1. Na odcinku AB o dł l wybrano losowo 2 punkty M i N. Oblicz prawdopodobieństwo, że długości 3 otrzymanych odcinków nie przewyższają danej wielkości : a : <1/3 l , ½ l>

2. Dany układ działa niezależnie z P uszkodzenia (1-p) i P działania p. Sygnał nie dotarł do B. Oblicz P, że zepsuły się 3 kanały

A

B

3. Na wejściu 010. Oblicz P, że na wyjściu 010 bez zakłóceń

0 ^p1 0 ^p2 0

1 1 1

4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej = 0 i wariacji = 1, N(0,1). Wyznacz i naszkicuj rozkład zmiennej losowej Y=e^{-x^2}

5. Zmienna losowa X może przyjmować dowolną wartość całkowitą dodatnią (1,2,3…) z prawdopodobieństwami tworzącymi postęp geometryczny malejący. Wybrać pierwszy wyraz i iloraz postępu q tak, aby wartość oczekiwana zm. losowej X była równa 10

6. Gramy 2n partii z równoważnym przeciwnikiem (p=1/2). Co jest bardziej prawdopodobne : czy wygranie co najmniej n+1 razy, czy nie więcej niż n razy

7. Sprawdzany przyrząd składa się z 5 elementów. Wyniki sprawdzenia poszczególnych elementów są od siebie niezależne. Prawdopodobieństwo, że element o numerze i nie będzie działał jest równe : P=0,2+,01(i-1).

Oblicz wartość oczekiwaną i wariację ilości nie działających elementów

8. Wyznacz dystrybuantę, wartość średnią, wariację i funkcję charakterystyczna zmiennej losowej o gęstości prawdopodobieństwa

e^-x x>=0

P(x) = 0 x<0

9. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y, jeżeli Y=exp(-X)

Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości średniej równej zeru i wariacji równej jeden (N(0,1))

10. Trzecia część jednej z trzech partii wyprodukowanych przedmiotów jest 2 gatunku, a pozostałe są 1 gatunku. Wyjęty z jednej partii przedmiot był 1 gatunku. Oblicz P, że przedmiot wyjęto z partii zawierającej przedmioty 2 gatunku

11. Strzelamy do celu do pierwszego trafienia. P trafienia przy każdym strzale nie zależy od wyników poprzednich strzałów i ma stałą wartość p. Oblicz rozkład P zmiennej losowej określającej liczbę strzałów

a) przy nieograniczonej liczbie naboi

b) przy k nabojach

12. Dwuwymiarowa zmienna losowa dyskretna (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa :

P(X = i , Y = j)=k q^i+j 0<q<1, i, j = 0,1,2…

Wyznacz : a) stałą k b)rozkłady brzegowe X i Y c)wartości średnie FX i EY

13. Wiadomo, że 96% produkcji jest zgodne ze standardem. Uproszczona kontrola przepuszcza produkty dobre z P 0,98 a złe z P 0,05. Jakie jest P, że przepuszczony produkt jest zgodny ze standardem.

14. Dany jest rozkład łączny zmiennej losowej dwuwymiarowej (X,Y)

P(x,y)=0,5sin(x+y) dla 0=<y=<pi/2

Wyznacz dystrybuantę (X,Y)

---