{2}}\ \bullet 8356\ \bullet \ 10^{4}\ \text{mm}^{4}} = 2,21\ mm$$

Wartość graniczna ugięcia pionowego :

$$W_{\max} = \ \frac{L}{250 = \ \frac{2000}{250}} = 8mm$$

Warunek ugięcia jest spełniony : w = 2, 21mm  <  w_max = 8mm

3.0. Projektowanie połączenia belki do żebra podciągu przenoszącego siłę z reakcji belki o wartości F_Ed=26, 67 kN.

Dane :

Stal gatunku S355 →t ≤ 40 mm : f_y = 355 N/mm²

f_u = 430 N/mm²

śruby M16 klasy 8.8 : f_yb = 640 N/mm²

f_ub = 800 N/mm²

A = 201 mm²

d = 16 mm

ϒ_M2 = 1,25

ϒ_M0 = 1,00

żebro grubości 8mm t = 8mm

dwuteownik IPE 300 t_w = 7,1mm

d₀ = 18mm

Sprawdzenie poprawności rozmieszczenia łączników :

1,2d₀ = 21,6mm ≤ e₁ = 40mm

1,2d₀ = 21,6mm ≤ e₂ = 25mm ≤1, 2e₂^min = 25,92mm

2,2d₀ = 39,6mm ≤ P₁ = 50mm ≤1,5 P₁^min = 59,4mm

Przyjęto α_v = 0,6.

Nośność śruby na ściskanie wynosi :

$$F_{v,Rd} = \ \frac{\propto_{v}f_{\text{ub}}A_{s}}{\gamma_{M2}} = \ \frac{0,6\ \bullet 800\frac{N}{\text{mm}^{2}} \bullet 201\text{mm}^{2}}{1,25} = 77,18kN$$

3.1. Nośność śruby na docisk do środnika belki.

a) Śruba skrajna

$$F_{b,Rd,1} = \ \frac{k_{1} \propto_{b}f_{u}\text{dt}_{w}}{\gamma_{M2}}$$

$$\text{gdzie\ }k_{1} = min\left\{ \begin{matrix} 2,8\frac{e_{2}}{d_{0}} - \ 1,7 = 2,8\ \frac{25mm}{18mm} - \ 1,7 = 2,19 \\ 2,5 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ } \right.\ = 2,19$$

$\propto_{b} = min\left\{ \begin{matrix} \propto_{d} = \ \frac{e_{1}}{{3d}_{0}} = \ \frac{40mm}{3\ \bullet 18mm} = 0,741 \\ \frac{f_{\text{ub}}}{f_{u}} = \ \frac{800\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{430\frac{N}{\text{mm}^{2}}} = 1,86 \\ 1,0 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 0,741 \right.\ $

$$F_{b,Rd,1} = \ \frac{2,19\ \bullet 0,741\ \bullet 430\frac{N}{\text{mm}^{2}\ \bullet 16mm\ \bullet 7,1mm}}{1,25} = 63,42kN$$

b) śruba pośrednia

$F_{b,Rd,2} = \ \frac{k_{2} \propto_{bf_{u}\text{dt}_{w}}}{\gamma_{M2}}$

gdzie k₁ = 2, 5

$$\propto_{b} = min\left\{ \begin{matrix} \propto_{d}\ = \ \frac{p_{1}}{{3d}_{0}} - \ \frac{1}{4} = \ - \frac{50mm}{3\ \bullet 18mm} - \ \frac{1}{4} = 0,676 \\ \frac{f_{\text{ub}}}{f_{u}} = \ \frac{800\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{430\frac{N}{\text{mm}^{2}}} = 1,86 \\ 1,0 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ = 0,676 \right.\ $$

$$F_{b,Rd,1} = \ \frac{2,5\ \bullet 0,676\ \bullet 430\frac{N}{\text{mm}^{2} \bullet 16mm\ \bullet 7,1mm}}{1,25} = 66,04kN$$

Grubość żebra t = 8mm jest większa od grubości środnika belki t_w = 7,1mm, a więc nośność na docisk do ścianki jego otworów nie jest miarodajna.

3.2. Nośność grupy łączników.

Ze względu na to, że nośność na ścinanie łącznika F_v,Rd jest większa od nośności na docisk F_b,Rd, obliczeniowa nośność grupy łączników jest równa sumie nośności pojedynczych łączników na docisk :

F =  F_b, Rd, 1 +  F_b, Rd, 1 = 63, 42kN + 66, 04kN = 129, 46kN  > 26, 67kN 

$\frac{26,67kN}{129,46kN} = 0,21$

Wykorzystanie nośności grupy łączników wynosi 21%.

3.3. Nośność na rozerwanie blokowe panelu środnika belki :

$$V_{eff,1,Rd} = \ \frac{f_{u}A_{\text{nt}}}{\gamma_{M2}} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\ \bullet \ \frac{f_{y}A_{\text{nv}}}{\gamma_{M0}}$$

gdzie: $A_{\text{nt}} = \ \left( \frac{e_{2 - \ d_{0}}}{2} \right)t_{w} = \ \left( \frac{25mm - 18mm}{2} \right) \bullet 7,1mm = 114\text{mm}^{2}$

A_nv =  (p₁+ e₁− 1,5d₀)t_w =  (50mm+40mm−1,5 •18mm) • 7, 1mm = 447mm²

$$V_{eff,1,Rd} = \ \frac{f_{u}A_{\text{nt}}}{\gamma_{M2}} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\ \bullet \ \frac{f_{y}A_{\text{nv}}}{\gamma_{M0}} = \ \frac{430\frac{N}{\text{mm}^{2} \bullet 114\text{mm}^{2}}}{1,25} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\ \bullet \ \frac{355\frac{N}{\text{mm}^{2}\ \bullet 447\text{mm}^{2}}}{1,00} = 39,22kN + 91,62kN = 130,84kN\ > 26,67kN\ $$

3.4. Sprawdzenie nośności osłabionego przekroju.

Uwzględniono obliczeniowe naprężenia ścinające i obliczeniowe naprężenia normalne działające na przekrój osłabiony.

$\left\lbrack \frac{\sigma_{x,Ed}}{\frac{f_{y}}{\gamma_{\text{MO}}}} \right\rbrack^{2} + 3\ \bullet \ \left\lbrack \frac{\tau_{\text{Ed}}}{\frac{f_{y}}{\gamma_{\text{MO}}}} \right\rbrack^{2}\ \leq 1$

$$\sigma_{x,Ed} = \ \frac{M_{\max}}{W_{x}} = \ \frac{F_{\text{Ed}}\ \bullet \ \left( e_{2} + \ 20mm \right)}{\frac{{t_{w}\ \bullet \ \left( {2e}_{1} + \ p_{1} \right)}^{2}}{6}} = \ \frac{26670N\ \bullet 45mm}{\frac{7,1mm\ \bullet \ \left( 2\ \bullet 40mm + 50mm \right)^{2}}{6}} = 60,01\frac{N}{\text{mm}^{2}}$$

$$\tau_{\text{Ed}} = \ \frac{F_{\text{Ed}}}{t_{w}\ \bullet \ \left( {2e}_{1} + \ p_{1} \right)} = \ \frac{26670N}{7,1mm\ \bullet \ \left( 2\ \bullet 40mm + 50mm \right)} = 28,89\frac{N}{\text{mm}^{2}}$$

$\left\lbrack \frac{60,04\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{\frac{355\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{1,00}} \right\rbrack^{2} + 3\ \bullet \ \left\lbrack \frac{28,89\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{\frac{355\frac{N}{\text{mm}^{2}}}{1,00}} \right\rbrack^{2} = 0,028 + 3\ \bullet 0,007 = 0,048\ \leq 1$

Nośność w przekroju osłabionym jest zapewniona.