[21] Ruch obrotowy ciała sztywnego

Obecnie bardziej szczegółowo rozważymy przypadek przedstawiony na rys. 3. Niech ciało sztywne w kształcie walca będzie podparte w łożyskach ślizgowych podporowym i poprzecznym poprzez dwa współosiowe walcowe czopy. Oś 0z przyjętego układu współrzędnych pokrywa się z osią obrotu ciała. Punkty należące do tego ciała zataczają okręgi współśrodkowe leżące w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu, a promienie tych okręgów wyznaczają odległości od osi obrotu. Ciało to posiada jeden stopień swobody i jego ruch opiszemy za pomocą tylko jednego parametru. W celu jego określenia obierzemy nieruchomą płaszczyznę Γ₀ pokrywającą się z płaszczyzną 0xz. Następnie obierzemy dowolny punkt należący do płaszczyzny T i określony poprzez kąt ϕ (patrz rys. 6), zwany dalej kątem obrotu ciała.

Rys. 6. Ruch obrotowy punktu D

Patrząc na kierunek strzałki osi 0z (od wartości dodatnich do ujemnych) kąt skierowany ϕ będzie dodatnim, jeśli ruch punktu będzie odbywał się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. W ogólnym przypadku kąt ten ulega zmianom w czasie ϕ = ϕ(t) i wyrażony jest w mierze łukowej, tj. w radianach. Wybierzmy dwie chwile czasowe t i t+Δt i niech odpowiadające im wartości kątów wynoszą odpowiednio ϕ(t) i ϕ₁(t+Δt). Średnią prędkością kątową ciała nazywać będziemy stosunek przyrostu kąta obrotu do przyrostu czasu, czyli

. (13)

Jeśli
, to
, i ze wzoru (13) otrzymujemy

. (14)

Prędkość kątowa ciała obracającego się wokół nieruchomej osi obrotu określona jest poprzez pochodną względem czasu kąta obrotu tego ciała.

Jednostką prędkości kątowej jest 1 rad/s. W ogólnym przypadku prędkość kątowa zależy od czasu, tj. ω = ω(t). Jeśli ω>0 (ω<0), to kąt obrotu
ze wzrostem czasu wzrasta (maleje).

W analogiczny sposób wprowadzamy pojęcie średniego przyspieszenia kątowego. Wybierzmy dwie chwile czasowe t i t+Δt i niech odpowiadające im wartości prędkości kątowej wynoszą odpowiednio ω(t) i ω₁(t+Δt). Średnim przyspieszeniem kątowym ciała nazywać będziemy stosunek przyrostu prędkości kątowej obrotu do przyrostu czasu, w jakim się on dokonał, czyli

. (15)Jeśli
, to
, i ze wzoru (15) otrzymujemy

. (16)

Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół nieruchomej osi obrotu określona jest poprzez pochodną względem czasu jego prędkości kątowej, lub poprzez drugą pochodną względem czasu kąta obrotu tego ciała.

Do szczególnych przypadków ruchu obrotowego ciała sztywnego należą ruch obrotowy jednostajny i jednostajnie przyspieszony (opóźniony). W pierwszym przypadku ze wzoru (14) otrzymujemy
, (17)

---