42. Ciągi liczb rzeczywistych. Różne sposoby definiowania ciągu. Zbieżność ciągu.

Ciąg jest funkcją postaci f:N->R określoną na zbiorze liczb naturalnych (najczęściej bez zera) lub na podzbiorze tego zbioru.

Ciągi oznaczamy (a_n). Kolejne wartości nazywamy wyrazami ciągu. Przez a₁ oznaczamy wyraz pierwszy ciągu a, n-ty wyraz tego ciągu oznaczymy a_n, natomiast n jest numerem (indeksem) wyrazu w ciągu.

Ciąg może być określony poprzez wymienienie wszystkich lub kilku pierwszych wyrazów, lub przy pomocy wzoru na n-ty wyraz ciągu (także rekurencyjnego).

Wzór:

an=n2+1

Rekurencja:

a1=1

an=2*an-1 +3

Bardzo często ciągi określamy przez wypisanie kilku pierwszych wyrazów - każdy przecież domyśli się, że kolejną liczbą w ciągu: -1, 0, 1, 2, 3, ... jest 4. Na tej podstawie można podać jawny wzór na n-ty wyraz tego ciągu: a_n = n - 1 (pamiętaj, że N={0, 1, 2, 3,...}).

Rozważmy ciąg an. Ciąg ten jest zbieżny to znaczy:

=g lub

jeśli:

<- N należy do liczb naturalnych

g - granica ciągu

Najprostsze przykłady ciągów to:

• ciąg stały (każdy wyraz ciągu jest taki sam)

• ciąg kolejnych liczb naturalnych.

Sumą n-elementową ciągu nazywamy sumę jego pierwszych n wyrazów;

S_n := a₁+a₂+ ... +a_n-1+a_n

Ciąg nieskończony (elementów zbioru X) to dowolna funkcja a: N → X. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu - na przykład a(2) jest drugim wyrazem ciągu. Zamiast pisać a(n) piszemy jednak a_n i wtedy ciąg zapisujemy jako
.

Nieskończony ciąg, którego kolejnymi elementami są sumy początkowych wyrazów innego ciągu nieskończonego, nazywamy (nieskończonym) szeregiem liczbowym.

Ciąg skończony (n-elementowy, długości n) elementów zbioru X to z kolei jakakolwiek funkcja f:{0, 1, ... n} → X.

Można myśleć, że ciąg to kolejka elementów zbioru X.

Ciąg, którego wyrazami są liczby (X=R lub C) nazywamy ciągiem liczbowym.

Rodzaje ciągów:

• Ciąg liczbowy nazywamy arytmetycznym, jeśli każdy jego wyraz można otrzymać z wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez dodanie zawsze tej samej liczby, zwanej różnicą ciągu.

Na przykład, ciąg: 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny (jego różnicą jest 2), natomiast ciąg: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest (3=1+2, lecz 4=3+1).

Aby uniknąć patologii, umawiamy się, że ciąg arytmetyczny musi liczyć co najmniej trzy wyrazy.

Ciąg arytmetyczny nazywamy też postępem arytmetycznym.

Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych.

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (a_n) oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego;

a_k=(a_k+1+a_k-1)/2

Ciąg arytmetyczny jest zawsze ciągiem monotoniczmym - rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia oraz malejącym, gdy jest ona ujemna.

(a_n) - arytmetyczny

r nazywamy różnicą ciągu.

n-ty wyraz tego ciągu określony jest w sposób następujący: a_n = a₁ + (n - 1) · r

W ciągu arytmetycznym, skończonym suma wyrazów jednakowo odległych od początku i końca jest równa sumie wyrazu pierwszego i ostatniego:

a_k + a_n-k+1 = a₁ + (k-1)r + a₁ + (n-k)r = 2a₁ + (k-1+n-k)r = a₁ + a_n

Sumę pierwszych n elementów ciągu arytmetycznego możemy wyrazić: S_n = (a₁+a_n)·n/2.

Dowód:

• Ciąg liczbowy nazywamy geometrycznym, jeśli każdy jego wyraz można otrzymać z wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego przez pomnożenie przez zawsze tę samą liczbę, zwaną ilorazem ciągu.

Na przykład, ciąg:
jest geometyczny (ilorazem jest 3), natomiast ciąg:
nie jest (3=1*3, lecz 6=3*2).

Ciąg geometryczny nazywamy też (już coraz rzadziej) postępem geometrycznym.

Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch skrajnych.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego.

a_k²=a_k-1 · a_k+1

Ciąg geometryczny o ilorazie większym od zera jest zawsze ciągiem monotonicznym; w tym wypadku, jeżeli pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz różny od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną (iloraz > 1) lub maleją (iloraz <1) wykładniczo.

(a_n) - geometryczny

q nazywamy ilorazem ciągu.

n-ty wyraz tego ciągu określony jest w sposób następujący: a_n = a₁ · q^(n-1)

(a_n) - geometryczny i skończony
suma jego wyrazów dana jest wzorem
dla
. Gdy q=1 to ciąg jest stały a S_n = n · a₁

• Ciąg Cauchy'ego to ciąg x(n) elementów przestrzeni metrycznej X spełniający następujący warunek Cauchy'ego:

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej ε istnieje liczba naturalna N taka, że dla dla każdych liczb naturalnych m>N, n>N d(x(n),x(m))<ε, gdzie przez d oznaczamy metrykę w przestrzeni X.

Intuicyjnie, ciąg Cauchy'ego to ciąg, którego wyrazy są sobie coraz bliższe (czyli ich odległość maleje do zera). Własność tę mają na przykład wszystkie ciągi zbieżne do jakiejś granicy. Przestrzenie, w których zachodzi także odwrotne wynikanie — to znaczy w których każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę — nazywamy zupełnymi. Taką przestrzenią jest na przykład zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Nie jest nią za to przedział otwarty (0,1) z metryką euklidesową, ponieważ każdy ciąg zbieżny do 1 w zbiorze liczb rzeczywistych jest w tej przestrzeni ciągiem Cauchy'ego, lecz nie ma granicy w przedziale (0,1). Ciąg który ma granicę jest ciągiem zbieżnym.

• Ciągiem rekurencyjnym nazywamy ciąg określony w ten sposób, że podano pierwszy wyraz tego ciągu (albo kilka pierwszych wyrazów) oraz regułę pozwalającą obliczać dalsze wyrazy za pomocą wyrazów wcześniejszych.

• Ciąg ograniczony to ciąg, którego wszystkie wyrazy należą do pewnego przedziału skończonego.

Ciąg nazwiemy ograniczonym z góry jeżeli wszystkie jego wyrazy są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: ciąg jest ograniczony z dołu jeżeli wszystkie wyrazy są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, ciąg jest ograniczony tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. W przestrzeni metrycznej nazywamy tak ciąg, którego wszystkie wyrazy należą do pewnej kuli.

Przykłady:

• Ciąg: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... jest ograniczony, bo wszystkie jego wyrazy należą do przedziału [0, 1].

• Ciąg 1, 2, 3, 4,... , choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (bo nie jest ograniczony z góry).

• Ciąg -1, -3, -5, -7, ... nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczony z góry.

• Ciąg liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem rosnącym (ściśle rosnącym), gdy każdy jego wyraz jest nie większy (mniejszy) od wyrazu po nim następującego. Bardziej formalnie, ciąg (an) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n naturalnego an<=an+1. Jeżeli dany ciąg spełnia powyższy warunek z nierównością ostrą <, to nazywamy go ściśle rosnącym. Intuicyjnie, wyrazy ciągu rosnącego ciągle się zwiększają.

• Analogicznie, ciąg liczb rzeczywisty nazywamy ciągiem malejącym (ściśle malejącym), gdy każdy jego wyraz jest nie mniejszy (większy) od wyrazu po nim następującego. Czyli ciąg (an) jest malejący, jeśli dla dowolnego n naturalnego an>=an+1. Jeżeli dany ciąg spełnia powyższy warunek z nierównością ostrą <, to nazywamy go ściśle malejącym. Intuicyjnie, wyrazy ciągu malejącego ciągle maleją.

Jest jasne, że jeżeli ciąg (an) jest rosnący, to ciąg (-an) jest malejący i na odwrót.

• Ciąg (an) nazywamy monotonicznym, gdy jest rosnący lub malejący. Klasę ciągów monotonicznych wyodrębnia się ze względu na łatwość formułowania wielu twierdzeń.

Przykłady

• ciąg 1, 2, 3, 4, 5, ... jest rosnący

• ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... jest malejący

• ciąg 0, 0, 0, 0, 0, ... jako stały jest jednocześnie malejący i rosnący

• ciąg 2, 3, 2, 3, 2, 3, ... nie jest monotoniczny.

---