∀ - dla każdego ∃ - istnieje

ZBIORY

• Zbiór A⊂X nazywamy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli:

∃M∈X∀x∈A (x≤M),

∃m∈X∀x∈A (x≥m).

• Zbiór A⊂X nazywamy ograniczonym, jeżeli jest ograniczony z dołu i z góry.

• Kresem górnym (supremum) zbioru niepustego A⊂X nazywamy element K∈X taki, że:

∀x∈A (x≤K)

∀ε>0 ∃x_o∈A (x_o>K-ε)

• Kresem dolnym (infinum) zbioru niepustego A⊂X nazywamy element k∈X taki, że:

∀x∈A (x≥k)

∀ε>0 ∃x_o∈A (x_o<k+ε)

FUNKCJE

• Funkcją f:R→R nazywamy okresową jeżeli istnieje w∈R\{0} taka, że

f(x+w)=f(x) dla każdego x∈R.

• Funkcję f:A⊂R→R nazywamy:

- parzystą, jeżeli ∀x,-x∈R zachodzi: f(−x)=f(x),

- nieparzystą, jeżeli ∀x,-x∈R zachodzi: f(−x)=−f(x).

CIĄGI

• Każdą funkcję f:N→R nazywamy nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych

• Ciąg (a_n) nazywamy:

1. rosnącym ⇔ ∀n∈N (a_n+1>a_n)

2. malejącym ⇔ ∀n∈N (a_n+1<a_n)

3. nierosnącym ⇔ ∀n∈N (a_n+1≤a_n)

4. niemalejącym ⇔ ∀n∈N (a_n+1≥a_n)

5. stałym ⇔ ∀n∈N (a_n=const)

• Liczbę a∈R nazywamy granicą ciągu (a_n) jeżeli dla każdej liczby ε>0 istnieje liczba naturalna n∈N taka że nierówność |a_n-a|<ε jest spełniona dla wszystkich n>N.

• Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym jeżeli ∃m,M∈R ∀n∈N zachodzi: (m≤a_n≤M)

• Ciąg, który ma granicę nazywamy ciągiem zbieżnym. Pozostałe są rozbieżne:

• Własności ciągów zbieżnych

1. (o jednoznaczności granicy). Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic.

2. (warunek konieczny zbieżności). Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

3. (warunek wystarczający zbieżności). Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony to jest zbieżny.

4. (o trzech ciągach). Jeżeli: a_n≤b_n≤c_n dla prawie wszystkich n∈N,




5. Jeżeli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne oraz a_n≤b_n dla prawie wszystkich n∈N, to:




6. Jeżeli lim a_n=a i lim b_n=b, to:




7. Twierdzenie Stolza:

jeżeli:

- b_n→+∞,

- a_n≥b_n dla prawie wszystkich n∈N

-





PODCIĄGI

• Jeżeli (n_k) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych to ciąg (a_nk) nazywamy podciągiem ciągu (a_n).

• Podciągi ciągu zbieżnego są zbieżne do granicy ciągu. Jeżeli ciąg (a_n) ma dwa podciągi zbieżne do różnych granic to nie jest zbieżny.

• Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny.

• Granicę podciągu nazywamy punktem skupienia ciągu.

• Granice ekstremalne

lim sup a_n = sup S (sup - superium)

lim inf a_n = inf S (inf - inferior)

• Ciąg jest zbieżny ⇔ granice ekstremalne istnieją i są równe.




SZEREGI LICZBOWE

• Parę ((a_n),(S_n)), gdzie (a_n) jest ciągiem liczbowym i S_n=a₁+a₂+...+a_n nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a_n. Ciąg (S_n) nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu.

• Szereg Σa_n nazywamy zbieżnym jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny.

• Kryteria zbieżności szeregów:

1. (warunek konieczny). Jeżeli szereg Σa_n jest zbieżny to lim a_n=0.

2. (o zagęszczaniu Cauchy'ego). Jeżeli (a_n) jest malejącym do zera ciągiem liczb rzeczywistych, to szereg Σa_n jest zbieżny ⇔ szereg Σ2ⁿa₂ⁿ jest zbieżny. Z twierdzenia tego wynika:

- szereg harmoniczny dla α>1 jest zbieżny,

- szereg harmoniczny dla α≤1 jest rozbieżny.

3. (kryterium porównawcze). Jeżeli 0≤a_n≤b_n dla prawie wszystkich n∈N, to:

- jeżeli Σb_n jest zbieżny, to Σa_n jest zbieżny,

- jeżeli Σb_n jest rozbieżny, to Σa_n jest rozbieżny.

4. (kryterium Cauchy'ego)Jeżeli a_n≥0 dla n∈N




- jeżeli g<1 to Σa_n jest zbieżny,

- jeżeli g>1 to Σa_n jest rozbieżny,

- jeżeli g=1 to ???

5. (kryterium d'Alemberta)

Jeżeli a_n≥0 dla n∈N




- jeżeli g<1 to Σa_n jest zbieżny,

- jeżeli g>1 to Σa_n jest rozbieżny,

- jeżeli g=1 to ???

• Szereg Σa_n nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli szereg Σ|a_n| jest zbieżny. Jeżeli szereg Σa_n jest zbieżny i nie jest zbieżny bezwzględnie, to nazywamy go szeregiem zbieżnym względnym. Każdy szereg liczbowy bezwzględnie jest zbieżny.

• Jeżeli (a_n) jest malejącym do zera ciągiem liczb rzeczywistych to Σ (-1)^n-1⋅a_n nazywamy szeregiem naprzemiennym.

• Kryterium Leibniza - każdy szereg naprzemienny jest zbieżny.

• Iloczyn Cauchy'ego

Iloczynem Cauchy'ego szeregów Σa_n i Σb_n nazywamy szereg ΣC_n taki, że C_n=Σa_kb_n-k

• Twierdzenie Cauchy'ego

Jeżeli szeregi Σa_n i Σb_n są zbieżne odpowiednio do S₁ i S₂ i przynajmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie to iloczyn Cauchy'ego tych jest zbieżny i jego suma równa się S₁⋅S₂.




PRZESTRZEŃ METRYCZNA

• Parę (X,d), gdzie X jest niepustym zbiorem, d jest funkcją przekształcającą XxX w zbiór liczb rzeczywistych spełniającą warunki:

1. ∀x∈X (d(x,y)=0 ⇔ x=y)

2. ∀x,y∈X (d(x,y)=d(y,x))

3. ∀x,y,z∈X (d(x,y)+d(y,z) ≥ d(x,z)) nazywamy przestrzenią metryczną.

Funkcję d nazywamy metryką lub odległością.

• Kula otwarta o środku x_o i promieniu r>0 w przestrzeni nazywamy zbiór: K(x_o,r)={x∈X; d(x_o,x)<r}.

• Zbiór A⊂X nazywamy zbiorem otwartym w (X,d), jeżeli:

∀x∈A ∃r>0(K(x,r)⊂A).

• Zbiór A⊂X nazywamy zbiorem domkniętym w (X,d) jeżeli jego dopełnienie

X-A jest zbiorem otwartym w (X,d).

• Zbiór A⊂X nazywamy ograniczonym w (X,d), jeżeli zawiera się w pewnej kuli.

• Punkt s∈X nazywamy punktem skupienia zbioru A⊂X, jeżeli w każdej kuli o środku w punkcie s znajdują się elementy zbioru A różne od siebie.

• Punkt x_o∈A nazywamy punktem izolowanym zbioru A, jeżeli nie jest punktem skupienia zbioru A.

• Ciągiem w przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy każdą funkcję f:N→X.

• Definicja granicy ciągu w przestrzeni metrycznej.




• Ciąg (x_n) nazywamy ciągiem Cauchy'ego jeżeli:




• Ciąg liczb rzeczywistych spełnia warunek Cauchy'ego witw, gdy jest zbieżny.

• Przestrzeń metryczną, której każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny do elementu tej przestrzeni nazywamy przestrzenią zupełną.

• Przestrzeń metryczną nazywamy zwartą jeżeli z każdego ciągu elementów tej przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny do elementu tej przestrzeni.

• Jeżeli X⊂R, to (X,d) jest przestrzenią zwartą witw, gdy X jest domknięty i ograniczony w E¹.




GRANICE

• Definicja granicy w sensie Cauchy'ego:




• Definicja granicy w sensie Heinego:




• Jeżeli f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x_o, to granica funkcji f w punkcie x_o istnieje i równa się g witw, gdy granice jednostronne istnieją i są równe.

• Jeżeli lim f(x)=g₁ i lim g(x)=g₂, to:

- lim [f(x)±g(x)]=g₁±g₂

- lim [f(x)⋅g(x)]=g₁⋅g₂

- lim [f(x)/g(x)]=g₁/g₂

• (o trzech funkcjach) Jeżeli funkcje f, g i h spełniają w pewnym sąsiedztwie punktu x_o nierówność f(x)≤g(x)≤h(x) oraz lim f(x) = lim h(x)=g, to lim g(x)=g.

• (Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego)

Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x_o, to ma granicę w x_o witw, gdy:







ODWZOROWANIA CIĄGŁE

• Odwzorowaniem T:A⊂X→Y nazywamy ciągłym w x_o∈A, w sensie Cauchy`ego, jeżeli:




• Odwzorowaniem T:A⊂X→Y nazywamy ciągłym w x_o∈A, w sensie Heinego, jeżeli:




• Jeżeli x_o jest punktem skupienia zbioru A to odwzorowanie T:A⊂X→Y jest ciągłe w x_o∈A witw, gdy lim T(x)=T(x_o).

• Własności funkcji ciągłych:

1. Superpozycja funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,

2. Suma, różnica, iloczyn i iloraz (tam gdzie jest określony) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,

3. Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale otwartym (a,b) ciągła w punkcie x_o∈(a,b) i f(x_o)>0 (f(x_o)<0), to istnieje otoczenie punktu x_o zawarte w (a,b), w którym f(x)>0 (f(x)<0),

4. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym <a,b> jest ograniczona i osiąga kresy,

5. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym <a,b> przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy kresami,

6. Własność Darboux, Zasada Banacha... .

• Twierdzenie Weierstrassa - obraz ciągu zbioru zwartego w przestrzeni metrycznej jest zbiorem zwartym.

• Odwzorowanie T: X→Y nazywamy ciągłym jednostajnie w zbiorze A⊂X, jeżeli:




• (Twierdzenie Cantora) Każda funkcja ciągła w <a,b> jest ciągła jednostajnie w <a,b>.




POCHODNE

• Pochodną funkcji f w punkcie x_o∈U nazywamy granicę:




• Funkcję f:U⊂R→R nazywamy różniczkowalną w punkcie x_o∈U jeżeli istnieją liczba rzeczywista L i funkcja r(x_o,h) takie, że f(x_o+h)=f(x_o)+Lh+r(x_o,h) i




• Różniczką funkcji f w punkcie x_o nazywamy f'(x_o)⋅h. df(x_o,h)=f'(x_o)⋅h - różniczka pierwszego rzędu.

• Własności pochodnej:

1. Jeżeli funkcje są różniczkowalne to... (wzory na suma, iloczyn i iloraz),

2. Jeżeli f jest bijekcją różniczkowalną w x_o i f'(x_o)≠0, to funkcja odwrotna f ^-1 jest różniczkowalna w punkcie y_o=f(x_o) i (f ^-1)'(y_o)=1/f'(x_o),

3. Jeżeli f jest funkcją różniczkowalną w x_o i g jest funkcją różniczkowalną w punkcie y_o=f(x_o) to superpozycja g^of jest funkcją różniczkowalną w punkcie x_o to: (g^of)'(x_o)=g'(f(x_o))f'(x_o).




POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

• Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w otoczeniu U punktu x_o i jej pochodna f':U→R ma w x_o pochodną to nazywamy ją pochodną drugiego rzędu (druga pochodna) funkcji f w punkcie x_o.

• Jeżeli f jest (n-1)-krotnie różniczkowalna w otoczeniu U punktu x_o i f^(n-1):U→R ma w x_o pochodną to nazywamy ją n-tą pochodną funkcji f w punkcie x_o.

• Jeżeli funkcja f jest n-krotnie różniczkowalna w punkcie x_o to f⁽ⁿ⁾(x_o)⋅hⁿ nazywamy n-tą różniczką funkcji f w punkcie x_o.

• Funkcją f nazywamy funkcją klasy C_n w zbiorze otwartym U⊂R, jeżeli ma n-tą pochodną ciągłą w zbiorze U. Jeżeli f ma pochodną dowolnego rzędu w U to nazywamy funkcją klasy C_∞.

• Wzór Leibniza

Jeżeli funkcje U i V są n-krotnie różniczkowalne w x_o, to:




• Twierdzenie Rolle'a

Jeżeli funkcja f jest ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) oraz f(a)=f(b) to istnieje punkt c∈(a,b) taki, że f'(c)=0.

• Twierdzenie Langrange'a (tw. o wartości średniej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) to istnieje punkt c∈(a,b) taki, że:




• Zastosowanie twierdzenia Langrage'a

Tw1. Jeżeli f jest różniczkowalna w (a,b) i f'(x)=0, to f jest stała.

Tw2. Jeżeli f jest różniczkowalna w (a,b) i f'(x)>0 (f'(x)<0), dla x∈(a,b), to f jest rosnąca (malejąca) w (a,b)

• Twierdzenie Cauchy'ego

Jeżeli funkcje U i V są ciągłe w (a,b) i różniczkowalne w (a,b) oraz V'(x)≠0 dla x∈(a,b) to istnieje punkt c∈(a,b) taki, że:




• Twierdzenie i wzór Taylora

Jeżeli funkcja f:U⊂R→R jest różniczkowalna (n+1)-krotnie w zbiorze otwartym U oraz <x_o,x>⊂U, to istnieje punkt c∈(x_o,x) taki, że:




Jeżeli x_o=0 to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina.




FUNKCJE WYPUKŁE I WKLĘSŁE

• Funkcję f nazywamy wypukłą w przedziale A, jeśli:

∀x₁,x₂∈A ∀λ∈<0,1> [f(λx₁+(1-λ)x₂)≤ λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)]

Jeżeli zachodzi nierówność odwrotna to funkcję nazywamy wklęsłą w przedziale A.

• Jeżeli f jest różniczkowalna w (a,b) to jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale witw, gdy:

F(x)≥f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o) dla x,x_o∈(a,b)

F(x)≤f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o) dla x,x_o∈(a,b)

• Funkcja różniczkowalna w (a,b) jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale witw, gdy pochodna f' jest funkcją niemalejącą (nierosnącą).

• Funkcja dwukrotnie różniczkowalna w (a,b) jest wypukła (wklęsła) witw, gdy f''(x)≥0 (f''(x)≤0) dla każdego x∈(a,b).




PUNKTY PRZEGIĘCIA

• Punkt x_o nazywamy punktem przegięcia funkcji f określonej w pewnym otoczeniu punktu x_o jeżeli dla x<x_o f jest wypukła (wklęsła) i dla x>x_o f jest wklęsła (wypukła).

• Jeżeli x_o jest punktem przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej to f''(x_o)=0.

• Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x_o i f''≤0 (≥0) dla x<x_o oraz f''≥0 (≤0) dla x>x_o, to x_o jest punktem przegięcia funkcji f.




ASYMPTOTY

• Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale (a,x_o) i lim f(x)=±∞, to prostą o równaniu x=x_o nazywamy asymptotą pionową lewostronną. Jeżeli lim f(x)= ±∞ to prostą o równaniu x=x_o nazywamy asymptotą pionową prawostronną. Prostą x=x_o nazywamy asymptotą obustronną jeżeli jest asymptotą lewo- i prawostronną.

• Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale (a,+ ∞) to prostą y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną w ±∞ funkcji f, jeżeli lim[f(x)-ax-b]=0.




CAŁKA NIEOZNACZONA

• Funkcją F nazywamy funkcję pierwotną funkcji f w przedziale (a,b), jeżeli F'(x)=f(x) dla każdego x należącego do (a,b).

• Całką nieoznaczoną funkcji f w (a,b) nazywamy klasę (rodzinę) wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji. ∫f(x)dx=F(x)+C

• Twierdzenie o całkowaniu przez części

Jeżeli funkcje u i v są klasy C₁, to prawdziwy jest wzór:




• Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie

Jeżeli funkcja g:(a,b)→ (α,β) jest klasy C₁, funkcja f:(α,β)→R jest ciągła, to:







CAŁKA OZNACZONA (RIEMANA)

• Przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej pewnego podziału przedziału domkniętego <a,b> nazywamy ciągiem podziałów przedziału <a,b>.

• Jeżeli istnieje granica ciągu (σ_n) dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <a,b> i nie zależy od wyboru punktów t_i to nazywamy całką oznaczoną funkcji f w przedziale <a,b>.




• Własności:

1. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w <a,b>, to:




2. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w <a,b> i a<c<b, to:




3. Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieujemna (niedodatnia) w <a,b>, to:




4. Jeżeli f i g są całkowalne w <a,b> i f(x)≤g(x) dla każdego x∈<a,b>, to:




5. Jeżeli funkcja f jest całkowalna, to |f| też jest całkowalna i zachodzi wzór:




• Jeżeli f jest ciągła w <a,b>, to funkcja F jest różniczkowalna w <a,b> i zachodzi wzór: F'(x)=f(x).

• Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego)

Jeżeli f jest ciągła w <a,b> i G jest funkcją pierwotną funkcji f, to:


- wzór Newtona-Leibniza

• Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie

Jeżeli f:<a,b>→R jest ciągła, funkcja g:<α,β>→<a,b> jest klasy C₁ oraz g'(t)≠0 i g(α)=a i g(β)=b, to:




• Twierdzenie o całkowaniu przez części

Jeżeli funkcje u i v są klasy C₁, to:




• Pierwsze twierdzenie o wartości średniej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w <a,b>, funkcja g jest całkowalna i ma stały znak w <a,b>, to:




• Drugie twierdzenie o wartości średniej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w <a,b>, funkcja g jest klasy C₁ i monotoniczna w <a,b>, to istnieje c∈<a,b> takie, że:







CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

• Jeżeli istnieje granica:




to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą I rodzaju. Jeżeli nie istnieje granica, to całkę nazywamy rozbieżną. Analogicznie definiujemy:




• Jeżeli istnieje granica:




to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą II rodzaju. Jeżeli nie istnieje granica, to całkę nazywamy rozbieżną. Analogicznie definiujemy:




• Kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego - Cauchy'ego

Jeżeli funkcja f jest ciągła w <1,+∞) oraz nieujemna i malejąca do 0 w tym przedziale, to szereg Σf(n) jest zbieżny ⇔ ∫ f(x)dx jest zbieżna.




CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

• Przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej pewnej funkcji f:X⊂R→R nazywamy ciągiem funkcyjnym określonym w zbiorze X.

• Parę (f_n(x),S_n(x)) gdzie f_n(x) jest ciągiem funkcyjnym określonym w zbiorze X, S_n(x)=f₁(x)+...+f_n(x) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie ogólnym f_n(x).

• Definicja zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego.

Ciąg (f_n(x)) nazywamy zbieżnym punktowo w zbiorze X do funkcji f(x), jeżeli:




• Szereg Σf_n(x) nazywamy zbieżnym punktowo w zbiorze X, jeżeli ciąg sum częściowych (S_n(x)) jest zbieżny punktowo w X.

• Warunek konieczny zbieżności punktowej szeregu.

Jeżeli Σf_n(x) jest zbieżny punktowo w zbiorze X, to ciąg (f_n(x)) jest zbieżny punktowo do funkcji f(x)=0 dla x∈X.




SZEREGI POTĘGOWE

• Szereg funkcyjny postaci Σa_n(x-x_o)ⁿ gdzie a_n jest ciągiem liczbowym, nazywamy szeregiem potęgowym o środku x_o.

• Kres górny przedziału zbieżności szeregu Σ nazywamy promieniem zbieżności szeregu Σ a_nxⁿ.

• Twierdzenie Cauchy-Hadamarda.

Jeżeli:




• Szereg potęgowy postaci:




nazywamy szeregiem Taylora o środku w punkcie x_o funkcji f.

Jeżeli x_o=0 to szereg nazywamy szeregiem Maclaurina.




SZEREG FOURIERA

• Szereg funkcyjny postaci:




nazywamy szeregiem trygonometrycznym.

• Jeżeli szereg trygonometryczny jest jednostajnie zbieżny w przedziale <-π,π>, to współczynniki a_n i b_n tego szeregu wyrażają się wzorami:




Wzory powyższe nazywają się wzorami Eulera-Fouriera.

• Szereg trygonometryczny, którego współczynniki a_n i b_n wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f.




FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

• Pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p_o względem zmiennej x_i nazywamy granicę:




• Funkcję f nazywamy funkcją klasy C₁ w zbiorze otwartym U jeżeli pochodne cząstkowe I rzędu istnieją i są ciągłe w U.

• Jeżeli f:U⊂Rⁿ→R jest klasy C₁ w U, to wektor:




nazywamy gradientem funkcji f w zbiorze U.

• Pochodną cząstkową n-tego rzędu nazywamy pochodną cząstkową pochodnej cząstkowej (n-1) rzędu.

• Tw. Schwartza Jeżeli pochodne mieszane są ciągłe to są równe.

• Funkcję f nazywamy funkcją klasy C_n w zbiorze otwartym U⊂Rⁿ, jeżeli wszystkie pochodne n-tego rzędu funkcji są ciągłe w U.

• Jeżeli funkcja f jest klasy C_n w zbiorze U, to różniczką n-tego rzędu funkcji f w punkcie p_o∈U nazywamy różniczkę różniczki (n-1) rzędu.




EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

• Funkcja f ma w punkcie p_o∈U maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje otoczenie V punktu p_o takie, że f(p_o)≥f(p) (f(p_o)≤f(p)) dla każdego p∈V.

• Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f ma w punkcie p_o ekstremum to grad f(p_o)=0.




• Warunek dostateczny istnienia ekstremum

Jeżeli f jest klasy C₂ w otoczeniu punktu p_o i grad f(p_o)=0, to:

1. jeżeli d²f(p_o,dx)>0 (<0) ∀dx≠0, to f ma w p_o minimum (maksimum) lokalne,

2. jeżeli istnieją dx i dx' takie, że d²f(p_o,dx)<0 i d²f(p_o,dx')>0, to w p_o f nie ma ekstremum.

• Drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum

1. jeżeli M_i>0 dla każdego i=1...n to funkcja f ma w punkcie p_o minimum lokalne,

2. jeżeli (-1)ⁱM_i>0 dla każdego i=1...n to funkcja f ma w punkcie p_o maksimum lokalne.




EKSTREMA WARUNKOWE

• Funkcja f ma w punkcie p_o maksimum (minimum) przy warunku g(x₁...x_n), jeżeli istnieje otoczenie V punktu p_o takie, że f(p_o)≥f(p) (f(p_o)≤f(p)) dla każdego p∈V∩M.

• Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego

F(x₁,...,x_n;λ)=f(x₁,…,x_n)+λg(x₁,…,x_n). Jeżeli f ma w punkcie p_o ekstremum warunkowe to istnieje liczba rzeczywista taka, że:




• Warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego

Jeżeli:




to: jeżeli d²F(p_o,λ_o,dx)>0 (<0) przy warunku dg(p_o,dx)=0 dla każdego dx≠0, to funkcja f ma w punkcie p_o minimum warunkowe (maksimum warunkowe).




CAŁKA PODWÓJNA

• Jeżeli istnieją granica ciągu (σ_n) i nie zależy od wyboru normalnego ciągu podziałów prostokąta P oraz od wyboru punktów (x_i,y_iⁿ ) to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f w P.

• Jeżeli funkcje Φ i Ψ są ciągłe w przedziale <a,b>, to zbiór D={(x,y): a≤x≤b, Φ(x)≤y≤Ψ(x)} nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.

• Jeżeli funkcje g i h są ciągłe w przedziale <c,d>, to zbiór D={(x,y): c≤y≤d, g(y)≤x≤h(y)} nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.




RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

• Równanie x'=f(x,t), gdzie f jest funkcją f:Ux<a,b>→R nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu. Rozwiązaniem równania x'=f(x,t) nazywamy funkcję x:<a,b>→U taką, że x'(t)=f(x(t),t).




ZASTOSOWANIE CAŁKI PODWÓJNEJ

1. Pole obszaru płaskiego




2.Objętość bryły




3. Pole powierzchni







ZASTOSOWANIE GEOMETRYCZNE CAŁKI OZNACZONEJ

1. Pole obszaru płaskiego

1. obszar ograniczony funkcją i osią x




2. obszar ograniczony dwoma funkcjami




3. obszar ograniczony równaniami parametrycznymi




4. obszar ograniczony krzywą określoną równaniem biegunowym




2. Długość łuku krzywej




3. Objętość bryły obrotowej




4. Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej







Pusta

---