Doświadczeniami których efektem jest wyznaczenie z odpowiednią dokładnością wartości określające aktualny stan materii, są pomiarem.

Pomiarem nazywamy operacje porównania wartości danej wielkości z wartością którą przyjęto powszechnie za jednostkę miary lub z obowiązującą skalą.

W procesie pomiarowym po wykonaniu odpowiednich czynności przy użyciu odpowiednich środków stwierdzamy że w danych warunkach wielkość mierzona X ma wartość a ≤ x ≤ b stwierdzenie to nazywamy wynikiem pomiaru.

Pomiarem nazywamy czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości wielkości mierzonej wyrażonej iloczynem liczby i jednostki miary.

Model matematyczny pomiaru- w pomiarze biorą udział 2 zbiory wielkości, zbiór X wielkości mierzonej, oraz zbior W wielkości wzorcowej którego elementy są uporządkowane według wartosci. Wielkość mierzona X stanowi skończony lub nieskończony zbiór który jest ograniczony od góry i od dołu.

Zakłada się ze zbiór W jest zbiorem skończonym to znaczy, że W_i + 1 − W_i = 2ε > 0.

Czynności pomiarowe są w modelu matematycznym równoważne przyporządkowane elementy X elementom W o tej samej wartości, ponieważ jednak zbiór W jest dyskretny więc przyporządkowanie nie może być jednoznaczne i dlatego wynikiem pomiaru jest nierówność W_i ≤ X_i ≤ W_i + 1 założenie że 2ε_i > 0 jest podstawowym postulatem metrologii.

Wielkością jest lub może być każda właściwość materii lub zjawiska która jest jednoznacznie zdefiniowana t.z. def. Musi zawierać określenie danej własności oraz ustalenie dla niej odpowiedniej jednostki miary. Jednostką miary wielkości jest umownie przyjęta za jedność wartości danej wielkości.

NARZĘDZIA POMIAROWE- nazywamy środkami techniczne do wykorzystania pomiarów i obejmują one wzorce miar i przyrządy pomiarowe.

Przetworniki pomiarowe- nazywamy ciała fizyczne które odtwarzają miary danych wielkości z określoną dokładnością.

Wzorce jednostkowe powinny spełniać następujące warunki:

1)łatwość porównywania

2) łatwość odtwarzania

3) duża oporność

4) niezmienność w czasie

X=A=const. (postulowana)

X=A+f(t) (rzeczywista)

W określonych warunkach i określonym przedziale czasu jest spełniona nierówność :

|f(t)|_max≤_w

Wielkość X można uznać za wzorzec o wartości W = A₋⁺_w

Miarę wzorca określają 2 składniki:

- nominalną wartość wzorca

- niedokładność miary wzorca

Wzorcami największej dokładności są etalony przeznaczone wyłącznie do przekazywania jednostki miary danej wielkości innym wzorcom.

W hierarchii etalonów wyróżnia się:

-etalon podstawowy (jest on wzorcem państwowym przechowywanym w głównym urzędzie miasta Warszawa) charakteryzuje się największą dokładnością i często tworzy go kilka i kilkanaście wzorców a jego wartość określa średnia wartość i ich miar.

-etalon świadek jest przeznaczony do kontroli wartości etalonu podstawowego jego własności metrologiczne jak własności etalonu podstawowego. (nie gorsze)

- etalony odniesienia ich miarę wyznacza się przez porównanie z wzorcem podstawowym, służą one do porównań z etalonami kontrolnymi.

- etalony kontrolne są przeznaczone do określonych porównań z nimi etalonów wzorców wizytowych.

- wzorce użytkowe uczestniczą bezpośrednio w pomiarze. Do bezpośredniego wykonywania pomiarów są przeznaczone przyrządy pomiarowe.

Sposób i okresy sprawdzania wzorców jednostek miar są ujęte odpowiednimi przepisami państwowymi.

ZAKRESEM POMIAROWYM przyrządu nazywamy ograniczenie zbioru wartości wzorcowej , odtwarzanego przez przyrząd pomiarowy.

Istnieją przyrządy pomiarowe , których wskazania tworzą zbiór dyskretny, są to przyrządy z odczytem cyfrowym. W przyrządach pomiarowych analogowych miarę wartości wielkości określa jedno położenie wskazówki.

Błędy i niepewność pomiary wykonując pomiary zawsze popełniamy pewne błędy, których wartości w celu uzyskania poprawnych wyników pomiarów należy możliwie dokładnie określić :

_X^o− Wartość prawdziwa (rzeczywista)

$\hat{x} -$wartość zmierzona

Jako kompletny wynik pomiaru należy zawsze podawać wartość mierzoną $\hat{x}$ oraz miarę niedokładności pomiaru, czyli miarę rozbieżności między wartością mierzoną $\hat{x}$ a wartością prawdziwą $\begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix}$ wielkości mierzonej.

Błąd prawdziwy (bezwzględny)

$\hat{x} = \hat{x} - \begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix}$

Błąd graniczny można określić dwojako, zależnie od przyjętego modelu matematycznego źródeł niedokładności pomiaru.

W klasycznej teorii błędu przyjmuje się, iż błąd prawdziwy ma dwie składowe:

1. Błąd systematyczny – jest to składowa całkowitego błędu prawdziwego, która w procesie powtarzania pomiaru tej samej wartości wielkości mierzonej pozostaje stała lub zmienia sie w dający sie przewidzieć sposób, matematyczny model bledu systematycznego jest modelem zdeterminowanym

2. Błąd przypadkowy – jest to składowa całkowitego błędu prawdziwego, która w procesie powtarzania tej samej wartości mierzonej zmienia się w sposób nie nadający się przewidzieć, matematyczny model błędu przypadkowego podlega prawom probabilistycznym , a składowa przypadkowa jest modelowana zmienną losową.

Ze względu na powyższe rozróżnianie pojecie błąd graniczny jest definiowane dwojako:

1. Dla deterministycznego modelu pomiaru błąd graniczny jest połową szerokości przedziału najwęższego jaki można ustalić wokół wartości zmierzonej $\hat{X}$ w którym mieści się wartość prawdziwa $\begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix}\ $wielkości mierzonej

$$\hat{x} -_{\max}\hat{x} \leq \begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix} \leq \hat{x} +_{\max}\hat{x}$$

$$\begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix} = \hat{x}\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}_{\max}\hat{x}$$

1. Dla losowego (probabilistycznego) modelu niedokładności błąd graniczny jest połową szerokości przedziału ufności wartości zmierzonej $\hat{x}$. Błąd ten nazywamy granicznym błędem przypadkowym.

Prawdopodobieństwo tego, że

$P\lbrack\begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix}\text{ϵX}(\hat{x})\rbrack > p$

P- poziom ufności ; p- prawdopodobieństwo (odchylenie standardowe)

Błąd pomiaru w warunkach odniesienia nazywamy błędem podstawowym.

Klasa dokładności nazywamy zbiór własności metrologicznych umownie oznaczonych wartością dopuszczalnego błędu podstawowego.

$$\text{kl}_{x} = \frac{_{\max}\hat{x}}{x_{\text{zakres}}} \bullet 100\%$$

Dla woltomierza Uz=300V i klasie dokładności kl=0,5 błąd bezwzględny pomiaru jest równy $U = \frac{\text{kl}_{V} \bullet U_{Z}}{100\%} = \frac{0,5 \bullet 300}{100} = 1,5V$

Błąd względny (tolerancja)

$$\delta\hat{x} = \frac{_{\max}\hat{x}}{\hat{x}} \bullet 100\%$$

Dla wartości zmierzonej $\hat{U} = 150V$ i błędu granicznego U = 1, 5V obliczyć błąd względny:

$$\delta\hat{U} = \frac{\hat{U}}{\hat{U}} \bullet 100\% = \frac{1,5V}{150V} = 1\%$$

Sposoby wyznaczania błędów wielkości złożonej

$_{y}^{0} = f(\begin{matrix} o \\ x_{1} \\ \end{matrix},\begin{matrix} o \\ x_{2} \\ \end{matrix},\ldots,\begin{matrix} o \\ x_{n} \\ \end{matrix}) =$ funkcja złożona, argumenty $\begin{matrix} o \\ x_{1} \\ \end{matrix},\begin{matrix} o \\ x_{2} \\ \end{matrix},\ldots,\begin{matrix} o \\ x_{n} \\ \end{matrix}$ ,wartości prawdziwe $= f(\hat{x_{1}} +_{\max}\hat{x_{1}},\ \ \hat{x_{2}} +_{\max}\hat{x_{2}}\ ,\ldots,\ \ \hat{x_{n}} +_{\max}\hat{x_{n}})$

$$_{\max}y = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \bullet_{\max}x_{i}$$

DLA DETERMINISTYCZNEGO MODELU NIEDOKŁADNOŚCI

1. Metoda najbardziej niekorzystnego rozłożenia błędów

$\hat{y} = \sum_{i = 1}^{n}{\left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \bullet_{\max}\hat{x_{i}}}$

Np. W = U • i • t

$W = \frac{\partial W}{\partial U}_{|U = \hat{U}}_{\max}\hat{U} + \frac{\partial W}{\partial i}_{|i = \hat{i}}_{\max}\hat{i} + \frac{\partial W}{\partial t}_{|t = \hat{t}}_{\max}\hat{t} = \hat{i}\hat{t}_{\max}\hat{u} + \hat{u}\hat{t}_{\max}\hat{i} + \hat{i}\hat{u}_{\max}\hat{t}$

1. Metoda losowego rozłożenia błędów

$_{\max}\hat{y} = \sqrt{3\sum_{i = 1}^{n}{\left( \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \right)^{2}\left(_{\max}\hat{x_{i}} \right)^{2}}}$

MODEL LOSOWY NIEDOKŁADNOŚCI (SERIA M POMIARÓW)

$_{\max}\hat{y} =_{\text{smax}}\hat{y}(\text{symetryczny}) +_{\text{pmax}}\hat{y}(\text{przypadkowy})$

$_{\text{smax}}\hat{y} = \begin{Bmatrix} \sum_{i = 1}^{n}{\left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \bullet_{\max}\hat{x_{i}}}\ \\ \sqrt{3\sum_{i = 1}^{n}{\left( \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \right)^{2}\left(_{\max}\hat{x_{i}} \right)^{2}}}\ \\ \end{Bmatrix}$

$_{\text{pmax}}\hat{y} = \sqrt{\frac{1}{M(M - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( \hat{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}$

STOSOWANIE OBLICZANIE BŁĘDU GRANICZNEGO POMIARU WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ

y = f(|x₁||x₂|…|x_n|)

Dla deterministycznego modelu niedokładności

1. Metoda najbardziej niekorzystnego rozłożenia błędu

$$_{\max}\hat{y} = \sum_{i = 1}^{n}{\left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \bullet_{\max}\hat{x_{i}}}$$

1. Metoda losowego rozłożenia błędu

$_{\max}\hat{y} = \sqrt{3\sum_{i = 1}^{n}{\left( \left| \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \right|_{x_{i} = \hat{x_{i}}} \right)^{2}\left(_{\max}\hat{x_{i}} \right)^{2}}}$

Obliczenia błędu względnego można ułatwić stosując operacje logarytmowania przed różniczkowania

PODSTAWOWE POJĘCIA TEORII NIEPEWNOŚCI

$\begin{matrix} o \\ x \\ \end{matrix}$ – wartość prawdziwa

– zmienna losowa

$\hat{x}$ - estyma ta wartości prawdziwej

Niepewność standardowa bezwzględna:

$$u^{2}\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \sigma^{2}\left( x \right) - \ \text{dla}\ \text{znanej}\ \text{warianc}\text{ji}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ s^{2}\left( x \right) - \ \text{dla}\ \text{znanej}\ \text{estymaty}\ \text{wariancji} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Niepewność standardowa względna:

$$u_{\text{wzgl}}\left( \hat{x} \right) = \frac{u(\hat{x})}{\left| \hat{x} \right|}$$

Sposób wyznaczania niepewności standardowej bezwzględnej (w praktyce):

$$u\left( \hat{x} \right) = \sqrt{u_{A}^{2} + u_{B}^{2}} = \sqrt{s^{2}\left( \overset{\overline{}}{x} \right) + \frac{{(_{\max}\hat{x})}^{2}}{3}}$$

Niepewność dzieli się na 2 typy:

a) wyznaczoną za pomocą metod statystycznych

b) wyznaczoną za pomocą innych metod, np. w oparciu o klasę przyrządu

$$s^{2}\left( \overset{\overline{}}{x} \right) = \frac{1}{M(M - 1)}\sum_{i = 1}^{M}{(\hat{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}$$

Niepewność standardowa całkowita (bezwzględna)

$$u\left( \hat{x} \right) = \sqrt{\frac{1}{M(M - 1)}\sum_{i = 1}^{M}{{(\hat{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x})}^{2} + \frac{{(_{\max}\hat{x})}^{2}}{3}}}$$

M – liczba wyników pomiarów

Niepewność rozszerzona (bezwzględna):

$$U\left( \hat{x} \right) = k_{p}u(\hat{x})$$

PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI

Wielkość złożona: y; y=f(x₁,x₂,…,x_n)

Wariancja zmiennej y: $\sigma^{2}\left( \hat{y} \right) = > \hat{u}\left( \hat{y} \right) = \sigma\left( \hat{x} \right);\ \hat{u}\left( \hat{y} \right) - \text{niepewno}sc\ \text{standardowa}$

Wariancja zmiennej $\hat{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{:}\ {\sigma_{i}}^{2} = \sigma^{2}\left( \hat{x_{i}} \right) = > \hat{u}\left( \hat{x_{i}} \right) = \sigma\left( {\hat{x}}_{i} \right)$

Kowariancja zmiennych $\hat{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}\mathbf{\ }\mathbf{i}\mathbf{\ }\hat{\mathbf{x}_{\mathbf{k}}}\mathbf{:}\ \sigma_{\text{ik}} = \sigma(\hat{x_{i}},\hat{x_{k}})$

$$\sigma^{2}\left( \hat{y} \right) = \sum_{i = 1}^{n}{s_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}} + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}{\sum_{k = i + 1}^{n}{s_{i}s_{k}\sigma_{\text{ik}}}}$$

$$s_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\text{\ \ \ }s_{k} = \frac{\partial f}{\partial x_{k}}$$

Kowariancja:

$$\sigma_{\text{ik}} = \frac{1}{M - 1}\sum_{j = 1}^{M}{(x_{i}^{j} - \overset{\overline{}}{x_{i}}})(x_{k}^{j} - \overset{\overline{}}{x_{k}})$$

n-liczba zmiennych x_i

M-liczba wyników pomiarów

Niepewność standardowa:

$$u\left( \hat{y} \right) = \sqrt{\sigma^{2}(\hat{y})}$$

$$u\left( \hat{y} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{s_{i}^{2}\sigma_{i}^{2} + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}{\sum_{k = i + 1}^{n}{s_{i}s_{k}\sigma_{\text{ik}}}}}}$$

gdy zmienne są niezależne σ_ik=0

Mierniki magnetoelektryczne – czułość stała, wartość średnia, podziałka liniowa.

Miernik elektromagnetyczny – mierzy wartość skuteczną (prąd stały i przemienny). Wskazania są funkcją wartości skutecznych mierzonego natężenia prądu. Do rozszerzania zakresów pomiarowych stosuje się cewki i przekładniki pomiarowe.

Woltomierze elektromagnetyczne – buduje się łącząc w szerek z ustrojem pomiarowym manganiowy rezystor. Stosuje się je do pomiaru natężeń prądów i napięć przemiennych gdzie częstotliwości są mniejsze od 400Hz.

STRUKTRA KAJOWYCH SLUŻB MIAR

Główny Urząd Miar (GUM)

9 okręgowych urzędów miar ma siedziby w: Warszawie, Krakowie, Wrocławiu, Poznaniu, Katowicach, Gdańsku, Łodzi, Bydgoszczy i Szczecinie.

62 obwodowych urzędów miar.

Zadania:

- wykonywanie czynności związanych z legalizacją przyrządów pomiarowych

- wzorcowanie (kalibracja) przyrządów pomiarowych oraz sprawdzanie i wykonywanie ekspertyz przyrządów pomiarowych

- udział w wykonywaniu przez GUM badaniach przyrządów pomiarowych w celu zatwierdzenia typu

- wykonywanie czynności związanych z nadzorem nad przestrzeganiem przepisów prawa o miarach oraz współpracę w tym zakresie z administracją rządową i samorządową

Prezes GUM podlega Min. Gospodarki Pracy i Polityki zgodnie z rozporządzeniem Prezesa Rady Ministrów.

Prezes urzędu powoływany jest przez premiera.

Wiceprezes odpowiada za:

- sprawy miar

- metrologii prawnej

- sprawy polityki rynkowej i probiernictwa

GUM:

-Jednostka Certyfikująca

-Zakład Metrologii Ogólnej

-Zakład Długości i Kąta

-Zakład Termodynamiki

-Zakład Masy i Siły

-Zakład Metrologii Elektrycznej

-Zakład Fizykochemii

-Samodzielne Laboratorium Czasu i Częstotliwości

-Samodzielne Laboratorium Akustyki i Drgań

-Samodzielne Laboratorium Promieniowania Optycznego i Jonizującego

Podstawowym zadaniem GUM jest zapewnienie wzajemnej zgodności i określonej dokładności wyników pomiarów przeprowadzonych w Polsce oraz ich zgodności z międzynarodowym systemem miar. Wymagana dokładność wyników ze współczesnych oczekiwań nauki, techniki i handlu oraz ochrony zdrowia i środowiska naturalnego.

Zadanie 1:

P = I²R

lnP = lnI² + lnR

lnP = 2lnI + lnR

$\frac{\text{dP}}{P} = 2\frac{\text{dI}}{I} + \frac{\text{dR}}{R}$

Przyjmujemy załozenia

$\frac{\text{dP}}{P} = \frac{P}{P}$

$\frac{\text{dI}}{I} = \frac{I}{I}$

$\frac{\text{dR}}{R} = \frac{R}{R}$

$\frac{P}{P} = 2\frac{I}{I} + \frac{R}{R}$

δP = 2δI + δR

Prąd o natężeniu $\hat{I} = 10A$ określone z błedem $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,5\%$ płynie przez rezystor $\hat{R} = (50\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}1)\mathrm{\Omega}$. Określić moc wydzieloną na rezystorze i błąd jej wyznaczania.

$_{\max}\hat{I} = 0,5\% \bullet 10A = 0,05A$

$_{\max}\hat{R} = 1\mathrm{\Omega}$

$\hat{P} = {\hat{I}}^{2} \bullet \hat{R} = {100A}^{2} \bullet 50\mathrm{\Omega} = 5000W = 5\text{kW}$

$_{\max}\hat{P} = \left| \frac{\partial P}{\partial I} \right|_{I = \hat{I}}_{\max}\hat{I} + \left| \frac{\partial P}{\partial R} \right|_{R = \hat{R}}_{\max}\hat{R} = 2\hat{I}\hat{R}_{\max}\hat{I} + {\hat{I}}^{2}_{\max}\hat{R} = 2 \bullet 10A \bullet 50\mathrm{\Omega} \bullet 0,05A + {(10A)}^{2} \bullet 1\mathrm{\Omega} = 150W$

$\delta\hat{P} = \frac{_{\max}\hat{P}}{\hat{P}} = \frac{150W}{5000W} = 0,03$

δP = 3%

$P = (1500\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}150)W$

Zadanie 2:

Stosując metodę logarytmiczną obliczyć bład graniczny wielkosci Y związanej z wielkościami A, B, C, D, E, F poniższa funkcja:

$Y = \frac{\sqrt[3]{A}B^{2}CD^{6}}{E^{5}\sqrt[4]{F}}$ ; $\ln\sqrt[3]{A} = lnA^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\text{lnA}$ ; $\sqrt[m]{x^{n}} = x^{\frac{n}{m}}$

Wyznaczyć względną wrażliwość wielkości Y na zmiany wielkości C

$\text{lnY} = \frac{1}{3}\text{lnA} + 2\text{lnB} + \text{lnC} + 6\text{lnD} - 5\text{lnE} - \frac{1}{4}\text{lnF}$

$\frac{Y}{Y} = \frac{1}{3}\frac{A}{A} + 2\frac{B}{B} + \frac{C}{C} + 6\frac{D}{B} - 5\frac{E}{E} - \frac{1}{4}\frac{F}{F}$

Dla metody najbardziej niekorzystnego rozłozenia błędu otrzymuje się

$\text{δY} = \frac{1}{3}\text{δA} + 2\text{δB} + \text{δC} + 6\text{δD} + 5\text{δE} + \frac{1}{4}\text{δF}$

Wrażliwość SENSITIVE

$\partial_{C}^{Y} = \frac{\partial Y}{\partial C} = \frac{\sqrt[3]{A}B^{2}D^{6}}{E^{5}\sqrt[4]{F}}$

Zadanie 3:

W celu wyznaczenia rezystancji właściwej drutu oporowego o długości $l = 1m\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,5\text{mm}$ i średnicy $d = (4\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,01)\text{mm}$ zmierzono jego rezystancje $R = (0,1\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,01)\mathrm{\Omega}$ . Obliczyć wartość rezystancji właściwej i błąd graniczny jej pomiaru. R=ρl/S

$\rho = \frac{R \bullet S}{l} = \frac{\text{Rπ}d^{2}}{4l} = 1,256 \bullet 10^{6}\mathrm{\Omega}m$

Do obliczeń błędu granicznego _maxρ przyjmujemy dane:

_maxl = 0, 5mm = 5 • 10⁻⁴m

_maxd = 0, 01mm = 1 • 10⁻⁵m

_maxR = 0, 01Ω

lnρ = lnR + lnπ + 2lnd − ln4 − lnl

$\frac{\rho}{\rho} = \frac{R}{R} + 2\frac{d}{d} - \frac{l}{l}$

$\frac{_{\max}\rho}{\rho} = \frac{_{\max}R}{R} + 2\frac{_{\max}d}{d} + \frac{_{\text{maxl}}}{l} = \frac{0,01\mathrm{\Omega}}{0,1\mathrm{\Omega}} + 2\frac{10^{- 5}m}{4 \bullet 10^{- 3}m} + \frac{5 \bullet 10^{- 4}m}{1m} = 0,103$

Zadanie 4:

Woltomierz analogowy klasy 1 ma zakres o-400V.

1. Obliczyć błąd bezwzgledny pomiaru napięcia tym woltomierzem i niepewność standardową typu B.

2. Wyznaczyć błędy względne pomiaru napięć równych: 400V, 200V, 5V.

kl_V = 1

U_Z = 400V

$\text{kl}_{V} = \frac{U}{U_{z}} \bullet 100\%$

$U = \frac{\text{kl}_{V} \bullet U_{Z}}{100\%} = \frac{1\% \bullet 400V}{100\%} = 4V$

$\delta(U = 400V) = \frac{U}{U} = \frac{4V}{400V} = 0,01$

$\delta(U = 200V) = \frac{U}{U} = \frac{4V}{200V} = 0,02$

$\delta(U = 5V) = \frac{U}{U} = \frac{4V}{5V} = 0,8$

Niepewność standardowa

$u(U) = \frac{U}{\sqrt{3}} = \frac{4V}{\sqrt{3}} = 2,31$

Zadanie 5:

Woltomierz analogowy klasy 0,5 ma zakres 0-200V.

1. Obliczyć błąd bezwzględny omiaru napięcia tym woltomierzem i niepewność standardową typu b.

2. Wyznaczyć błedy względne pomiaru napięć równych: 200V, 100V, 25V.

kl_V = 0, 5

U_Z = 200V

$\text{kl}_{V} = \frac{U}{U_{z}} \bullet 100\%$

$U = \frac{\text{kl}_{V} \bullet U_{Z}}{100\%} = \frac{0,5\% \bullet 200V}{100\%} = 1V$

$\delta(U = 200V) = \frac{U}{U} = \frac{1V}{200V} = 0,005$

$\delta(U = 100V) = \frac{U}{U} = \frac{1V}{100V} = 0,01$

$\delta(U = 25V) = \frac{U}{U} = \frac{1V}{25V} = 0,04$

Niepewność standardowa

$u(U) = \frac{U}{\sqrt{3}} = \frac{1V}{\sqrt{3}} = 0,58$

Zadanie 6:

Do pomiaru napięcia można było użyć dwóch woltomierzy pierwszy o klasie dokładności 0,5 i zakresie o-60V, drugi o klasie 1,5 i zakresie od 0-15V. Który z woltomierzy pozwoli określić wartość napięcia z mniejszym błędem?

$U = \frac{\text{kl} \bullet U_{Z}}{100\%}$

${U}_{1} = \frac{0,5 \bullet 60}{100} = 0,3$

${U}_{2} = \frac{1,5 \bullet 15}{100} = 0,22$

Drugi woltomierz pozwoli określić wartość napięcia z mniejszym błędem.

Zadanie 7:

Z jakim dopuszczalnym błędem należy zmierzyć prąd płynący przez opornik o rezystancji wyznaczonej z tolerancją δ_maxR= $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,1\%$, aby spadek napięcia na tym rezystorze mógł być obliczony z błędem granicznym δ_maxU=$\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,4\%$?

U = I • R

lnU = lnI ∙ lnR

$\frac{I}{I} = \frac{U}{U} = \frac{R}{R}$

δ_maxU= δ_maxI + δ_maxR

δI = δmaxU − δmaxR = 0, 4%−0, 1%=0, 3%

Zadanie 8:

Moc P=250W wydzieloną na rezystorze $R = (10\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,1)\mathrm{\Omega}$ wydzielono na podstawie pomiaru natęzenia prądu. Jaką dopuszczalną klasę powinien mieć amperomierz o zakresie 0-7,5A mierzący ten prąd, aby błąd graniczny wyznaczenia mocy nie przekroczył 3%?

P=250W

$R = (10\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,1)\mathrm{\Omega}$

I_z = 7, 5A

δP ≤ 3%

P = I² • R

$P = \frac{\partial P}{\partial I}I + \frac{\partial P}{\partial R}R = 2IRI + I^{2}R$

$\delta P = \frac{P}{P} = \frac{2IRI + I^{2}R}{I^{2}R} = 2\frac{I}{I} + \frac{R}{R}$

$\frac{I}{I} = \frac{1}{2}\left( \text{δP} - \frac{R}{R} \right)$

$\text{kl}_{A} = \frac{I \bullet 100\%}{I_{Z}}$

$I = \frac{1}{2}I\left( \text{δP} - \frac{R}{R} \right)$

$I = \sqrt{\frac{P}{R}}$

$\text{kl}_{A} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{P}{R}}\left( \text{δP} - \frac{R}{R} \right)}{I_{z}} \bullet 100\% = \frac{0,05}{7,5} \bullet 100\% = 0,67$

$\frac{R}{R} = \frac{0,1\mathrm{\Omega}}{10\mathrm{\Omega}} = 0,01$

Zadanie 9:

Na rysunku przedstawiono dzielnik napięcia:

Z jaką maksymalną tolerancją można wykonać opornik R1, jeżeli opornik R2 jest wykonany z tolerancją $\begin{matrix} + \\ - \\ \end{matrix}0,02\%$ a błąd graniczny stosunku Uwe/Uwy ma być nie większy niż 0,1% ?

U_wy = I • R₂

$I = \frac{U_{\text{we}}}{R_{1} + R_{2}}$

$U_{\text{wy}} = U_{\text{we}}\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$

Dane:

$\frac{R_{2}}{R_{2}} = 0,02\%$

$\frac{\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}}} = 0,1\%$

$\frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} = \frac{\partial\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\partial R_{1}}R_{1} + \frac{\partial\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\partial R_{2}}R_{2} = \left| - \frac{R_{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} \right| + \left| \frac{R_{1}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}R_{2} \right|$

$\delta\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right) = \frac{\left( \frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}} \right)}{\frac{U_{\text{wy}}}{U_{\text{we}}}} = \frac{\left| - \frac{R_{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} \right| + \left| \frac{R_{1}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}R_{2} \right|}{\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}} = \frac{\frac{R_{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} + \frac{R_{1}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}}R_{2}}{\frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} + \frac{R_{1}}{R_{2}} \bullet \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}\ $

$\frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,1(R_{1} + R_{2})}{R_{1}} - \frac{R_{2}}{R_{2}} = 0,1111111 - 0,02 = 0,09111111$ %

Zadanie 10:

N rezystorów o wartościach R=400±4Ω połączono szeregowo. Wyznaczyć rezystancję zastępcza oraz jej błąd graniczny względy i bezbłędny.

Dane: R=400Ω, ΔmaxR=4Ω, δmaxR=0,01

Szukane: Rw=?, ΔmaxRw=?, δmaxRw=?

Rw=R/n,

$maxRw = \frac{\partial\text{Rw}}{\partial R}maxR = \frac{1}{n}maxR$

$\delta maxRw = \frac{maxRw}{\text{Rw}} = \frac{\frac{1}{n}maxR}{\frac{R}{n}} = \frac{maxR}{R}$

Zadanie 11:

Dane:δmaxS≤0,5%, S=(πd²)/4, δmaxd=?

lnS=lnπ+2lnd-ln4

∆S/S=0+2(∆d/d)-0

δmaxS=2δmaxd

δmaxd=δmaxS/2=0,25%

Zadanie 12:

Woltomierzem cyfrowym o zakresie pomiarowym 1V oraz błędzie odczytu a=0,2%, błędzie zakresu b=0,02% wykonano serię pomiarów i uzyskano wyniki: (0,8982;0,9023;0,8959;0,9014;0,9018;…;0,8998;0,9031;0,9033)V. Wyznaczyć estyma tę wartości napięcia i miary niedokładności, błąd graniczny bezwgl. Pomiaru oraz niepewność standardową i rozszerzoną dla poziomu ufności p=0,9545.

$\overset{\overline{}}{u} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}U_{i} = 0,9009V$

Błąd graniczny bezwzględny: ∆maxU=a%Uodcz+b%Uzakres=0,002*0,9009V+0,0002*1V=0,00218V

Błąd graniczny względny:

$\delta maxU = \frac{maxU}{\overset{\overline{}}{U}} = 0,0024$ ; δmaxU%=0,24%

Niepewność standardowa:

$u_{A}\left( U \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(U_{i} - \overset{\overline{}}{u})}^{2}}$

Niepewność typu B: U_B(U)=(∆maxU)/√3

Niepewność łączna (standardowa): $u\left( U \right) = \sqrt{U_{A}^{2}\left( u \right) + U_{B}^{2}(U)}$

Niepewność rozszerzona: u(U)=u(U)kp=u(U)*2

Zadanie 13:

3 rezystory o warościach 1000, 50 i 4Ω ±1 połączono szeregowo. Oblicz rezystancję zastępczą, oraz błędy graniczne wzgl i bezwgl.:

δR1=1Ω/1000Ω=0,001=0,1%, δR2=0,5%, δR3=2%.

Rw=R1+R2+R3=1054Ω

lnRw=ln(R1+R2+R3)

$\frac{Rw}{\text{Rw}} = \frac{R1}{\text{Rw}} + \frac{R2}{\text{Rw}} + \frac{R3}{\text{Rw}} = \frac{R1}{R1}\frac{R1}{\text{Rw}} + \frac{R2}{R2}\frac{R2}{\text{Rw}} + \frac{R3}{R3}\frac{R3}{\text{Rw}}$

$\delta maxRw = \frac{R1}{\text{Rw}}\delta maxR1 + \frac{R2}{\text{Rw}}\delta maxR2 + \frac{R3}{\text{Rw}}\delta maxR3 = 0,00126 = 0,13\%$

ΔmaxRw=1054Ω*0,00126=1,33Ω

II Sposób:

ΔmaxRw=ΔmaxR1+ΔmaxR2+ΔmaxR3=1+0,25+0,8=1,33Ω

$\delta maxRw = \frac{\Delta\text{maxRw}}{\text{Rw}} = \frac{1,33\Omega}{1054\Omega} = 0,00126 = 0,13\%$

Zadanie 14:

Udowodnić, że metodę logarytmiczną można stosować do obliczania błędów granicznych, przy prostych zależnościach funkcjonalnych nawet wtedy gdy występują sumy i różnice.

Y=(A+B)/C, Dane: ΔmaxA, ΔmaxB, Δmax, A, B, C,

Szukane: δmaxY, ΔmaxY, Y

$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta(A + B)}{A + B} - \frac{\Delta C}{C}$

$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta A}{A + B} + \frac{\Delta B}{A + B} - \frac{\Delta C}{C}$

$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{A}{A}\frac{\Delta A}{A + B} + \frac{B}{B}\frac{\Delta B}{A + B} - \frac{\Delta C}{C}$

$\delta Y = \frac{A}{A + B}\delta A + \frac{B}{A + B}\delta B - \delta C$

$\delta maxY = \frac{A}{A + B}\delta maxA + \frac{B}{A + B}\delta maxB - \delta maxC$

$\frac{\Delta\text{maxY}}{Y} = \delta maxY$ ; ΔmaxY=YδmaxY

Zadanie 15:

Dane: $\hat{U},\ \hat{I},\ \Delta\max\hat{U},\ \Delta\max\hat{I}$

Szukane: $\hat{P} = ?,\ \Delta\max\hat{P} = ?$

$\hat{P} = \hat{U}*\hat{I}$

$\Delta\max\hat{P} = \left. \ \frac{\partial P}{\partial U} \right|_{\frac{u = \hat{U}}{i = \hat{I}}}\Delta\max\hat{U} + \left. \ \frac{\partial P}{\partial I} \right|_{\frac{u = \hat{U}}{i = \hat{I}}}\Delta\max\hat{I}$

$\Delta\max\hat{P} = \hat{I}\Delta\max\hat{U} + \hat{U}\Delta\max\hat{I}$

$\text{δmax}\hat{P} = \frac{\Delta\max\hat{P}}{\hat{P}} = \frac{\hat{I}\Delta\max\hat{U} + \hat{U}\Delta\max\hat{I}}{\hat{U}\hat{I}} = \frac{\Delta\max\hat{U}}{\hat{U}} + \frac{\Delta\max\hat{I}}{\hat{I}} = \delta max\hat{U} + \delta max\hat{I}$

Zadanie 16:

Dane: $\hat{F},\ \hat{x},\ \Delta\max\hat{F},\ \Delta\max\hat{x}$

Szukane: $\hat{k} = ?,\ \Delta\max\hat{k} = ?$

$\hat{k} = \frac{\hat{F}}{\hat{x}}$

$\Delta\max\hat{k} = \left. \ \frac{\partial k}{\partial F} \right|_{\frac{F = \hat{F}}{x = x}}\Delta\max\hat{F} + \left. \ \frac{\partial k}{\partial x} \right|_{\frac{F = F}{x = \hat{x}}}\Delta\max\hat{x} = \frac{1}{\hat{x}}\Delta\max\hat{F} + ( - \frac{F}{\hat{x^{2}}})\Delta\max\hat{x}$

$\Delta\max\hat{k} = \frac{\Delta\max\hat{F}}{\hat{x}} + \frac{F}{\hat{x^{2}}}\Delta\max\hat{x}$

$\text{δmax}\hat{k} = \frac{\Delta\max\hat{k}}{\hat{k}} = \frac{\frac{\Delta\max\hat{F}}{\hat{x}} + \frac{F}{\hat{x^{2}}}\Delta\max\hat{x}}{\frac{F}{x}} = \frac{\Delta\max\hat{F}}{\hat{F}} + \frac{\Delta\max\hat{x}}{\hat{x}}$

$\text{δmax}\hat{k} = \delta max\hat{F} + \delta max\hat{x}$

Metoda logarytmiczna: 

P=UI

lnP=lnu+lnI

ΔP/P=ΔI/I+ΔU/U

δmaxP=δmaxU+δmaxI

$\text{δmax}\hat{P} = \delta max\hat{P} \bullet \hat{P}$

$\text{δmax}\hat{P} = \frac{max\hat{P}}{\hat{P}}$

Zadanie 17:

Wyznaczyć błąd graniczny pomiaru natężenia prądu amperomierzem o klasie dokładności 0,5 i zakresie pomiarowym od 0 do 1A.

Dane: kl=0,5, Izakres=1A Szukane: ΔmaxI=?

$\text{Kl}_{I} = \frac{maxI}{\text{Izakres}} \bullet 100\%$

$maxI = \frac{\text{kl}_{I} \bullet Izakres}{100\%} = \frac{0,5\% \bullet 1A}{100\%} = 0,005A = 5mA = 5 \bullet 10^{- 3}A$

Iodczytane=0,5A=500mA

Błąd względny: $\delta maxI = \frac{maxI}{\text{Iodczytu}} = \frac{5mA}{500mA} = 0,01 = 1\%$