k-z ilu wybieramy n- ile wybieramy

Elementy:

Permutacja bez powtórzeń:

-kolejność jest istotna

-ilość wyrazów permutacji = ilość el zbioru

-wyrazy permutacji są różne

P_n=n!

Permutacje z powtórzeniami:

-kolejność istotna

- el wystepują conajmniej 1 raz

(ułorzenie słowa z liter)

Wariacje bez powtórzeń

-kolejność istotna

-el zbioru A wystepuje 1 raz

Wariacja z powtórzeniami:

-kolejność istotna

-el powtarzają się wielokrotnie lub 1 raz

Sposób wyjścia z windy.

Kombinacje bez powtórzeń:

-kolejność nieistotna

partie (dobre,złe)

8 dobrych 2 zle czyli razem 10, losujemy 2

Kx=(0,1,2) x-dobre

Omega = k 10

n 2 10!/2!(10-2)!

0 dobrych = k 2

n 2 2!/2!(2-2)!

1 dobra = k k 8 2 8!/1!(8-1)!*2!/1!(2-1)!

1 zła n n 1 1

2 dobre = k 8

n 2 8!/2!(8-2)!

Kombinacja z powtórzeniami:

-nie rozróżnia się elementów

-kolejnośc nieistotna

losowanie z zbioru k-elementowego ze zwracaniem bez kolejności

S=2^Ω

Doświadczenie losowe-jt doświadczenie którego wyników nie można jednoznacznie przewidzieć

Częstość- otrzymano wynik k przy n razy= k/n

Prawidłowość statystyczna-częstośc staje się bliska pewnej liczbie.

Zdarzenie elementarne ω-pojęcie pierwotne niedefiniowalne (wynik doświadczenia losowego)

Zbiór zdarzeń elementarnych Ω-pojecie pierwotne zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doś. los.

Zdarzenie losowe- podzbiór zbioru Ω niepustą klasą S podzbiorów Ω spełniającą warunki:

1. A∈S, to A' = Ω -A∈S (wykonalność uzupełniena)

2. jeśli A₁ A₂ ∈ S, to A₁∪A₂∪...∈ S (wykonalnośc

przeliczalnego dodawania)

nazywamy σ-ciałem zbarzeń losowych, zas elementy tej klasy zdarzeniami losowymi

Własności zdarzeń losowych σ-ciało zdarzeń losowych ma właściwości:

1.Ω∈S, ∅∈S

2.Jeśli A₁ A₂ ∈S to A₁∩A₂∩..∈S (wykonalność

przeliczalnego mnożenia)

3.Jeśli A₁...A_n ∈S to A₁∪...∪A_n∈S (wykonalność

dodawania

4. Jeśli A₁...A_n ∈S to A₁∩...∩A_n∈S (wykonalność

mnożenia

5.Jesli A,B ∈S to A-B ∈S (wykonalność odejm)

Zdarzenia w zbiorze skonczonym:

Jeśli zbiór zdarzeń el Ω jest skończony, to przyjmujemy, że każdy podzbiór zbioru Ω jest zdarzeniem czyli S=2^Ω

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa - jt funkcja która spełnia warunki: P: S→

1.P(A) >=0

2.P(Ω)=1

3.Dla dowolnego ciągu zdarzeń A₁ A₂ ...∈S wykluczających się (A_i∩A_j=∅ dla i≠j zachodzi wzór

P(A₁∪A₂∪...) = P(A₁) + P(A₂)+...

(przeliczalna addytywność)

Liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A

Własności prawdopodobieństwa:

1.P(∅)=0

2.Jesli A₁,...,A_n wykluczają się to

P(A₁∪...∪A_n) = P(A₁)+...+P(A_n)

(skończona addytywność)

3.Jeśli A⊂B to P(A) <=P(B) (monotoniczność prawd)

4.P(A)<=1

5.Jeśli A⊂B to P(B-A)=P(B) - P(A)

6.P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B)

7.P(A)=1-P(A')

8.

9.

Definicja klasyczna:

Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze skończonej liczby n zdarzeń el. i prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń el {ω_i}, i=1,2...n są równe to prawdopodobieństwo zdarzenia A składającego się z k zdarzeń wyraza się wzorem

Przestrzeń probabilistyczna: jt trójka (Ω,S,P)

dla kazdego zdarzenia należy zdefiniować:

-zdarzenia el w tym doswiadczeniu

-jakie zbiory sa zdarzeniami losowymi

-jak oblicza sie prawdopodobienstwo tych zdarzeń

Prawdopodobienstwo warunkowe: niech (Ω,S,P)

Jeśli B jest zdarzeniem o dodatnim prawd. P(B)>0 to prawd. dowolnego zdarzenia A pod warunkiem że zaszło zdarzenie B okreslamy na σ-ciałem S wzorem

Pod warunkiem że zaszło zdarzenie

Prawdopodobieństwo iloczynu: zamieniając

P(A∩B)= P(A)*P(B/A), P(A) >0

Za pierwszym razem otrzymano…

Prawdopodobieństwo całkowite:

Jeżeli zdarzenie losowe A₁...A_n o dodatnich prwd. wykluczaja sie parami i suma ich jest zdarzeniem pewnym to dla dowolnego zdarzenia losowego B zachodzi wzór:

P(B)= P(A₁)*P(B/A₁)+...+P(A_n)*P(B/A_n)

Założenia tego twierdzenia:

1.P(A₁) >0, P(A_n)>0

2.A_i∩A_j=0 dla i≠j

3.A₁∪...∪A_n=Ω

Twierdzenie Bayesa:

Jesli zdarzenia losowe A₁,...A_n o dodatnich prawd. wykluczają się parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym, zas B jest zdarzeniem o dodatnim prawd. to zachodzi wzór:

Zdarzenia niezalerzne:

Niech (Ω,S,P) będzie pp. A,B∈S.

Zdarzenia A i B są niezależne jesli:

P(A∩B)=P(A)•P(B)

Niezalezność n zdarzeń:

Mówimy że zdarzenia A₁,...A_n sa niezalezne jeśli

P(A₁∩...∩A_n)= P(A₁)•...•P(A_n)

Zmienna losowa jednowymiarowa: jt dowolna funkcja określona na zbiorze zdarzeń elementarnych przyjmująca wartości rzeczywiste X: Ω→R i spełniająca warunek:

dla każdego

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej:

Niech X będzie zmienna losową jednowym. w (Ω,S,P)

Px: B→ R

Px(A) = P ({ω∈Ω: X(ω) ∈A})

Przykłady:

• A={a}

P({ω∈Ω: X(ω)=a})= P(X=a)

• A=(a,b>

P({ω∈Ω: X(ω)∈A})= P(a<X<=b)

• A=(-∞,b)

P({ω∈Ω: X(ω)∈A})= P(x<b)

• A∈(-∞,+∞)

P({ω∈Ω: X(ω)∈R})=P(-∞<X<+∞)=1

Dystrybuanta zmiennej losowej X:

X- zmienna losowa w (Ω,S,P)

Px - rozkład prawdopodobienstwa

Dystrybuanta zmiennej losowej X jt funkcja

F: R→<0,1>

F(x) = P(X<x) x∈R

Własności dystrybuanty:

1.funkcja niemalejąca

2.conajmniej lewostronnie ciagła

3

Jeżeli F jest dystrybuantą zm los X to

1.P(a<=X<b)=F(B)-F(A)

2.P(X=a)=F(a+0)-F(a)

3.Jeśli a jest punktem ciągłosci dystrybuanty F, to

P(X=a)=0

Dystrybuanta zm los X wyznacza jednoznacznie rozkład prawdopodobieństwa zm los X F→Rx

Zmienna losowa skokowa:

Punkt skokowy: zmiennej losowej X jt x∈R,takie że

P(X=x)>0

Kx-zbiór wszystkich punktów skokowych zm los X Zmienna losowa X jest typu skokowego jeśli istnieje skonczony lub przeliczalny zbiór Rx{x₁, x₂,...} wartości tej zmiennej takie, że Px(Kx)=P(X∈Kx)=1

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej:

przyporządkowuje każdemu punktowi skokowemu x_kzmiennej losowej X skoku p_k w tym punkciei zapisujemy: P(X=x_k)=p_k

Zmienna losowa ciągła:

zmienną los X nazywamy zm los ciągłą jeżeli dystrybuantę tej zmiennej można przedstawić w postaci

funkcję f(t) nazywamy gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

Własności:

Jeśli X jest zmienną los ciągłą o dystrybuancie F i gęstości f to

1.Dystrybuanta F jest funkcją ciągłą w R i w każdym

punkcie ciągłości gęstości f F'=f(x)

2.Dla każdej liczby rzeczywistej x

P(X=x)=0

Czyli zmienna losowa ciągła nie ma punktów

Skokowych.

3.P(<=X<=b)=P(a<X<=b)=P(a<X<b)=P(a<=X<b=

=F(b) - F(a) =

4.

Zmienna losowa dwuwymiarowa:

Zmienna losowa dwuwymiarowa przyporządkowuje zdarzeniom elementarnym pary liczb rzeczywistych, czyli odwzorowuje zbiór zdarzeń elementarnych w Ω w R² i spełnia warunki:

Zdarzenie losowe {ω∈Ω: (X(ω),Y(ω)∈A

zapisujemy krótko (X,Y)∈A

prawdopodobieństwo P((X,Y∈A))

Rozkład prawdopodobieństwa:

Pxy(A)=P({ϖ∈Ω: (X(ω),Y(ω))∈A})

Dystrybuanta Zmiennej losowej dwuwymiarowej:

Niech (X,Y) będzie zmienną losową dwuwymiarową e przestrzeni probabilistycznej (Ω,S,P) zaś Pxy rozkładem prawdopodobieństwa tej zmiennej.

Dystrybuantą zmiennej losowej dwuwymiarowej (X,Y) nazywamy funkcję F dwóch zmiennych rzeczywistych x i y i określoną wzorem

F(x,y)=P(X<x,Y<y) czyli

F(x,y)=Pxy({(a,b): a<x, b<y)})

Własności dystrybuanty:

1.Dla dowolnych x₁ x₂ y₁ y₂ ∈R gdzie x₁<x₂ i y₁<y₂

mamy F(x₂,y₂) - F(x₁,y₂)-F(x₂'y₁)-F(x₁,y₁)>=0

2.F jest funkcją lewostronnie ciągłą

3.

Co zapisujemy krótko:

F(-∞,y)=0 , F(x,-∞)=0 , F(∞,∞)=1

Dana gęstość:

1.niewiadomą w f(x) gęstości obliczamy:

sumując całki z zakresów

2. Dystrybuantę obliczamy

Dana jest dystrybuanta:

1.niewiadomą obliczamy przyrównując granice do 1

2.gęstość obliczamu przez różniczkę dystrybuanty

f(x)=F'(x)

Prawdopodobieństwo

P(a<=x<=b)=F(b)-F(a) z dystrybuanty

P(a<=x<=b)=
z gęstości

P(|X|<=0,5)=P(-0,5<=X<=0,5)=

P(|X|<=0,5)=P(-0,5<=X<=0,5)=F(0,5)-F(-0,5)

Z odpowiedniego zakresu pamiętać

Sprawdzenie czy funkcja jest gęstością:

Obliczenie całki z funkcji f(x)

Sprawdzenie czy funkcja jest dystrybuantą:

Obliczenie pochodnej z funkcji F(x)

F'(x)=f(x) - otrzymujemy funkcję i sprawdzamy czy to jest gęstość (patrz wyżej)

Zmienna losowa skokowa:

K_x=(1,2,5) punkty w dystrybuancie po prawej

lub P(X=a)=

po lewej prawdopopdobieństwo

Tablica rozkłady prawdopodobieństwa (rozkład praw)

Ustalona funkcja prawdopodobieństwa (wykres to punkty)

xi	1	2	5
pi	0,2	0.6	0,2

Suma pi=1, pi>0

Wykres dystrybuanty to Y-największa wartość=1 (pi)

pi(3)=pi(1)+pi(2) sumujemy

Prawdopodobieństwo:

P(a<=X<b)=F(b)-F(a) z dystrybuanty tak samo jak w zmiennej losowej ciągłej

Wartość oczekiwana

Dla skokowej: m=E(x) =suma x_ipi -średnia

Dla ciągłej:
z gęstości

Moment zwykłyrzędu k:

Dla skokowej mk=E(x^k)=suma x_i^kp_i

Dla ciągłej:

Odchylenie od wartości: X_i-m

Wariancje:

1) (X_i-m.)² 2) p_i(x_i-m)² 3) V(X)=p_i(x_i-m)²

odchylenie średnie: δ=pierwiastek z V(x).

Rozstęp: R=x_max-x_min

Mediana (wartość środkowa):

Dystrybuanta = ½

Z szeregiem:

Prawdopodobieństwo p_k=P(X=k)=c/3^k

-wyznaczyć c:

p_k=c/3_k 1=suma p_k=suma c/3_k=

=c suma 1/3_k=x(1/3 + 1/9+..+)= suma a*q^k=

a=1/3 q=1/3 S=a/1-q |q|<1

= c 1/3 / 1-1/3 =1/2 c c=2

f(x) = 2 / 3^k

-dystrybuanta F(X) 0 dla x<=0; 2/3 dla 1<x<=2;

2/3 +2/9 dla 2<=x<=3...

- Obliczyć P(x>=4)

P(a)=1-P(A')

P(x>=4)=1-P(a<4)=1-P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1-

2/3 +2/9 +2/27 = 1/27

---