Co może się przydać do rozwiązywania zadań.
ŚREDNIA
Przykład:
Średnia arytmetyczna
W pokoju znajduje się 10 osób, dwie z nich mają 11 lat, trzy z nich 21, jedna ma 40 lat, dwie 32 lata, jedna ma 16 lat i ostatnia ma 69 ;D . Oblicz jaki jest średni wiek osób znajdujących się w pokoju .
11∙2+3∙21+40+2∙32+16+69
______________________________________= 27 lat to jest szereg prosty
10
Jeżeli mamy do czynienia z szeregiem rozdzielnym jednostopniowy który kształtuje się tak:
Mając podaną liczbę dziadków w rodzinach danych osób, oblicz jaka jest średnia dziadków w rodzinach.
Xi -ilość osób posiadających daną liczbę dziadków ni - liczba dziadków.
Xi |
ni |
Xi ∙ ni |
0 1 2 3 4 |
9 2 5 2 2
|
0 2 10 6 8 |
Obliczamy Xi ∙ni a następnie wykonujemy działanie
0 + 2 + 10 + 6 + 8 26
________________________________ =______= 1,3
20 20
N |20 | 26
Średnia arytmetyczna ważona
Jasio dostał dwie dwójki wagi 1, trzy trójki wagi 5, dwie piątki wagi 2, oblicz jaka jest średnia ocen Jasia
Ocena |
waga |
O∙w |
2 2 3 3 3 5 5 |
1 1 5 5 5 2 2 |
2 2 15 15 15 10 10 |
Średnią ważoną oblicza się metodą:
___ ∑ ocena ∙ waga 2+2+15+15+15+10+10
X =----------------------- = ----------------------------------- =
∑ waga 21
69
= ------------- = 3,28
21
N | 21 | 69
Szereg rozdzielczy wielostopniowy
Stosujemy go wtedy kiedy mamy do czynienia z takim zadaniem :
Mamy 50 osób. 6 z nich jest w wieku między 16 a 18 lat, 4 z nich między 18 a 20 lat, 20 z nich między 20 a 22, 10 z nich między 22 - 24 , 2 z nich między 24-26, 8 z nich między 26-28.
xi |
16-18 |
18-20 |
20-22 |
22-24 |
24-26 |
26-28 |
ni |
6 |
4 |
20 |
10 |
2 |
8 |
Xi - przedziały wiekowe
Ni - ilość osób w danym przedziale
No i zaczynamy sobie liczyć tak:
Obliczamy średnią arytmetyczną ( x'i) z najwyższej i najniższej wartości szeregu. Czyli np. (16+18)÷2=17
Później sumujemy wszystkie ni (wariant i , gdzie i należy do liczb naturalnych) by wyszło nam N(liczba wariantów). W tym przypadku N=50
Obliczamy średnią szeregu rozdzielczego wielostopniowego:
___ ∑ x'i ∙ ni 17∙6+19∙4+…+27∙8 1094
X =----------------------- = ----------------------------------- = ------------- = 21,88
∑ni 50 50
By obliczyć średnią arytmetyczną w przedziale rozdzielnym warunkiem muszą być równe przedziały klasowe. Czyli tak jak w przykładzie powyżej w przedziałach znajduje się ta sama liczba elementów.
Jak obliczyć odchylenia.
W szeregu prostym - pierwiastek kwadratowy z ( xi - średnia)2÷N
W szeregu rozdzielczym jednostopniowym - pierwiastek kwadratowy z (xi- średnia) 2∙ni ÷N
W szeregu rozdzielczym wielostopniowym - Pierwiastek kwadratowy z (x'i - średnia) 2∙ni ÷N
KWARTYLE
Kiedy w zadaniu trafisz na coś takiego jak kwartyl np.
Następujące dane są liczbami pasażerów korzystających z rejsów jakiś tam w określonym czasie i masz teraz ciąg liczb….. i pisze że znajdz dolny środkowy i górny kwartyl dla tego zbioru danych. I jaki jest odstęp między kwartylowy .
No to bierzesz i patrzysz co znajduje się w pierwszym (dolnym ) kwartylu - mamy np. szereg składający się z 40 liczb. 1 kwartyl to jest kwartyl dolny (25%) czyli dzielimy 40/ 25% ( ¼) = 10 i sprawdzamy jaka wartość jest na 10 pozycji, kolejny to jest kwartyl średni ( 50%) i patrzymy co jest na 20 pozycji, następny to górny (75%) metoda sprawdzania ta sama( jeżeli pozycja kwartyla wyjdzie Ci np. 10,5 to bierzesz średnią z pozycji 10 i 11 ).
Odstęp między kwartylowy to coś takiego, że bierzesz wartość trzeciego kwartyla i odejmujesz wartość pierwszego kwartyla i wychodzi Ci odstęp.
Dominanta - jest to wartość zbioru która występuje najczęściej.
Mediana - wartość która występuje na środku zbioru.
Rozstępem w zbiorze wyników nazywamy różnicę między największą i najmniejszą zaobserwowaną wartością.
Wariacją w zbiorze wyników obserwacji nazywamy przeciętne kwadratowe odchylenie poszczególnych wyników od ich średniej, czyli na chłopski rozum robisz to za pomocą wzoru :
n
∑ (xi - średnia ) 2
i=1
________________ = wariacja w próbie ( s2) w populacji masz tak samo
n - 1
Odchyleniem standardowym nazywamy dodatni pierwiastek kwadratowy wariacji
S=√s2
Średnia geometryczna prosta jest n-tym pierwiastkiem z iloczynu wszystkich wartości z szeregu czyli
_ ____________
X g= n√x1∙ x2∙ x3∙ …∙ xn∙
Zaś jeśli jest ważona to wtedy stosujemy taki wzór
_ ____________
X g= n√x1n1∙ x2n2∙ x3n3∙ …∙ xnnn
Jeśli napiszą Ci że średnią chronologiczną masz policzyć to jedziesz ze wzoru
_ ½ x1+ x2+ x3+…+ ½ xn Gdzie:
X ch=--------------------------------- x1, x2,… - stan na dany moment
N-1 N - liczba obserwacji w szeregu
Obszar zmienności - czyli rozstęp to nic innego jak xmax - xmin
Współczynnik zmienności to stosunek odchylenia standardowego (lub przeciętnego) do średniej arytmetycznej podawany w % jeżeli jest Vx≤35% =mała dyspersja
35%<Vx≤60% - dyspersja umiarkowana
60%<Vx≤75% = dyspersja duża
75%<Vx≤100% = dyspersja bardzo duża.