ZADANIA Z ALGEBRY (na 4 kwietnia)

1. Proszę znaleźć rzędy następujących macierzy ,
.

W.: Bardzo przydatna jest „technologia”, jaką stosowaliśmy na ćwiczeniach dla wyliczania wyznaczników macierzy liczbowych (tworzenie zer w poszczególnych wierszach lub kolumnach).

2. Proszę określić rząd macierzy w zależności od wartości parametru :

a. , b. .

3. Twierdzenie Kroneckera - Capellego dla równań liniowych na niewiadomych. Proszę zaprojektować po dwa przykłady (czyli konkretne, proste układy równań liniowych) na różne przypadki zastosowania tego twierdzenia, a w szczególności gdy

1. , ; b. , ; c. , ;

d. , ; e. , ; f. , .

( oznacza macierz podstawową układu równań.)

4. Mamy przestrzeń wektorową złożoną z n-elementowych kolumn liczbowych. Proszę pokazać, że jest to przestrzeń n-wymiarowa.

5. Proszę sprawdzić, czy podane zestawy wektorów są bazami w odpowiednich przestrzeniach.

(a)
,
,
; (b)
,
,
; (c)
.

6. Czy zestaw czterech trójliczbowych kolumn może być bazą w przestrzeni wektorwej złożonej z trójliczbowych kolumn?

7. W przestrzeni 3-liczbowych kolumn wybrano trójkę wektorów:
,
,
.

Proszę sprawdzić, że jest to baza i znaleźć współczynniki rozkładu wektora
w tej bazie.

---