ĆWICZENIE 7

CECHOWANIE GENERATORA RC METODĄ REZONANSU AKUSTYCZNEGO

WSTĘP TEORETYCZNY

Falami sprężystymi lub mechanicznymi nazywamy zaburzenia (odkształcenia) mechaniczne rozprzestrzeniające się w ośrodku sprężystym. Ciała, które oddziałując na ośrodek wywołują te zaburzenia, nazywamy źródłami fal. Na przykład widzowie w teatrze słyszą mowę i śpiew aktorów oraz dźwięki instrumentów muzycznych dzięki dochodzącym do nich drganiom ciśnienia powietrza wywołanym przez te źródła dźwięku.

Falami dźwiękowymi (akustycznymi) nazywamy fale sprężyste o małym natężeniu, tzn. słabe zaburzenia mechaniczne rozchodzące się w ośrodku sprężystym. Fale dźwiękowe oddziałując na ludzkie narządy słuchu wywołują wrażenia słuchowe, jeśli częstości v odpowiadających im drgań są zawarte w przedziale 16 ÷ 2·10⁴ Hz (pasmo akustyczne, dźwięki słyszalne). Fale sprężyste o częstościach v < 16 Hz nazywamy infradźwiękami, natomiast o częstościach v > 2·10⁴ Hz - ultradźwiękami (często fale sprężyste o częstościach v > 10⁹ Hz nazywane są hiperdźwiękami).

Rozchodzenie się fal sprężystych nie jest związane z przenoszeniem (transportem) substancji (z pewnym transportem substancji mamy do czynienia podczas rozchodzenia się w ośrodku silnych zaburzeń - na przykład powstających w czasie wybuchu fal uderzeniowych - kiedy drgania cząsteczek ośrodka stają się nieliniowe). W ośrodku nieograniczonym polega ono na wzbudzaniu drgań w coraz dalej oddalonych od źródła częściach ośrodka. Można wtedy zapomnieć o dyskretnej (korpuskularnej, cząsteczkowej) budowie ośrodka i uważać go za ośrodek ciągły, mający określone własności sprężyste. Przez pojęcie cząstki takiego ośrodka, wykonującej drgania wymuszone, rozumie się mały element jego objętości, którego rozmiary są wielokrotnie większe od odległości międzycząsteczkowych i który w związku z tym zawiera znaczną liczbę cząsteczek. Ponieważ nawet w gazie odległości międzycząsteczkowe są skrajnie małe (rzędu 10^-8 metra w warunkach normalnych), to cząstki ośrodka można praktycznie uważać za punktowe.

Falę sprężystą nazywamy falą podłużną, jeśli cząstki ośrodka wykonują drgania w kierunku rozchodzenia się fali. Fale podłużne związane są z odkształceniem objętości ośrodka sprężystego i dlatego mogą rozchodzić się w dowolnym ośrodku - w fazie stałej, ciekłej i gazowej. Przykładem są fale dźwiękowe w powietrzu.

Falę sprężystą nazywamy falą poprzeczną, jeśli cząstki ośrodka wykonują drgania w płaszczyznach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Fale poprzeczne związane są z odkształceniem ścinania ośrodka sprężystego i dlatego mogą powstawać i rozchodzić się tylko w ośrodkach mających sprężystość postaci, tzn. w ciałach stałych. Przykładem fal poprzecznych mogą być fale rozchodzące się w strunach instrumentów muzycznych.

Szczególne miejsce zajmują fale powierzchniowe - rozchodzące się wzdłuż powierzchni swobodnych cieczy (lub powierzchni dzielących dwie nie mieszające się ciecze) zaburzenia tej powierzchni, powstałe w wyniku oddziaływań zewnętrznych (upadku ciał, ruchu statków, wiatru itp.). W powstawaniu i rozchodzeniu się tych fal określoną rolę spełniają siły ciężkości oraz siły napięcia powierzchniowego. W falach powierzchniowych cząstki cieczy wykonują jednocześnie drgania poprzeczne i podłużne, zakreślając tory eliptyczne lub jeszcze bardziej złożone.

Falami biegnącymi nazywamy fale, które, w odróżnieniu od fal stojących, przenoszą energię w przestrzeni.

Równaniem fali sprężystej nazywamy zależność wektorowych lub skalarnych wielkości, opisujących drgania ośrodka podczas rozchodzenia się w nim rozpatrywanej fali, od współrzędnych przestrzennych i czasu. Na przykład dla fal w ciele stałym taką wielkością może być wektor przesunięcia cząstki ośrodka względem położenia równowagi lub jego trzy rzuty na osie współrzędnych. Jako wielkość charakteryzującą fale podłużne w gazie lub cieczy przyjmuje się zwykle nadwyżkę ciśnienia w ośrodku drgającym, równą różnicy między wartością ciśnienia zmiennego i równowagowego.

Promieniem nazywamy linię, do której styczna w każdym jej punkcie pokrywa się z kierunkiem rozchodzenia się fali, tzn. z kierunkiem przenoszenia przez falę energii. W ośrodku jednorodnym promienie są liniami prostymi.

Powierzchnią falową lub czołem fali nazywamy miejsce geometryczne punktów o jednakowej fazie drgań. Dla wszystkich punktów tej samej powierzchni falowej różnica t-t_o jest taka sama. Przez każdy punkt ośrodka, do którego dotarł ruch falowy, można poprowadzić jedną powierzchnię falową, odpowiadającą wartości fazy drgań w tym punkcie w rozpatrywanej chwili. Zbiorowi różnych wartości fazy odpowiada rodzina powierzchni falowych. W jednorodnym ośrodku izotropowym powierzchnie falowe są ortogonalne do promieni.

Falę sprężystą nazywamy falą sinusoidalną lub harmoniczną, jeśli odpowiadające jej drgania cząstek ośrodka są drganiami harmonicznymi. Częstość tych drgań nazywamy częstością fali. W zależności od rodzaju polaryzacji drgań wypadkowych rozróżniamy następujące rodzaje polaryzacji sinusoidalnych fal poprzecznych : eliptyczną, kołową i liniową (lub płaską).

Odległość

,

jaką pokonuje fala sinusoidalna w czasie jednego okresu drgań, nazywamy długością fali. Długość fali jest równa odległości między dwoma najbliższymi punktami ośrodka, między którymi różnica faz drgań jest równa 2π.

Prędkość fazowa fal dźwiękowych (prędkość dźwięku) w cieczy lub gazie wyraża się wzorem

,

gdzie ρ jest gęstością ośrodka niezaburzonego, K - modułem sprężystości objętościowej ośrodka.

Dyspersją fal nazywamy zależność prędkości fazowej fal sinusoidalnych w ośrodku od ich częstości. Ośrodek, w którym takie zjawisko jest obserwowane, nazywamy ośrodkiem dyspersyjnym. Dyspersja fal dźwiękowych w ośrodku nieograniczonym zależy od własności ośrodka, przy czym zawsze towarzyszy jej pochłanianie dźwięku.

Zasada superpozycji (nakładanie się) fal: w ośrodku liniowym fale rozchodzą się niezależnie od siebie, tak więc podczas jednoczesnego rozchodzenia się w nim kilku fal wypadkowe zaburzenie w jakimkolwiek punkcie tego ośrodka jest równe sumie zaburzeń pochodzących od każdej z nich oddzielnie. Korzystając z zasady superpozycji fal oraz analizy Fouriera można dowolną falę niesinusoidalną przedstawić w postaci równoważnego jej zbioru fal sinusoidalnych, tzn. przedstawić w postaci grupy fal lub paczki fal.

Dwie fale nazywamy falami spójnymi (koherentnymi), jeśli różnica ich faz nie zależy od czasu. Spójnym falom odpowiadają spójne drgania. Źródła fal spójnych nazywamy źródłami spójnymi.

Interferencją fal nazywamy zjawisko nakładania się fal, w którym zachodzi stabilne w czasie ich wzajemne wzmocnienie w jednych punktach przestrzeni oraz osłabienie w innych, w zależności od stosunków fazowych fal. Interferować mogą tylko fale spójne, dla których odpowiadające im drgania zachodzą wzdłuż tego samego lub zbliżonych kierunków.

Szczególnym przypadkiem interferencji fal są fale stojące. Falą stojącą nazywamy falę powstałą w wyniku nałożenia się dwóch sinusoidalnych fal biegnących, rozchodzących się naprzeciw siebie, mających jednakowe częstości i amplitudy, a w przypadku fal poprzecznych również jednakową polaryzację. Poprzeczna fala stojąca powstaje, na przykład, w napiętej nici sprężystej, której jeden koniec jest zamocowany, a drugi zostaje wprawiony w ruch drgający.

Podczas nakładania się dwóch spójnych płaskich fal biegnących opisanych wzorami

oraz
,

gdzie α jest różnicą faz fal w punktach x = 0, powstaje płaska fala stojąca opisana równaniem:

.

Amplituda fali stojącej A_ST w odróżnieniu od amplitudy A fal biegnących jest funkcją okresową współrzędnej x:

.

Punkty, w których amplituda fali stojącej A_ST = 0, nazywamy węzłami fali stojącej, a punkty, w których A_ST jest maksymalna (A_ST = 2A) - strzałkami fali stojącej. Położenie węzłów i strzałek znajdujemy z warunków:

(węzły)

(strzałki),

gdzie m = 0,1,2,...

Odległości między dwoma sąsiednimi węzłami oraz dwoma sąsiednimi strzałkami są jednakowe i równe połowie długości λ fali biegnącej. Wielkość tę nazywa się długością fali stojącej: λ_ST = λ/2. Odległość między sąsiadującymi ze sobą strzałką i węzłem fali stojącej jest równa λ_ST/2.

Na podstawie subiektywnych wrażeń słuchowych przypisujemy dźwiękom trzy cechy:

• Głośność dźwięku - związana jest z natężeniem fali dźwiękowej.

• Wysokość dźwięku - związana jest z częstotliwością fali.

• Barwa dźwięku - zależy od widma fali.

Jeśli w pewnej chwili t znane jest położenie czoła fali i jej prędkość v, to położenie czoła fali w następnej chwili t+Δt można wyznaczyć opierając się na zasadzie Huygensa-Fresnela. Zgodnie z tą zasadą wszystkie punkty powierzchni S(t), przez które przechodzi czoło fali w chwili t, należy traktować jako źródła wtórnych fal elementarnych, a poszukiwane położenie czoła fali S(t+Δt) w chwili t+Δt pokrywa się z powierzchnią będącą obwiednią czół wszystkich wtórnych fal elementarnych.

Zwykle, gdy układ fizyczny zdolny do wykonywania drgań jest pobudzany periodyczną serią impulsów o częstości równej lub prawie równej jednej z częstości własnych układu, układ zostaje wprawiony w drgania o stosunkowo dużej amplitudzie. Zjawisko to nazywamy rezonansem, a o układzie mówimy, że znajduje się w rezonansie z przykładanymi impulsami.

Cechowanie generatora RC metodą rezonansu akustycznego

- 4 -

---