STALOWA WOLA 2004-06-08

„SPOSOBY OBLICZANIA RZĘDU MACIERZY”

PRZEDSIĘBIORCZOŚĆ I ZARZĄDZANIE

Niech
będzie macierzą postaci (3). Każda kolumna macierzy
jest wektorem przestrzeni m-wymiarowej
. Maksymalną liczbę linowo niezależnych kolumn macierzy
nazywamy jej rzędem i oznaczmy symbolem R (
). Rząd macierzy jest wiec równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej rozpiętej na kolumnach tej macierzy. Z definicji rzędu macierzy wynika, że jeżeli wszystkie elementy macierzy
są równe zeru, to R (
)=0. Można udowodnić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy tej macierzy. Jeśli macierz
nie jest zerową, to jej rząd R (
) jest liczbą naturalną, nie większą od min (m, n), czyli R (
) <=min (m, n).

Podstawą metody szukania rzędu macierzy może być fakt, że rząd macierzy nie ulega zmianie, gdy dokonamy na tej macierzy dowolnej operacji elementarnej. Znaczy to, że macierze równoważne mają ten sam rząd.

Przykład 1

Znaleźć rząd macierzy wyszukując liczbę kolumn (wierszy ) liniowo niezależnych.

R

Do elementów trzeciego wiersza dodajemy odpowiednie elementy wiersza drugiego pomnożone przez -2

Do pierwszej i trzeciej i czwartej kolumny dodajemy drugą, pomnożoną odpowiednio przez -2 -2-1

Kolumna druga jest liniowo niezależna od pozostałych, podobnie jest z drugim wierszem

Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz

Do pierwszej i drugiej kolumny dodajemy pierwszą pomnożoną odpowiednio przez -1 -2

Druga kolumna jest liniowo niezależna od pozostałych. Podobnie jest z pierwszym wierszem

Przykład 2

Za pomocą przekształceń elementarnych obliczyć rząd macierzy

Odejmujemy od elementów pierwszej kolumny odpowiednie elementy piątej kolumny pomnożone przez dwa.

Odejmujemy od elementów drugiej kolumny odpowiednie elementy piątej kolumny

Odejmujemy od elementów trzeciego wiersza odpowiednie elementy drugiego wiersza

Odejmujemy od elementów pierwszego wiersza odpowiednie elementy trzeciego wiersza pomnożone przez dwa

Od elementów drugiego wiersza odpowiednie elementy trzeciego wiersza otrzymujemy

Postać kanoniczną macierzy
. Macierz
w postaci kanonicznej zawiera podmacierz jednostkową stopnia trzeciego. Zatem rząd macierzy
równy jest 3.

Wyznaczanie rzędu macierzy za pomocą wyznaczników.

Niech
oznacza różny od zera minor stopnia r macierzy A wymiaru
gdzie r<=min (m,n)

Jeżeli każdy minor macierzy A stopnia wyższego ok. r jest równy zeru to rząd macierzy A jest równy r.

Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni tych jej minorów, które są różne od zera

Rząd macierzy jednowierszowej (jednokolumnowej), o co najmniej jednym elemencie różnym od zera, jest równy 1

Rząd macierzy jest równy zero jedynie wtedy, gdy macierz ta jest zerowa

Rząd macierzy A jest więc liczbą całkowitą taką że

Jeśli min (m,n)=m to rząd macierzy A jest równy m gdy co najmniej jedena podmacierz stopnia m macierzy A jest nieosobliwa. Jeżeli natomiast wszystkie podmacierze stopnia m macierzy A są osobliwe, to R(A)<m

Wszystkich podmacierzy stopnia m macierzy A ma

Przykład 3

Wyznacz rząd macierzy

Ponieważ macierz A jest wymiaru 2x4 czyli min (2,4)=2 wiec liczba R(A) może być co najwyżej równa 2. Jednak wszystkie podmacierze stopnia drugiego macierzy A

są osobliwe (wiersze są liniowo zależne) wiec R(A)<2

rząd R(A)=1 gdyż istnieje nieosobliwa podmacierz stopnia pierwszego np. macierz [3]

ponieważ każda macierz A wymiaru jest
jest układem n wektorów przestrzeni
(lub układem m wektorów przestrzeni
) wiec rząd macierzy A informuje o ich liniowej zależności (niezależności). Jeśli min (m,n)=n to kolumny macierzy A są układem wektorów liniowo niezależnych (zależnych) gdy R(A)=n(R(A)<n). analogicznie jet z wierszami tzn. jeśli min (m,n)=m oraz R(A)=m(R(A)<m) to wiersze są liniowo niezależne (zależne).