1. Proszę zapisać definicję identyczności leibiziańskiej w WRP II rzędu

Definicja: x = y ≡ ∀A [A(x) ≡ A(y)]

Formuła powyższa wyraża sens leibniziańskiej identyczności, zgodnie z którym x = y wtw każda własność przedmiotu x jest własnością przedmiotu y i odwrotnie.

Korzystając z materiałów z wykładu, proszę zapoznać się z różnicą pomiędzy rachunkiem WRP I rzędu, a rzędów wyższych (w rachunku wyższych rzędów chodzi o wprowadzenie nowego rodzaju zmiennych oraz reguły pozwalającej na kwantyfikowanie tych zmiennych. W powyższej definicji np., kwantyfikatory wiążą predykaty).

2. Kiedy dwa zbiory mają równe zakresy? Proszę zapisać definicję w WRP II rzędu

Definicja: ∀x [A(x) ≡ B(x)] → A = B

3. Proszę podać definicję konsekwencji

4. Co to jest system aksjomatyczny?

5. Co to jest teza?

6. Proszę podać definicję niesprzeczności systemu w sensie klasycznym oraz E. Posta

7. Proszę podać definicję zupełności systemu w sensie klasycznym oraz E. Posta

8. Proszę podać definicję pełności systemu

9. Proszę podać określenie rozstrzygalności systemu

10. Proszę podać definicję niezależności zbioru wyrażeń w systemie

11. Proszę scharakteryzować syntaktycznie system aksjomatyczny KRZ J. Łukaszewicza

System KRZ Jana Łukasiewicza:

Jezyk:

Alfabet:

a) zmienne zdaniowe: p, q, r, s, p₁, …

b) stale logiczne/ funktory prawdziwościowe: ∼, →

c) nawiasy

Reguły składni:

• określenie poprawnie zbudowanego wyrażenia systemu KRZ (obowiązuje reguła składania znaków dla funktora „∼” oraz „→” poznana wcześniej. Nie zapominamy, że litera zdaniowa jest poprawnie zbudowanym wyrażeniem KRZ).

Aksjomaty:

A1. (p → q) → [(q → r) → (p → r)]

A2. (∼p → p) → p

A3. p → (∼p → q)

Reguly inferencji:

1. podstawiania - /

2. odrywania

3. zastepowania - //

ad1. Jeżeli A jest twierdzeniem KRZ, a wyrażenie A' powstaje z wyrażenia A przez prawidłowe podstawienie dowolnych wyrażeń KRZ za litery zdaniowe, to A' również jest twierdzeniem KRZ

ad2. RO,

ad3. terminami pierwotnymi w systemie Łukaszewicza są negacja i implikacja, pozostałe funktory można tu wprowadzić na podstawie poniższych definicji:

Definicje:

Φ ∨ Ψ = def. ∼ Φ → Ψ

Φ ∧ Ψ = def. ∼ (Φ → ∼ Ψ)

Φ ≡ Ψ = def. Φ → Ψ ∧ Ψ → Φ.

Powyższe definicje są regułami zastępowania pozwalającymi na zastępowanie w tezach systemu pewnych wyrażeń zbudowanych za pomocą terminów pierwotnych przez wyrażenia zawierające terminy zdefiniowane.

Przykład:

1. (p → q) → [(q → r) → (p → r)] A1

2. [p → (∼p → q)] → {[(∼p → q) → r] → (p → r)} q/(∼p → q)

3. p → (∼p → q) A3

4. [(∼p → q) → r] → (p → r) RO: 2,3

5. [(∼p → p) → p] → (p → p) 4, q/p, r/p

6. (∼p → p) → p A2

7. p → p

12. Proszę podać określenie zbioru w sensie kolektywnym i dystrybutywnym

13. Proszę podać określenie następujących działań na zbiorach:

Definicje:

D1 A ⊂ B ≡ ∀x [x ∈ A → x ∈ B] inkluzja

D2 A = B ≡ ∀x [x ∈ A ≡ x ∈ B] równość zakresowa zbiorów

D3 x ∈ A ∩ B ≡ ∀x [x ∈ A ∧ x ∈ B] iloczyn zbiorów

D4 x ∈ A ∪ B ≡ ∀x [x ∈ A ∨ x ∈ B] suma zbiorów

D5 x ∈ -A ≡ ∀x ∼x ∈ A dopełnienie zbiorów

D6 x ∈ A\B = ∀x [x ∈ A ∧ ∼x ∈ B] różnica zbiorów

D7 x ∈ ∅ ≡ x ≠ x (zb. pusty jest to taki zb., do którego nie należy żaden przedmiot)

D8 x ∈ V ≡ x = x zbiór uniwersalny

(każda z definicji opatrzona jest nazwą danego działania na zbiorach)

14. Co to jest rodzina zbiorów?

15. Proszę podać definicję iloczynu rodziny zbiorów K

Iloczyn rodziny zbiorów K jest to zbiór wszystkich i tylko tych przedmiotów, które należą do każdego zbioru rodziny K.

16. Proszę podać definicję sumy rodziny zbiorów K

Suma rodziny zbiorów K jest to zbiór wszystkich i tylko tych przedmiotów, które należą do przynajmniej jednego zbioru rodziny K.

17. Co to jest para uporządkowana?

18. Co to jest relacja?

19. Proszę podać określenie dziedziny relacji R

x ∈ D(R) ≡ ∃_y∈Y (xRy)

20. Proszę podać określenie przeciwdziedziny relacji R

y ∈ D'(R) ≡ ∃_x∈X (xRy)

21. Co to jest pole relacji?

22. Proszę podać określenie następujących typów relacji: zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, asymetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna.

Niech dana będzie relacja R ⊂ X × X. Mówimy, że relacja R jest:

1 zwrotna - ∀x ∈ X xRx

2 przeciwzwrona - ∀x ∈ X ∼ (xRx)

3 symetryczną - ∀x,y∈X (Ry → yRx)

4 asymetryczną - ∀x,y∈X (xRy → ∼ (yRx))

5 antysymetryczną - ∀x,y∈X ((xRy ∧ yRx) → x = y)

6 przechodnią - ∀x,y,z∈X ((xRy ∧ yRz) → xRz)

7 spójną - ∀x,y∈X (xRy ∨ yRx)

23. Jaką relację nazywamy relacją równoważnościową?

Relację R ⊂ X × X nazywamy relacją równoważności jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

3

---