Całka oznaczona funkcji rzeczywistej f po zbiorze A jest to pewna liczba. Gdy zbiór A jest przedziałem [a, b], całkę funkcji f po tym przedziale oznacza się następująco:

Całka Newtona-Leibniza funkcji f na przedziale domkniętym [a;b] jest określona jako F(b) - F(a), gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f określoną na tym przedziale.

Istnienie całki Newtona-Leibniza danej funkcji f jest więc równoznaczne z istnieniem funkcji pierwotnej. Ponieważ każde dwie funkcje pierwotne różnią się o stałą, więc różnica F(b) - F(a) nie zależy od wyboru konkretnej funkcji pierwotnej F.

Funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Newtona-Leibniza, jeśli ma całkę Newtona-Leibniza (czyli jeśli ma funkcję pierwotną).

Dla zastosowań ważny jest fakt, że każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna w sensie Newtona-Leibniza

Własności całki oznaczonej

• Funkcja stała f(x) = c jest całkowalna w każdym ze znaczeń tego słowa; jej całka od a do b jest równa c·(b-a).

• W każdym z podanych niżej związków z istnienia całek po prawej stronie równości wynika istnienie całek (w tym samym sensie) napisanych po lewej stronie:

• całka sumy (różnicy) dwóch funkcji równa jest sumie (różnicy) całek tych funkcji,

• całka iloczynu dowolnej funkcji przez jakąkolwiek stałą równa jest iloczynowi całki tej funkcji przez tę stałą,

• całka funkcji od a do b zsumowana z całką tej funkcji od b do c (gdzie a < b < c) da w wyniku całkę od a do c.

• Jeśli funkcje f i g są całkowalne (w dowolnym sensie) oraz jeśli f(x) ≤ g(x) dla x ∈(a; b), to analogiczna nierówność zachodzi dla całek oznaczonych obu funkcji; wynika stąd w szczególności, że wartość bezwzględna całki z dowolnej funkcji jest niewiększa od całki z wartości bezwzględnej tej funkcji.

---