Funkcja parzysta: ƒ(-x)=ƒ(x) Funkcja nieparzysta: ƒ(-x)=-ƒ(x)

Ciąg liczbowy: funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w  zbiór liczb rzeczywistych f:N→R, oznaczamy go (a_n),gdzie a_n=ƒ(n)

Granica ciągu: liczbą g nazywamy granicę ciągu a_n, jeśli dla dowolnej dodatniej liczby ε (otoczenia) istnieje liczba δ taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od δ różnią się od g mniej niż o ε.
ciąg który ma granicę skończoną - zbieżny, nieskończoną lub żadną -rozbieżny

lim(a_n±b_n)=a±b, lim(a_n·b_n)=ab, lim(a_n/b_n)=a/b, lim =1, 1/∞=0, 1/0⁺=+∞,

Tw Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to jest zbieżny (ma tylko 1 granice)

Tw o 3 ciągach Jak lim a_n=lim c_n=g i dla prawie wszystkich n: a_n≤b_n≤c_n to lim b_n=g.

Tw Jeżeli lim a_n=a i lim b_n=b oraz dla prawie wszystkich n: a_n≤b_n to lim a≤b

Tw. Cauchy'ego zbieżności ciągu ciąg a_n jest zbieżny, gdy dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje δ taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od  δ, różnią się między sobą o mniej niż ε     

Liczba Eulera (e=2,718281…) - granica  a_n=(1+1/n)ⁿ  który jest rosnący i ograniczony (tj. zbieżny). Logarytm o podstawie e to logarytm naturalny ln.

Symbole nieoznaczone: ∞/∞, 0/0, ∞-∞,0∞, ∞⁰,0⁰, 1^∞

Granica funkcji (cuachy'ego)

Ciągłość funkcji: funkcje nazywamy ciągłą w punkcie x₀ gdy limƒ(x)=ƒ(x₀)

Tw. Weierstrassa: jeżeli funkcja ƒ jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> to jest w tym przedziale ograniczona i istnieją w tym przedziale punkty, w których  funkcja przyjmuje wartość największą i najmniejszą.

tw.Darboux: jak funkcja ƒ jest ciągła w przedziale <a,b>, gdzie f(a)≠f(b) i liczba q jest zawarta między liczbami f(a) i f(b) to istnieje chociaż jeden taki punkt  cє<a,b> taki że f(c)=q. Taka funkcja przyjmuje każdą wartość między f(a) i f(b) oraz f(a)·f(b)<0, to istnieje taki punkt cє(a,b),że f(c)=0

Pochodna funkcji ƒ w punkcie x₀ to skończona granica ilorazu różnicowego funkcji ƒ w punkcie x₀, tzn., że jest w tym punkcie różniczkowalna

Geometryczny sens pochodnej pochodna ƒ′(x₀) jest równa tangensowi kąta, jaki tworzy z osia O_X styczna poprowadzona do wykresu funkcji f w punkcie P₀(x₀,f(x₀)). Styczna ta ma równanie y= ƒ′(x₀)(x-x₀)+y₀

tw ROLLE'A jak funkcja ƒ jest ciągła na przedziale domk. <a,b> i różniczkowalna na przedziale otwartym(a,b) oraz f(a)=f(b) to istnieje taki punkt  cє(a,b), że ƒ′(c)=0

tw. Lagrange'a jak funkcja jest ciągła na przedziale domk. <a,b>  i różniczkowalna na przedziale otwartym, to istnieje taki punkt cє(a,b),że f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]

tw. O pochodnej funkcji odwrotnej jak funkcja x=f(y) jest ściśle monotoniczna  i ma pochodną ƒ′(y)≠0 na przedziale Y  to funkcja odwrotna y=f^-1(x) ma na przedziale f(Y) pochodną daną wzorem  (ƒ^-1)′(x)=1/ƒ′(y)

tw. Pochodnej funkcji  złożonej: jeśli funkcja h ma pochodną w punkcie x oraz funkcja g  ma pochodną w punkcie u , gdzie u=h(x) to funkcja złożona  g◦h  ma pochodną w punkcie x₀ dana wzorem (g◦h)′(x)= g′[h(x)]·h′(x)

Tw. O pochodnej funkcji logarytmicznej: pochodną logarytmiczną funkcji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego [lnf(x)]′=f′(x)/f(x)

Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji w przedziale P. Pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej.

Całka oznaczona Riemanna funkcji f w przedziale <a,b> to granica, do której  jest zbieżny ciąg sum całkowych (Sn)

1funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale

2funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale

Macierzą o wyrazach rzeczywistych i wymiarach m na n nazywamy funkcje przyporządkowujące każdej parze (i;j) liczb naturalnych  i=1,2,…,m   j=1,2,…m

Dokładnie jedną liczbę rzeczywistą a_ij  macierz taka zapisujemy w tablicy o wymiarach m  wierszy i n kolumn

Macierz której wszystkie elementy równe są 0 nazywamy zerową i oznaczamy0

Macierz kwadratową, w której wszystkie wyrazy poza główną przekatną są równe jedności  nazywamy macierzą jednostkową

Macierz kwadratową, której wszystkie wyrazy stojące pod (nad)  główną przekątną są równe 0 nazywamy macierzą trójkątną górną (dolną)

Tw. Laplace'a  (rozwinięcie wyznacz. względem dowolnego wiersza lub kolumny)

Układ kramera m.=n liczba równań = liczbie niewiadomych i detA≠0. Rozwiązanie dane wzorami xi=detAi/detA gdzie Ai to macierz powstała przez

Zastąpienie kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Własności wyznaczników

1. detA =det A^T

2. jak każdy element wiersza lub kolumny macierzy jest =0  to jej wyznacznik =0

3. gdy B powstaje z A  przez zamianę miejscami wierszy/kolumn to det A= -detB

4. jak 2 wiersze/kolumny są proporcjonalne to wyznacznik tej macierzy jest równy 0

5. wspólny czynnik wiersza/ kolumny można wyciągnąć przed wyznacznik

6. można do wiersza/ kolumny dodać inny wiersz/kolumne  pomnożoną przez dowolną liczbę nie zmieniając wyznaczniku macierzy

7. jak wszystkie elementy znajdujące się pod przekątną główną są równe 0 to wyznacznik tej macierzy jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej

8. Tw. Cauchey'ego jak m. A,B są tego samego stopnia  to det (AB)=detAdetB

M. osobliwa detA=0, Nieosob. det A ≠0. Iloczyn nieosobliwych jest nieosobliwą.

Macierz odwrotna nazywamy macierz B która spełnia równość AB=BA=In i oznaczamy symbolem A^-1 (A MUSI BYĆ ODWRACALNA TJ NIEOSOBLIWA)

Własności: (A^-1)^-1=A,  (AB)^-1=B^-1A^-1, (A^T)^-1=(A^-1) ^T_,  (ta)^-1=1/t A^-1   t ≠0

Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz A^D =[A _IJ] ^T
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to o macierz odwrotna jest równa macierzy dołączonej do A podzielonej przez wyznacznik A A^-1=1/detA  [A_IJ]^T

Operacje elementarne na macierzach: 1. Przestawianie 2 wierszy/kolumn

2. pomnożenie wiersza/kolumny przez liczbę różną od 0

3. dodanie do wiersza/kolumny innego w/k pomnożonego przez liczbę różną od 0

Rząd macierzy niezerowej A_mxn to liczba równa stopniowi macierzy jednostkowej występującej w postaci bazowej. Równy max liczbie różnych kolumn jednostkowych w postaci bazowej.

Układ równań liniowo -jednorodny jeśli wektor b wyrazów wolnych jest zerowy

Niejednorodny-> wektor b nie jest równy 0

Równanie postaci 0x1+0x2+0x3…=0 nazywamy równaniem tożsamościowym.

Hesjan- macierz utworzona z pochodnych cząstkowych 2 stopnia

λ mnożnik Lagrange'a- parametr

Asymptota ukośna y=mx+k

lim [f(x)/x]=m, lim [f(x)-mx]=k (x→-∞)

---