30.04.2012

Teoria Sterowania MS

Kolokwium nr 1

1. Udowodnić wzór:

$$\frac{s - \alpha}{\left( s - \alpha \right)^{2} + \beta^{2}} = \left\{ e^{\text{αt}}\cos\text{βt} \right\},\ \ \beta > 0$$

1. Rozwiązać równanie przy zadanych warunkach początkowych:

x^″ + 4x = sint,   x(0) = x^′(0) = 0

1. Rozwiązać układ równań przy zadanych warunkach początkowych:

$$\left\{ \begin{matrix} x^{'} = - y \\ y = 2x + y \\ x\left( 0 \right) = y\left( 0 \right) = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \ $$

1. Dla obwodu elektrycznego którego spełnione jest następujące równanie:

$$\text{LI}^{'} + RI + \frac{Q}{C} = E,\ Q^{'} = E$$

gdzie: L – samoindukcji, R-, opór, C- pojemność, E - siła elektrodynamiczna, Q- ładunek na kondensatorach

wyznaczyć natężenie prądu I, przy zadanych warunkach początkowych:

Q(0) = I(0) = 0.

Dodatkowo zakładamy, że siła elektrodynamiczna jest stała.

1. Wyznaczyć prąd I w układzie podanym na rysunku: