Macierze

podobne -ten sam wymiar np., A_3x4,B_3x4

równe -podobne mające odpowiednie elem na odpow miejscach równe

równość macierzy - relacja zwrotna , symetryczna, przechodnia

Minor macierzy A - wyznacznik z macierzy kwadratowej, która powstała z macierzy prostokątnej

┌ a11 a12 a13 a14 ┐ │a11 a12 a13 │

A_3x4 = │ a21 a22 a23 a24 │ np: det A_3x3 = │a21 a22 a23 │

└ a31 a32 a33 a34 ┘ │a31 a32 a33 │

Rząd macierzy - r(A)

Macierz A_nxn jest rzędu r jeżeli istnieje minor stopnia r≠Ø a wszystkie minory stopnia r+1 = Ø lub nie istnieją .

Wyznaczniki

n=1 A_1x1=[-3] => det A[-3] = │-3│ = -3

n=2 ┌a11 a12┐ │a11 a12│

det A └a21 a22┘ =│a21 a22│= a11a22−a12a21

n=3

Metoda Sarus'a
│ | a11a12a13│ │ | a11 a12 a13│a11 a12
detA=│a21a22a23│= │a21 a22 a23│a21 a22 = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12
│a31a32a33│ │a31 a32 a33│a31 a32

Metoda Laplace'a
rozwinięcie Laplace'a według wiersza lub kolumny:
_n
det A = Σ a_ij • (−1)^i+j W_n-1 gdzie (−1)^i+j W_n-1 - dopełnienie algebraiczne a_ij elementu
¹⁼¹
│ | a11a12 a13│ K2 │a21 a23│ │a11a13│ │a11 a13│
detA=│a21a22 a23│ = a12•(−1)¹⁺² │a31 a33│ +a22•(−1)²⁺² │a31a33│ +a32 • (−1)³⁺² │a21 a23│
│a31a32 a33│

Własności wyznaczników

1. Jeżeli przestawimy wiersze w miejsce kolumn W1-K1 ,W2-K2 to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie

2. Jeżeli przestawimy 2 wiersze lub 2 kolumny to wartość wyznacznika zmieni znak na przeciwny

3. Jeżeli wszystkie elem dowolnego W lub K pomnożymy przez tą samą liczbę k to wartość wyznacz zostanie pomnożona przez k.

4. Jeżeli w wyznaczniku dowolny W lub K będzie składała się z samych 0 to wartość wyznacznika = Ø

5. Jeżeli w wyznaczniku W lub K będzie proporcjonalna do innego W lub K to wartość wyznacznika = Ø

6. Jeżeli do elementów dowolnego W (K) wyznacznika + (−) elementy innego W (K) pomnożoną przez dowolną liczbę k to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie .

Działania na macierzach

Jeżeli A=B i B=C ⇒ A =C (można dodawać tylko macierze podobne C_ij = A_ij ± B_ij)

Przemiennośc dodawania A+B=B+A

Łączność dodawania (A+B)+C = A+(B+C)

Element neutralny nie ma wpływu na wynik A + Ø =A

C_{m x k} = A_{m x n} • B_{n x k}

┌ a11 a12 ┐ ┌ b11 b12 ┐ ┌ (a11•b11+a12•b21) c12 ┐

└ a21 a22 ┘ • └ b21 b22 ┘ = └ c21 c22 ┘

Własności mnożenia

1. Mnożenie macierzy nie jest przemienne A• B ≠ B • A a może być niewykonalne np B_{2 x 2} • A_{3 x 2}

2. Łączność macierzy zachodzi gdy jest wykonalne
   ( A• B ) • C = A • ( B • C )

3. Mnożenie macierzy jest rozdzielne względ dodawa (odejmo)
   ( A ± B ) • C = A • C ± B • C
   C • ( A ± B ) = C • A ± C • B

4. Niezmiennikiem mnożenia macierzy jest macierz jednostkowa

5. Iloczyn dwóch macierzy z których jedna jest macierzą Ø = Ø
   A • Ø = Ø Ø • A = Ø

Twierdzenie Cauche'go: det( A • B ) = det A • det B

Typy macierzy

1. Osobliwa - macierz kwadratowa z której wyznacznik = Ø
   det A = 0 │¯ 1 2¯│
   │_ 2 4_│

2. Nieosobliwa - macierz kwadratowa z której wyznacznik ≠ Ø

det A = -1 │¯ 1 2¯│
│_ 2 3_│

3. Symetryczna- której elementy spełniają zależność a _{i j} = a _{j i {} (elem wzdłuż głównej przekątnej są takie same) │¯ 0 2 3¯│
   │ 2 0 -4 │
   │_ 3 -4 0_│

4. Skośnie symetryczna : a _{i j} = − a _{j i} (elem wzdłuż głównej przekątnej różnią się co do znaku)
   │¯ 0 2 3¯│
   │ -2 0 -4 │
   │_-3 4 0_│

5. Diagonalna - na głównej przekątnej są dowolne elementy, pozostałe są 0

│¯ 1 0 0¯│
│ 0 2 0 │
│_ 0 0 6_│

6. Skalarna - na głównej przekątnej są takie same elementy, pozostałe są 0

│¯ 1 0 0¯│
│ 0 2 0 │
│_ 0 0 6_│

7. Jednostkowa " I " - na głównej przekątnej są 1 , pozostałe są 0. (I•A=A, A•I=A, det I = 1)

│¯ 1 0 0¯│
│ 0 1 0 │
│_ 0 0 1_│

8. Transponowana (przestawiona) przestawiamy wiersze i kolumny z zachowaniem kolejności
   │¯ 1 4¯│
   A_2x3 = │¯1 2 3 ¯│ ⇒ A^T_3x2 = │ 2 5 │
   │_4 5 6 _│ │_ 3 6_│
   Jeżeli: A symetryczna to A = A^T
   A skośnie symetryczna to A = − A^T
   A kwadratowa to det A = det A^T
   ( A^T )^T =A

9. 
   
   Dopełnień algebraicznych A^K
   ┌ | a11 a12 a13┐ ┌ | A11 -A12 A13┐ gdzie A_{n x n} = (− 1)ⁿ⁺ⁿ • W _n-1 │ a22 a23 │
   A=│a21 a22 a23│ ⇒ A^K = │-A21 A22 -A23│ np. A11 =│ a32 a33 │ itd
   └a31 a32 a33┘ └ A31 -A32 A33┘
   
   │¯ 1 2 ¯│ │¯ 3 -1 ¯│
   np.: A = │_ 1 3 _│ A^K = │_ -2 1 _│
   

10. Dołączona - transponowana macierz dopełnień algebraicznych lub macierz dopełnień algebraicznych z macierzy transponowanej: A^D= (A^T )^K = (A^K )^T
    
    │¯ 1 2 ¯│ │¯ 3 -2 ¯│
    np.: A = │_ 1 3 _│ A^D = │_ -1 1 _│
    

11. Odwrotna z macierzy kwadratowej A^-1 (macierz A nie może być osobliwa !!! - det A≠0)
    A^-1 = A^D / det A = (1 / det A ) • A^D lub metodą przekształceń [ A|I ] ~ [ I|A^-1 ]
    
    │¯ 1 2 ¯│ │¯ 3 -2 ¯│
    np.: A = │_ 1 3 _│ det A = 1 A^D = │_ -1 1 _│
    

12. Ortogonalna A*. Macierz kwadratową nazywamy ortogonalną jeżeli A^-1=A^T
    ┌ cosα -sinα ┐ ┌ cosα sinα ┐ ┌ cosα sinα ┐
    np.: A = └ sinα cosα ┘ A^T = └ -sinα cosα ┘ det A = 1 i A^-1 = └ -sinα cosα ┘
    dla macierzy ortogonalnej zachodzą równania:
    A•A^T = A•A^-1 = I
    det A• detA^T = det I = 1 (tw. Cauche'go)
    det A^T = det A
    (det A)² = 1 ⇒ det A= 1 lub det A = −1
    Własności macierzy ortogonalnej:

1. Suma kwadratów wszystkich elemen dowolnego W(K)=1

2. Suma iloczynów wszystkich odpowiednich elementów 2 różnych W oraz 2 różnych K = 0
   a_i1*a_j1 + a_i2*a_j2 + … + a_in*a_jn = 0
   a_1i*a_1j + a_2i*a_2j + … + a_ni*a_nj = 0

Równanie charakterystyczne macierzy

Dla każdej macierzy kwadratowej możemy od każdego elementu na głównej przekątnej odjąć zmienną λ. Wyznacznik z tak powstałej macierzy porównujemy do 0 i powstałe w ten sposób równanie nazywamy równaniem charakterystycznym (wiekowym) macierzy. Pierwiastki otrzymane z tego równania są to wartości własne tej macierzy.

Twierdzenie Cayley-Hamiltona

Dowolna macierz kwadratowa jest pierwiastkiem własnym swojego równania charakterystycznego.

det ( A − λ I ) = 0

│¯ 1 3 ¯│ │¯ 1-λ 3 ¯│
np.: A = │_ 1 2 _│ det(A-λI) = │_ 1 2-λ _│ = 0 λ² - 3λ -1 = 0

│¯1 3¯│² │¯1 3¯│ │¯1 0¯│ │¯1 3¯│ │¯4 9¯│ │¯-3 -9¯│ │¯1 0¯│ │¯0 0¯│
L = │_1 2_│ - 3*│_1 2_│ - │_0 1_│ = │_1 2_│ = │_3 7_│ + │_-3 -6_│ - │_0 1_│ = │_0 0_│ = P

Rozwiązywanie układów równań liniowych

1. Metoda wyznacznikowa
   a11x₁ + a12x₂ = b1 W = ┌ a11 a12 ┐ W_x1 = ┌ b1 a12 ┐ x₁ =W_x1 / W
   a21x₁ + a22x₂ = b2 └ a21 a22 ┘ └ b2 a22 ┘
   W=0 i W_x1=W_x2=W_x3=0 ukł. nieoznaczony ∞ nieskończenie wiele rozwiązań
   W=0 i W_xn ≠0 ukł. sprzeczny nie ma rozwiązań
   W≠0 ukł. oznaczony jedno rozwiązanie n-elementowe:x₁,x₂,x₃
   Ukł. Kramerowski - posiada jedno rozwiązanie (oznaczony)

Ukł. Jednorodny - wolne wyrazy są równe 0

2. Równanie macierzowe
   A • X = B ┌ a11 a12 ┐ • ┌ x1 ┐ = ┌ b1 ┐
   A^-1 • A • X = A^-1 • B └ a21 a22 ┘ └ x2 ┘ └ b2 ┘
   A^-1• A = I - niezmiennik mnożenia macierzy
   I • X = A^-1 • B
   X = A^-1 • B

3. Eliminacja Gaussa -przekształcamy tak, aby na gł. przekątnej po lewej otrzymać macierz jednostkową
   ┌ a11 a12 | b1 ┐ ~ ┌1 0 | x1 ┐ ⇒ ukł oznaczony
   └ a21 a22 | b2 ┘ └0 1 | x2 ┘
   Jeżeli podczas przekształceń okaże się, że jakiś cały wiersz składa się z 0
   ┌ a11 a12 | b1 ┐ ~ ┌ . . | . ┐ ⇒ ukł nieoznaczony
   └ a21 a22 | b2 ┘ └ 0 0 | 0 ┘
   a gdy np.: a21=a22=0 i b2≠0
   ┌ a11 a12 | b1 ┐ ~ ┌ . . | . ┐ ⇒ ukł oznaczony
   └ a21 a22 | b2 ┘ └ 0 0 | . ┘
   

Twierdzenie Kroneckera-Kapeliego

Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązywalności dowolnego układu m-równań o n-niewiadomych, gdzie m≠n jest równość rzędu macierzy r(A) = r(U) = r gdzie:
┌ a11 . a1n ┐ ┌ a11 . a12 b1 ┐

A = │ . . . │ U = │ . . . . │

└ am1 . a2n ┘ U = └ am1 . a2n bn ┘

Jeżeli n = r ⇒ ukł oznaczony

Jeżeli n > r ⇒ ukł nieoznaczony - ∞ wiele rozwiązań zależnych od (n-r) parametrów

Jeżeli r(U) > r(A) ⇒ ukł sprzeczny , nie posiada rozwiązań

Liczby zespolone

Liczba zespolona - uporządkowana para liczb, w której wyróżniamy poprzednik a i następnik b .

Zbiór liczb zespolonych jest to zbiór uporządkowanych par w której jest określona relacja tożsamości, sumowania i mnożenia.

Równość: (zwrotna, symetryczna i przechodnia)

( a ,b ) =( c ,d ) ⇒ a=c i b=d dwie pary są równe

Przechodniość:

(a ,b) = ( c ,d ) ∧ ( c ,d ) = (e ,f ) ⇒ ( a , b ) =(e ,f)

Suma: (przemienna i łączna)

(a,b)+(c,d)=(a+c , b+d)

Iloczyn: (przemienna i łączna)

(a,b) • (c,d)= ( ac − bd , ad + bc )

(a, Ø)= a

(a, Ø) + (c, Ø)= (a+c ,Ø)

(a, Ø) • (c, Ø)= (a c ,Ø )

(Ø, 1) • (Ø, 1)= (−1 ,Ø )= −1 ⇒ (Ø, 1)²= −1

i²= −1 ⇒ i=√ −1

Postaci liczb zespolonych:

1. Postać Kartezjańska:
   z = x + jy

2. Postać trygonometryczna:
   z = │z│ (cos α + i sin α )

3. 
   Postać wykładnicza: (wzory Euler'a)
   cos α + i sin α = e^ia (e^ia + e ^-ia ) (e^ia + e ^-ia )
   cos α = ——————————— sin α = ———————————
   cos α − i sin α = e^-ia 2 j2
   
   z = │z│ * e^ia = │z│ (cos α + i sin α )
   
   

Interpretacja geometryczna Im

Liczba zespolona jako wektor wirujący.

b (a,b)

z = a+ jb │z│ = √a² + b² 

a │z│

cos α = ——— ⇒ a = │z│ cos α

│z│ b α Re

b tg α = —— a

sin α = ——— ⇒ b = │z│ sin α a

│z│

Algebra liczb zespolonych

• Suma/różnica:
  Z₁ ± Z₂ = (x₁ ± x₂) + j(y₁ ± y₂)

• Iloczyn:
  Z₁ * Z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + j(x₂y₁ + x₁y₂)

• Iloraz:
  z - liczba sprzężona do liczby zespolonej: z = x − jy
  
  Z₁ Z₁ * z₂ x₁x₂ + y₁y₂ x₂y₁ - x₁y₂
  - = —————— = . . . = —————————— + j——————————
  Z₂ Z₂ * z₂ x₂² + y₂² x₂² + y₂²

wzory Moirre'a :

• Potęgowanie:
  zⁿ = │z│ⁿ (cos α + i sin α )

• Pierwiastkowanie:
  (α + 2kπ) (α + 2kπ)
  ⁿ√ z = ⁿ√ │z│  • ( cos ———————— + jsin ———————— ) dla k= 0,1,2 ... (n-1)
  n n
  

---