Całkowanie funkcji niewymiernych

1. $\int_{}^{}{\mathbf{R}\left( \mathbf{x,}\sqrt[\mathbf{n}_{\mathbf{1}}]{\mathbf{x\ \ ,\ }}\sqrt[\mathbf{n}_{\mathbf{2}}]{\mathbf{x}}\mathbf{,\ldots,}\sqrt[\mathbf{n}_{\mathbf{k}}]{\mathbf{x,}} \right)\mathbf{dx,\ \ \ \ }\mathbf{n}_{\mathbf{k}}}\mathbf{\in N}$

Podstawienie: x = tⁿ, dx = nt^n − 1dt gdzie n = NWW(n₁, n₂, …, n_k)

1. $\int_{}^{}{\mathbf{R}\left( \mathbf{x,\ }\sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{ax + b}}{\mathbf{cx + d}}} \right)\mathbf{dx,\ \ \ ad - bc \neq 0\ }}$

Podstawienie: $\mathbf{t}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{ax + b}}{\mathbf{cx + d}}$, $x = \ \frac{dt^{n} - b}{a - ct^{n}}$, $dx = \frac{\text{nt}^{n - 1}(ad - bc))}{{(a - ct^{n})}^{2}}\text{dt}$

1. $\int_{}^{}{\mathbf{R}\left( \mathbf{x,\ }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c}} \right)\mathbf{\text{dx}}}$

Podstawienie Eulera

1. Podstawienie Eulera jeśli a > 0

$$\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c}}\mathbf{= t \pm x}\sqrt{\mathbf{a}}$$

1. Podstawienie Eulera jeśli c > 0

$$\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c}}\mathbf{= xt \pm}\sqrt{\mathbf{c}}$$

1. Podstawienie Eulera jeśli ax² + bx + c = a(x−x₁)(x − x₂) gdzie x₁ i x₂ to 2 różne pierwiastki trójmianu

$$\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c}}\mathbf{= t(x -}\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}$$

Podstawienie Trygonometryczne Trójmianu ax² + bx + c sprowadzamy do postaci kanonicznej.

1. Całka zawiera $\sqrt{\mathbf{1 -}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}}$

podstawiamy y = sint,   dy = cost dt, $\sqrt{1 - y^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}t} = cost$

1. Całka zawiera $\sqrt{\mathbf{1 +}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}}$

podstawiamy $\mathbf{y = tant},\ \ dy = \frac{1}{\text{cost}}\text{\ dt}$

1. Całka zawiera $\sqrt{\mathbf{y}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 1}}$

podstawiamy $\mathbf{y =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{cost}}},\ \ dy = \frac{\text{sint}}{\cos^{2}t}\text{\ dt}$ , $\sqrt{y^{2} - 1} = \frac{\text{sint}}{\text{cost}}$

Metoda Współczynników Nieoznaczonych

Dla całek w postaci $\int_{}^{}\frac{\mathbf{W}_{\mathbf{n}}\mathbf{(x)}}{\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ bx + c}}}\mathbf{\text{dx}}$ gdzie W_n(x) to wielomian stopnia n

Przewidujemy całkę w postaci:

$$\int_{}^{}\frac{W_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = P_{n - 1}\left( x \right)\sqrt{ax^{2} + bx + c} + k\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}$$

Gdzie P_n − 1(x) to wielomian stopnia n-1 a k to pewna stała. By wyznaczyć wielomian P(x) i stałą k musimy zróżniczkować równanie obustronnie

$$\frac{W_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = P_{n - 1}^{'}\left( x \right)\sqrt{ax^{2} + bx + c} + P_{n - 1}\left( x \right)\frac{2ax + b}{2\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + \frac{k}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}$$

$$W_{n}\left( x \right) = P_{n - 1}^{'}\left( x \right)\left( ax^{2} + bx + c \right) + P_{n - 1}\left( x \right)\left( ax + \frac{b}{2} \right) + k$$

Wyliczamy współczynniki wielomianu P_n − 1(x) oraz stałą k porównując odpowiednie potęgi