BADANIE EFEKTU HALLA
Ćwiczenie nr 57 C/2
Wersja podstawowa.
Do ćwiczenia użyliśmy:
miliamperomierz LM-1 klasy 0,5 na zakresie 7,5 [mA] dla którego:
Is = 12 [mA]
Dokładność pomiaru:
$$I_{S} = \pm \frac{klasa \bullet zakres}{100}\ \left\lbrack \text{mA} \right\rbrack$$
$$I_{S} = \pm \frac{0,5 \bullet 15}{100} = \pm 0,075\text{\ \ }\left\lbrack \text{mA} \right\rbrack$$
woltomierz MERATRONIK TYPE V530 na zakresie 1 [V] dla którego dokładność wynosi:
± 0,05% rdg ± 0,01% pełnej skali
UHn = UHn • (±0,05% rdg) ± 0, 01%•1 [V]
Przykładowe obliczenia:
UH1 = 0, 0522 • (±0,05% rdg) ± 0, 01%•1 = ±0, 0000261 + 0, 0001 = ± 126, 2 • 10−6[V]
zasilacz Hallotronu
Hallotron dla którego ustawiliśmy kąt α0 = 75 tak aby wskazanie woltomierza było równe 0.
Dokładność wskaźnika kąta obrotu Hallotronu jako najmniejsza podziałka:
δα = 5 []
$$\alpha = \frac{\delta_{\alpha}}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = 2,89\ \left\lbrack \right\rbrack$$
Dla ćwiczenia przyjęliśmy:
B0 = (0,500±0,05) [T]
Wartość indukcji będzie wynosić:
Bn = B0 • sin(α−α0) [T]
Przykładowe obliczenia:
Bn1 = B0 • sin(α1−α0) [T]
Bn1 = 0, 500 • sin(85−75) = 0, 500 • sin10 = 0, 500 • 0, 1736 = 0, 0868 ≈ 0, 087 [T]
Niepewność bezwzględna indukcji:
$$B_{n} = \left| \frac{\partial B_{n}}{\partial B_{0}} \right| \bullet B_{0} + \left| \frac{\partial B_{n}}{\partial\alpha_{0}} \right| \bullet \alpha_{0} + \left| \frac{\partial B_{n}}{\partial\alpha} \right| \bullet \alpha\ \ \left\lbrack T \right\rbrack$$
Bn = |sin(α−α0)| • B0 + |B0•cos(α−α0)•(−1)| • α0 + |B0•cos(α−α0)| • α [T]
Przykładowe obliczenia:
Bn1 = |sin(85−75)| • 0, 05 + |0,5•cos(85−75)•(−1)| • 0, 05 + |0,5•cos(85−75)| • 0, 05 = 0, 058 [T]
Tabela 1
| IS | ΔIS | α | Δα | UH | ΔUH | Bn | ΔBn |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [mA] | [mA] | [˚] | [˚] | [V] | [V] | [T] | [T] |
| 12 | ±0,075 | 85 | ±2,89 | 0,0522 | ±126, 1 • 10−6 |
0,087 | 0,058 |
| 95 | 0,1098 | ±154, 9 • 10−6 |
0,171 | 0,064 | |||
| 105 | 0,1626 | ±181, 3 • 10−6 |
0,250 | 0,068 | |||
| 115 | 0,2108 | ±205, 4 • 10−6 |
0,321 | 0,07 | |||
| 125 | 0,2563 | ±228, 2 • 10−6 |
0,383 | 0,07 | |||
| 135 | 0,2905 | ±245, 3 • 10−6 |
0,433 | 0,068 | |||
| 145 | 0,3195 | ±259, 8 • 10−6 |
0,470 | 0,064 | |||
| 155 | 0,3397 | ±269, 9 • 10−6 |
0,492 | 0,058 | |||
| 165 | 0,3476 | ±273, 8 • 10−6 |
0,500 | 0,05 | |||
| 175 | 0,3438 | ±271, 9 • 10−6 |
0,492 | 0,058 | |||
| 185 | 0,3279 | ±264 • 10−6 |
0,470 | 0,064 | |||
| 195 | 0,3005 | ±250, 3 • 10−6 |
0,433 | 0,068 | |||
| 205 | 0,2654 | ±232, 7 • 10−6 |
0,383 | 0,07 | |||
| 215 | 0,2170 | ±208, 5 • 10−6 |
0,321 | 0,07 | |||
| 225 | 0,1710 | ±185, 5 • 10−6 |
0,250 | 0,068 | |||
| 235 | 0,1170 | ±158, 5 • 10−6 |
0,171 | 0,064 | |||
| 245 | 0,0559 | ±128 • 10−6 |
0,087 | 0,058 | |||
| 255 | 0 | ±100 • 10−6 |
0 | 0,05 | |||
| 265 | -0,0636 | ±131, 8 • 10−6 |
-0,087 | 0,058 | |||
| 275 | -0,1254 | ±162, 7 • 10−6 |
-0,171 | 0,064 | |||
| 285 | -0,1800 | ±190 • 10−6 |
-0,250 | 0,068 | |||
| 295 | -0,2333 | ±216, 7 • 10−6 |
-0,321 | 0,07 | |||
| 305 | -0,2795 | ±239, 8 • 10−6 |
-0,383 | 0,07 | |||
| 315 | -0,3203 | ±260, 2 • 10−6 |
-0,433 | 0,068 | |||
| 325 | -0,3533 | ±276, 7 • 10−6 |
-0,470 | 0,064 | |||
| 335 | -0,3741 | ±287, 1 • 10−6 |
-0,492 | 0,058 | |||
| 345 | -0,3836 | ±291, 8 • 10−6 |
-0,500 | 0,05 | |||
| 355 | -0,3773 | ±288, 7 • 10−6 |
-0,492 | 0,058 | |||
| 5 | -0,3590 | ±273, 5 • 10−6 |
-0,470 | 0,064 | |||
| 15 | -0,3251 | ±262, 6 • 10−6 |
-0,433 | 0,068 | |||
| 25 | -0,2854 | ±242, 7 • 10−6 |
-0,383 | 0,07 | |||
| 35 | -0,2353 | ±217, 7 • 10−6 |
-0,321 | 0,07 | |||
| 45 | -0,1855 | ±192, 8 • 10−6 |
-0,250 | 0,068 | |||
| 55 | -0,1262 | ±163, 1 • 10−6 |
-0,171 | 0,064 | |||
| 65 | -0,0619 | ±131 • 10−6 |
-0,087 | 0,058 | |||
| 75 | 0 | ±100 • 10−6 |
0 | 0,05 |
Korzystając z regresji liniowej wyznaczyliśmy współczynnik kierunkowy:
a = 0, 7174
Odchylenie standardowe wyniosło:
a = ±0, 013
Czyli czułość Hallotronu wyrazimy wzorem:
$$\gamma = \frac{a}{I_{S}}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
$$\gamma = \frac{0,7174}{12 \bullet 10^{- 3}} = 59,78\ \ \left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
Niepewność bezwzględna czułości wyrazimy różniczką zupełną:
$$\gamma = \left| \frac{\partial\gamma}{\partial a} \right| \bullet a + \left| \frac{\partial\gamma}{\partial I_{S}} \right| \bullet I_{S}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack\ $$
$$\gamma = \left| \frac{1}{I_{S}} \right| \bullet a + \left| - \frac{a}{I_{S}^{2}} \right| \bullet I_{S}\ \left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack\ $$
$$\gamma = \left| \frac{1}{12 \bullet 10^{- 3}} \right| \bullet 0,013 + \left| - \frac{0,7174}{\left( 12 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}} \right| \bullet \left( 0,075 \bullet 10^{- 3} \right) = 1,083 + 0,374 = \pm 1,457\ \left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
$$\frac{\gamma}{\gamma} \bullet 100\% = \frac{1,457}{59,78} \bullet 100\% = 2,44\%$$
Koncentracja elektronów swobodnych będzie miała wartość:
$$n = \frac{1}{e \bullet \gamma \bullet d}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
gdzie
e = 1, 6 • 10−19 [C]
d = 2 [μm] = 2 • 10−6 [m]
$$\frac{d}{d} = 5\%$$
Czyli:
d = d • 5%=(2•10−6) • 5%=0, 1 • 10−6 [m]
$$n = \frac{1}{\left( 1,6 \bullet 10^{- 19} \right) \bullet 59,78 \bullet \left( 2 \bullet 10^{- 6} \right)} = \frac{1}{19,13 \bullet 10^{- 26}} = 5,23 \bullet 10^{24}\ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
Niepewność bezwzględna koncentracja elektronów swobodnych:
$$n = \left| \frac{\partial n}{\partial\gamma} \right| \bullet \gamma + \left| \frac{\partial n}{\partial d} \right| \bullet d = \left| - \frac{1}{e \bullet \gamma^{2} \bullet d} \right| \bullet \gamma + \left| - \frac{1}{e \bullet \gamma \bullet d^{2}} \right| \bullet d\ \ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
$n = \left| - \frac{1}{\left( 1,6 \bullet 10^{- 19} \right) \bullet \left( 59,78 \right)^{2} \bullet \left( 2 \bullet 10^{- 6} \right)} \right| \bullet 1,457 + \left| - \frac{1}{\left( 1,6 \bullet 10^{- 19} \right) \bullet 59,78 \bullet \left( 2 \bullet 10^{- 6} \right)^{2}} \right| \bullet \left( 0,1 \bullet 10^{- 6} \right) = \ \ \ \ \ \ \ 1,27 \bullet 10^{21} + 2,63 \bullet 10^{21} = \pm 3,9 \bullet 10^{21}\ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$
$$\frac{n}{n} \bullet 100\% = \frac{3,9 \bullet 10^{21}}{5,23 \bullet 10^{24}} \bullet 100\% = 0,74\%$$
Tabela 2
| a | Δa | γ |
γ |
$$\frac{\gamma}{\gamma}$$ |
n | Δn | $$\frac{n}{n}$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$ | $\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$ | % | $\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$ | $\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$ | % | ||
| 0,7174 | ±0,013 | 59,78 | ±1,457 | 2,44 | 5, 23 • 1024 |
±3,9·1021 | 0,74 |
Wersja dodatkowa.
Do ćwiczenia użyliśmy:
miliamperomierz LM-1 klasy 0,5 na zakresie 7,5 [mA] dla którego:
$$I_{S} = \pm \frac{klasa \bullet zakres}{100}\ \left\lbrack \text{mA} \right\rbrack$$
$$I_{S} = \pm \frac{0,5 \bullet 15}{100} = \pm 0,075\ \left\lbrack \text{mA} \right\rbrack$$
woltomierz MERATRONIK TYPE V530 na zakresie 1 [V] dla którego dokładność wynosi:
± 0,05% rdg ± 0,01% pełnej skali
UHn = UHn • (±0,05% rdg) ± 0, 01%•1 [V]
Przykładowe obliczenia:
UH1 = 0, 0290 • (±0,05% rdg) ± 0, 01%•1 = ±0, 0000145 + 0, 0001 = ± 114, 5 • 10−6 [V]
zasilacz Hallotronu
Hallotron dla którego ustawiliśmy kąt α0 = 165 tak aby wskazanie woltomierza miało jak największą wartość.
Dokładność wskaźnika kąta obrotu Hallotronu jako najmniejsza podziałka:
δα = 5 []
$$\alpha = \frac{\delta_{\alpha}}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = 2,89\ \left\lbrack \right\rbrack$$
Dla ćwiczenia przyjęliśmy:
B0 = (0,500±0,05) [T]
Jako że mamy tylko jedna wartość kąta to możemy przyjąć że:
Bn = B0 = (0,500±0,05) [T]
Tabela 3
| Bn | ΔBn | IS | ΔIS | UH | ΔUH | α | Δα |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [T] | [T] | [mA] | [mA] | [V] | [V] | [˚] | [˚] |
| 0,500 | ±0,05 | 1 | ±0,075 | 0,0290 | ±114, 5 • 10−6 |
165 | ±2,89 |
| 2 | 0,0580 | ±129 • 10−6 |
|||||
| 3 | 0,0887 | ±144, 4 • 10−6 |
|||||
| 4 | 0,1166 | ±158, 3 • 10−6 |
|||||
| 5 | 0,1473 | ±173, 7 • 10−6 |
|||||
| 6 | 0,1762 | ±188, 1 • 10−6 |
|||||
| 7 | 0,2050 | ±202, 5 • 10−6 |
|||||
| 8 | 0,2341 | ±217, 1 • 10−6 |
|||||
| 9 | 0,2621 | ±231, 1 • 10−6 |
|||||
| 10 | 0,2900 | ±245 • 10−6 |
|||||
| 11 | 0,3192 | ±259, 6 • 10−6 |
|||||
| 12 | 0,3478 | ±273, 9 • 10−6 |
|||||
| 13 | 0,3767 | ±28, 4 • 10−6 |
|||||
| 14 | 0,4039 | ±302 • 10−6 |
|||||
| 15 | 0,4319 | ±316 • 10−6 |
Korzystając z regresji liniowej wyznaczyliśmy współczynnik kierunkowy:
a = 28, 8 • 10−3
Odchylenie standardowe wyniosło:
a = ±0, 078 • 10−3
Czyli czułość Hallotronu wyrazimy wzorem:
$$\gamma = \frac{a \bullet 10^{3}}{B_{n}}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
$$\gamma = \frac{28,8 \bullet 10^{- 3} \bullet 10^{3}}{0,500} = 57,6\ \ \left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
Niepewność bezwzględna czułości wyrazimy różniczką zupełną:
$$\gamma = \left| \frac{\partial\gamma}{\partial a} \right| \bullet \left( a \bullet 10^{3} \right) + \left| \frac{\partial\gamma}{\partial B_{n}} \right| \bullet B_{n}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
$$\gamma = \left| \frac{1}{B_{n}} \right| \bullet \left( a \bullet 10^{3} \right) + \left| - \frac{a 10^{3}}{B_{n}^{2}} \right| \bullet B_{n}\ \left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
$$\gamma = \left| \frac{1}{0,500} \right| \bullet \left( 0,078 \right) + \left| - \frac{28,8}{\left( 0,500 \right)^{2}} \right| \bullet 0,05 = 0,156 + 5,76 = \pm 5,916\ \left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$$
$$\frac{\gamma}{\gamma} \bullet 100\% = \frac{5,916}{57,6} \bullet 100\% = 10,27\%$$
Koncentracja elektronów swobodnych będzie miała wartość:
$$n = \frac{1}{e \bullet \gamma \bullet d}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
gdzie
e = 1, 6 • 10−19 [C]
d = 2 [μm] = 2 • 10−6 [m]
$$\frac{d}{d} = 5\%$$
Czyli:
d = d • 5%=(2•10−6) • 5%=0, 1 • 10−6 [m]
$$n = \frac{1}{\left( 1,6 \bullet 10^{- 19} \right) \bullet 57,6 \bullet \left( 2 \bullet 10^{- 6} \right)} = \frac{1}{18,43 \bullet 10^{- 26}} = 5,43 \bullet 10^{24}\ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
Niepewność bezwzględna koncentracja elektronów swobodnych:
$$n = \left| \frac{\partial n}{\partial\gamma} \right| \bullet \gamma + \left| \frac{\partial n}{\partial d} \right| \bullet d = \left| - \frac{1}{e \bullet \gamma^{2} \bullet d} \right| \bullet \gamma + \left| - \frac{1}{e \bullet \gamma \bullet d^{2}} \right| \bullet d\ \ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$$
$n = \left| - \frac{1}{\left( 1,6 \bullet 10^{- 19} \right) \bullet \left( 57,6 \right)^{2} \bullet \left( 2 \bullet 10^{- 6} \right)} \right| \bullet 5,916 + \left| - \frac{1}{\left( 1,6 \bullet 10^{- 19} \right) \bullet 57,6 \bullet \left( 2 \bullet 10^{- 6} \right)^{2}} \right| \bullet \left( 0,1 \bullet 10^{- 6} \right) = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5,57 \bullet 10^{21} + 2,78 \bullet 10^{21} = \pm 8,35 \bullet 10^{21}\ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$
$$\frac{n}{n} \bullet 100\% = \frac{8,35 \bullet 10^{21}}{5,43 \bullet 10^{24}} \bullet 100\% = 0,15\%$$
Tabela 4
| a | Δa | γ |
γ |
$$\frac{\gamma}{\gamma}$$ |
n | Δn | $$\frac{n}{n}$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$ | $\left\lbrack \frac{V}{A \bullet T} \right\rbrack$ | % |
$\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$ | $\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$ | % | ||
| 28,8·10-3 | ±0,078·10-3 | 57,6 | ±5,916 | 10,27 | 5,43·1024 | ±8,35·1021 | 0,15 |