T: Własności estymatorów

1.

I . Własność 1: Estymator nieobciążony

• Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) jest równa estymowanemu parametrowi

E(a) = α

• Dla modelu danego jako: Y = Xa + ξ

• Wektor parametrów strukturalnych Jany jest jako: a= (X’ X)^-1 X’ Y

Jest estymatorem nieobciążonym czyli:

E(a) = E [(X’ X)^-1 X’ Y] = E[(X’ X)^-1 X’ (Xa + ξ)]

Ponieważ zmienne X (objaśniające) są nielosowe, więc:

E(a) = α

E ( ξ ) = 0

Stąd estymator parametrów strukturalnych jest nieobciążony jeżeli:

1. Zmienne objaśniające są nielosowe – kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających.

2. Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą 0.

E ( ξ ) = 0

II. Własność 2 : Estymator zgodny

Estymator parametru α jest zgodny jeżeli jest stochastycznie zbieżny do szacowanego nieznanego parametru α

Wraz ze wzrostem wartości parametru do nieskończoności …

(…) oznacza, że przy wzroście liczby obserwacji do nieskończoności jego wartość dąży stochastycznie do prawdziwej wartości parametru

$\operatorname{}{\mathbf{p\ \{}\left| \mathbf{a -}\mathbf{\alpha} \right|\mathbf{<}\ }\hat{\mathbf{\varepsilon}}$ } = 1

Jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby oczekiwana wartość rozkładu estymatora zmierza do wartości szacowanego parametru, a jednocześnie wariancja estymatora zmierza do zera, to estymator taki jest zgodny

III. Własność 3 : Estymator efektywny

• Przy danych kilku estymatorach zgodnych i nieobciążonych estymatorem najefektywniejszym jest ten, który posiada najmniejszą wariancję

• Jeżeli spełnione są założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów (dotyczące składnika losowego oraz zmiennych objaśniających) to estymator:

a = ( X’ X) ^-1 X’ Y

Jest estymatorem najefektywniejszym spośród estymatorów liniowych, gdzie jego wariancja dana jest następującą formułą:

D²(a) = σ² (X’ X)^-1

2. Założenia klasyczne MNK w odniesieniu do własności estymatorów:

1. Jeżeli zmienne objaśniające są współliniowe, to istnieje estymator dany formułą:

a = ( X’ X) ^-1 X’ Y

ponieważ nie istnieje macierz odwrotna macierzy X’ X, to wyznacznik macierzy jest równy zero, czyli:

det (X’ X) = 0

1. Jeżeli wariancja składnika losowego nie jest stała, to:

a = ( X’ X) ^-1 X’ Y

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest już najefektywniejszy

1. Jeżeli składnik losowy jest zależny:

Y_t = βY_t-1 + cov (ξ_t, ξ _t+1) ≠0

Stałe

A w zbiorze zmiennych objaśniających nie ma zmiennej endogenicznej I opóźnionej w czasie, to:

a = ( X’ X) ^-1 X’ Y

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest najefektywniejszy

1. Jeżeli składnik losowy jest zależny:

cov (ξ_t, ξ _t+1) ≠ 0

a w zbiorze zmiennych objaśniających istnieje zmienna endogeniczna opóźniona w czasie, to:

a = ( X’ X) ^-1 X’ Y

nie jest zgodny

1. Jeżeli wariancja składnika losowego jest funkcją zmiennych objaśniających, to estymator:

a = ( X’ X) ^-1 X’ Y

nie jest zgodny

2. Klasyczne założenia dotyczące składnika losowego:

Dana jest macierz wariancji i kowariancji składnika losowego:

E(ξ , ξ’) = $\begin{bmatrix} {\text{\ \ }D}^{2}\left( \xi_{1} \right)\text{\ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{n} \right)\text{\ \ \ } \\ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ }D^{2}\left( \xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\text{E\ }\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{n} \right) \\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cdots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ E\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\text{\ \ }D^{2}\left( \xi_{n} \right) \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }$

• Główna przekątna – wariancje estymatorów

• Pozostałe przekątne – kowariancje estymatorów

Macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest:

• Macierzą kwadratową i symetryczną o wymiarach ( n *n)

• Na głównej przekątnej znajdują się wariancje składników losowych poszczególnych okresów (w przypadku szeregów czasowych)

• Natomiast poza główną przekątną znajdują się kowariancje między składnikami losowymi poszczególnych okresów

2. Można wyróżnić 4 sytuacje ze względu na macierz kowariancji składnika losowego:

1. Sytuacja 1: SPEŁNIONE ZAŁOŻENIA MNK

• Wariancja jest jednorodna:

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = δ²

• Brak autokorelacji, czyli składnik losowy jest niezależny

E (ξ_t ξ_t+1 ) = 0

• Macierz wariancji i kowariancji ma postać:

E ( ξ ξ’ ) = $\begin{bmatrix} \delta^{2}\ 0\ 0\ \ldots\ 0 \\ 0\ {\ \delta}^{2\ \ }0\ldots\ 0 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ 0\ \ \ \ 0\ \ \ 0\ \ 0\ \delta^{2} \\ \end{bmatrix}$ = δ² I_n

1. Sytuacja 2 : NIE JEST SPEŁNIONE ZAŁOŻENIE O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO

• Oznacza to, że:

D²(ξ₁) ≠ D²(ξ₂) ≠ … ≠D²(ξ_n) ≠ δ²

• A składnik losowy jest niezależny (nie występuje autokorelacja składnika losowego, im:

E (ξ_t ξ_t+1 ) = 0 dla każdego r > 0

• Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną i ma postać:

E ( ξ ξ’ ) = $\begin{bmatrix} D^{2}\left( \xi_{1} \right)\ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ \ \ 0\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ D}^{2}\left( \xi_{2} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ldots\text{\ \ \ \ \ D}^{2}(\xi_{n}) \\ \end{bmatrix}$

1. Sytuacja 3 : JEŻELI SPEŁNIONE JEST ZAŁOŻENIE O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO, CZYLI:

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = δ²

• A składnik losowy jest zależny (występuje autokorelacja składnika losowego

• Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną i ma postać:

E ( ξ ξ’ ) = $\begin{bmatrix} \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ p_{12}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }p_{13}\ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ p_{1n}\ \\ p_{21}\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{23}\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \\ \ p_{n1}\ \text{\ \ }\text{\ \ }p_{n2}\ \text{\ \ }\ p_{n3}\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{bmatrix}$

• Autokorelacja – przyczyny jej powstawania:

- pominięcie istotnej zmiennej objaśniającej

- nieprawidłowe określenie opóźnień zmiennych objaśniających

• Poprawianie modelu:

• Uzupełnienie zmiennej objaśniającej

• Doszacowanie modelu

1. Sytuacja 4 : JEŻELI NIE JEST SPEŁNIONE ZAŁOŻENIE O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO, CZYLI:

D²(ξ₁) ≠ D²(ξ₂) ≠ … ≠D²(ξ_n) ≠ δ²

• Oraz nie jest spełnione założenie o braku autokorelacji, czyli występuje sytuacja w której:

E (ξ_t ξ_t+1 ) ≠ 0

• Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą symetryczna i ma następującą postać:

E(ξ , ξ’) = $\begin{bmatrix} {\text{\ \ }D}^{2}\left( \xi_{1} \right)\text{\ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{n} \right)\text{\ \ \ } \\ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ }D^{2}\left( \xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\text{E\ }\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{n} \right) \\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ E\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\ \ D^{2}\left( \xi_{n} \right) \\ \end{bmatrix}$

• Trzeba poprawić autkorelację

• Ewentualnie potem należy przeformułować model

2. Modele nieliniowe sprawdzalne do liniowych:

• MODEL HIPERBOLICZNY

• Oszacować model o postaci:

Y₁ = a ₁ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{X}_{\mathbf{1\ t}}}$ + a ₀+ ξ _t

• Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy

Y t	X 1 t	G t
1	11	0,09
1,1	8	0,126
1,11	6	0,16
1,12	4	0,25
1,22	4	0,25
1,25	3	0,33
1,36	2	0,5
1,54	2	0,5
2	2	0,5
2	1	1

Y – wielkość sprzedaży [sztuki]

X _1t – cena [100 PLN]

• Stosując metodę NMK

a = (X’ X)^-1 X’Y

mamy

X = $\begin{bmatrix} 0,09\ \ \ \ 1 \\ 0,125\ \ 1 \\ 0,166\ \ 1 \\ 0,25\ \ \ \ 1 \\ 0,25\ \ \ \ 1 \\ 0,33\ \ \ \ 1 \\ 0,5\ \ \ \ \ \ \ 1\ \\ 0,5\ \ \ \ \ \ 1 \\ 0,5\ \ \ \ \ \ 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{bmatrix}$ Y = $\begin{bmatrix} 1 \\ 1,1 \\ 1,11 \\ 1,12 \\ 1,22 \\ 1,25 \\ 1,36 \\ 1,54 \\ 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$

X’ X = $\begin{bmatrix} 2,03 & 3,71 \\ 3,71 & 10 \\ \end{bmatrix}$ (X’ X) ^-1 = $\begin{bmatrix} 1,52 & - 0,56 \\ - 0,56 & 0,31 \\ \end{bmatrix}$

X’ Y = $\begin{bmatrix} 5,86 \\ 13,7 \\ \end{bmatrix}$ a = $\begin{bmatrix} 1,17 \\ 0,93 \\ \end{bmatrix}$

• Ostatecznie otrzymujemy:

• Postać pierwsza:

Y_t = 1,17 G _t + 0,93 + u_t

• Postać druga i ostateczna ( Y bez * )

Y_t = 1,17 $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{X}_{\mathbf{1}\mathbf{t}}}$ + 0,93 + u_t

2. Weryfikacja modelu ekonometrycznego.

Weryfikacja modelu ekonometrycznego oznacza:

1. Zbadanie, czy oszacowany model jest zgodny z rzeczywistością (kierunek wpływu zmiennych objaśniających jest zgodny z rzeczywistością)

2. Zbadanie czy model ekonometryczny jest wystarczająco precyzyjny

3. Zbadanie, czy zmienne objaśniające istotnie wpływają na zmienną endogeniczną

4. Zbadanie, czy spełnione są założenia MNK

2. Miary struktury stochastycznej

• Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt

• Przy spełnionych warunkach MNK nieobciążonym estymatorem wariancji resztowej jest wariancja resztowa wyrażona według następującej formuły:

S_u² = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - k}}$ $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{(}$Y_t – Y_t*)² = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - k}}$ $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{u}$₀²

• Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej daje tzw. odchylenie standardowe reszt, czyli:

S_u = $\sqrt{\mathbf{S}_{\mathbf{u}}^{\mathbf{2}}}$

Interpretacja odchylenie standardowego:

Odchylenie standardowe informuje o ile średnio rzecz biorąc In plus bądź In minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

• Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku

• Przy spełnionych warunkach MNK macierz wariancji i kowariancji dana jest następującą formułą:

D²(a) = δ² (X’ X)^-1

Gdzie δ²= S_u²

D²(a) = S_u² (X’ X) ^-1

• Miary struktury stochastycznej (Wariancja resztowa oraz macierz wariancji i kowariancji) modelu związane są ze zmienną ξ _t

• Miara precyzji estymacji parametrów strukturalnych Y są średnie błędy szacunku

• Kwadraty błędów szacunku znajdują się na głównej przekątnej macierzy wariancji i kowariancji. Pierwiastek wariancji estymatora daje zatem średni błąd szacunku dla danego parametru a_t

2. Miary dopasowania modelu do danych empirycznych

• Współczynnik zbieżności – dany jest formułą:

φ² = $\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(\ }\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{*}}\mathbf{\ )}}^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(\ }\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\overline{\mathbf{Y}}\mathbf{\ )}}^{\mathbf{2}}}$

• Przyjmuje wartości z przedziału <0;1>

• Im δ² jest bliższe, bądź równe 1, tym słabiej wyjaśniona została wariancja zmiennej endogenicznej Y_t

• Współczynnik determinacji

• Jest miarą alternatywną w stosunku do współczynnika zbieżności i dany jest następującą formułą:

R² = 1 - δ²

R² = 1- $\frac{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ (1- R²)

• Między współczynnikiem determinacji i współczynnikiem skorygowanym determinacji zachodzi następująca nierówność:

R² > $\tilde{\mathbf{R}^{\mathbf{2}}}$

• Współczynnik zmienności losowej

• Dany jest następującą formułą:

V_s = $\frac{\mathbf{S}_{\mathbf{u}}}{\overline{\mathbf{Y}}}$ • 100 %

• Współczynnik zmienności losowej informuje jaką część średniego parametru zmiennej endogenicznej stanowią wahania przypadkowe