Ćwiczenia 15 MAD 22-01-2002-01-18

Rachunek prawdopodobieństwa

1. Rozważmy dwie zmienne losowe w przestrzeni W zlożonej z 36 wyników rzutu dwiema kostkami do gry : D(k,l)=|k - l| M(k,l) = max{k,l}

• znaleźć zbiory wartości zmiennych D i M,

• znaleźć rozkłady prawdopodobieństwa tych zmiennych,

• obliczyć P(D ≤1), P(M≤ 3), P(D ≤1 i M≤3),

• czy zmienne D i M są niezależne?

• wyznaczyć dystrybuanty zmiennych D i M.
  Odp.: f_D : : 0 1 2 3 4 5 f_M : : 1 2 3 4 5 6
  6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36
  

2. W urnie znajduje się 5 białych i 5 niebieskich kulek. Wybieramy losowo 4 kulki (bez zwracania). Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej X, która podaje liczbę wybranych kulek białych.
   Odp.: f_X : 0 1 2 3 4
   1/42 5/42 20/42 10/42 1/42
   

3. Udowodnij, że jeśli f jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X , to
    _{y∈ Re(X)} f_X(y) =1.
   

4. Urna zawiera 2 czarne i 3 białe kule. Wyjmujemy z urny po jednej kuli tak długo aż wyjmiemy kulę czarną. Znaleźć wartość oczekiwaną liczby losowań . Odp.: 2
   

5. Gracz rzuca 2 razy monetą. Otrzymuje 2zł., jeśli to są dwa orły, 1 zl jeśli wypadnie 1 orzeł i 0 zł., jeśli wypadną dwie reszki. Jaka jest wartość oczekiwana wygranej gracza? (1zl.)

---