Ćwiczenie 2

CHARAKTERYSTYKI CZASOWE

Obiektem regulacji nazywa się tę część układu regulacji, w której zachodzi regulowany proces. Jako wielkość wyjściową obiektu przyjmuje się parametr y(t), którego wartość informuje o przebiegu procesu w obiekcie (wielkość regulowana). Wielkościami wejściowymi są wymuszenia nastawiające (regulujące) u(t) oraz zakłócające z(t) (Rys. 11.l). Wymuszenie u jest wielkością wyjściową z urządzenia regulującego. Powoduje ono poprzez nastawnik(zawór, przepustnicę, itp.) zmianę w dopływie energii lub masy do obiektu. Wymuszenie zakłócające z jest oddziaływaniem zewnętrznym, powstałym np. wskutek zmiennych wpływów otoczenia. Projektowanie układów automatycznej regulacji wymaga znajomości właściwości obiektu statycznych i dynamicznych obiektów. Właściwości te mogą być wyznaczone analitycznie lub doświadczalnie.

Rys. 2. 1. Schemat blokowy obiektu

Postępowanie analityczne sprowadza się do znalezienia równania różniczkowego, wiążącego sygnał wyjściowy y(t) z sygnałem wejściowym u(t).Korzysta się przy tym z praw fizycznych i chemicznych, obowiązujących dla danego procesu, oraz z właściwości urządzenia, w którym ten proces zachodzi. Większość metod analitycznych ma małe znaczenie praktyczne, zwłaszcza dla procesów złożonych, gdyż są one pracochłonne i prowadzą do wyników nieścisłych lub trudnych do wykorzystania ze względu na złożoną formę matematyczną. W tych przypadkach szczególnego znaczenia nabierają metody doświadczalne. Można wyróżnić trzy najważniejsze grupy metod doświadczalnego wyznaczania właściwości dynamicznych:

- wyznaczanie odpowiedzi obiektów na zdeterminowane standardowe sygnały wymuszające, tzw. charakterystyki czasowe,

- wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych dla wymuszeń harmonicznych,

- wyznaczanie przebiegów czasowych dla wymuszeń przypadkowych

(stochastycznych).

Na podstawie kształtu charakterystyki skokowej obiekt można zaklasyfikować do jednej z klas: obiekt z wyrównaniem i bez wyrównania. Dalej na podstawie opracowania graficznego wykresu można wyznaczyć parametry modelu zastępczego w danej klasie.

1. Wyznaczanie charakterystyk czasowych

Wyznaczanie charakterystyki czasowej polega na pomiarze odpowiedzi obiektu na zdeterminowaną standardową zmianę wielkości wejściowej. Najczęściej stosowanym wymuszeniem jest sygnał skokowy i wyznaczona odpowiedź nosi nazwę charakterystyki skokowej lub odpowiedzi skokowej obiektu. Przed wprowadzeniem wymuszenia skokowego badany obiekt powinien się znajdować w stanie ustalonym. Wybór wartości skoku zależy od intensywności istniejących w czasie pomiaru zakłóceń oraz od stopnia nieliniowości obiektu. Przyjmuje się, że wartość skoku powinna wynosić 5-15% zakresu dopuszczalnych zmian wielkości wejściowej. Należy pamiętać, aby po zrealizowaniu skokowej zmiany, wielkość wejściowa była utrzymywana na nowym poziomie przez czas przeprowadzania badań (patrz Rys. 11.3).Gdy ze względów eksploatacyjnych nie jest wskazane lub nie jest możliwe stosowanie wymuszenia skokowego (konieczność długotrwałego utrzymywania wartości wymuszającej), należy się posłużyć wymuszeniem impulsowym, najlepiej impulsem prostokątnym. Impuls taki (Rys. 11.2) można traktować jako kolejne dwa wymuszenia skokowe o tej samej amplitudzie *u, ale o przeciwnych znakach i. przesunięte w czasie o t_i.

Otrzymaną odpowiedź obiektu y(t) można zapisać

(1)

gdzie przez h(t) oznaczono odpowiedź obiektu na wymuszenie skokowe o amplitudzie *u .

Rys. 2. 2. Wyznaczanie odpowiedzi skokowej h(t) na podstawie odpowiedzi na wymuszenie impulsem prostokątnym

Z zależności (1) wynika wzór określający szukaną odpowiedź skokową obiektu

(2)

Konstrukcję graficzną odpowiadającą zależności (2) pokazano na Rys. 11.2. Do chwili t = ti przebieg y(t) i charakterystyka h(t) pokrywają się. Dla następnych chwil (t>ti) do przebiegu y(t) należy dodawać wartości h z odpowiednich chwil poprzednich (t-t_i ).

Zaleca się, aby amplituda *u wymuszenia impulsowego wynosiła

15-25% zakresu zmian wielkości u.

2. Wyznaczanie transmitancji obiektów z odpowiedzi skokowych

Otrzymane w wyniku badań charakterystyki skokowe obiektów stosuje się do wyznaczenia modelu w postaci transmitancji operatorowej. Rzeczywiste transmitancje operatorowe mają najczęściej złożoną postać i wiele współczynników. Wyznaczenie, z dostateczną dokładnością, takich transmitancji na podstawie charakterystyki skokowej jest trudne. Dlatego wyznacza się na ogół zastępczą transmitancję, która przybliża rzeczywiste własności obiektu. Ze względu na kształt charakterystyki skokowej obiekty termoenergetyczne podzielono na dwie grupy:

- obiekty z wyrównaniem (statyczne),

- obiekty bez wyrównania (astatyczne).

Odpowiedź skokowa obiektów z wyrównaniem, po upływie dostatecznie długiego czasu, osiąga nowy stan ustalony. Transmitancje zastępcze obiektów statycznych zawierają człony inercyjne i ewentualnie człon opóźniający. Odpowiedź skokowa obiektów bez wyrównania wzrasta nieograniczenie nie osiągając stanu ustalonego. Transmitancje zastępcze tych obiektów reprezentują połączenie szeregowe członu całkującego z członami inercyjnymi i ewentualnie z członem opóźniającym. Przyjmuje się, że w obiektach termoenergetycznych nie występują człony oscylacyjne.

2.1. Obiekty z wyrównaniem

Typową odpowiedź skokową obiektu z wyrównaniem przedstawiono na Rys. 11.3. Opracowanie takiej charakterystyki sprowadza się do określenia wartości y_∞ oraz y₀ (y₀ nie musi być równe 0) i narysowania asymptoty poziomej y_∞.Należy także wyznaczyć styczną w punkcie przegięcia. Punkt przegięcia funkcji to taki punkt, w którym zmienia się jej wypukłość. Jeżeli funkcja jest wypukła, to styczna leży pod krzywą. Jeżeli funkcja jest wklęsła to styczna leży nad krzywą. Punkt przegięcia pojawia się w charakterystykach skokowych obiektów, które zawierają co najmniej inercję II rzędu. Styczna ta odcina na osi czasu stałe czasowe:

T₀ - zastępcze opóźnienie obiektu i T_z - zastępcza stała czasowa z obiektu. Dodatkowo należy jeszcze wyznaczyć współczynnik wzmocnienia obiektu k₀ = *y/*u. Otrzymane wyniki pozwalają temu obiektowi przyporządkować model zastępczy, składający się z członu inercyjnego I rzędu i członu opóźniającego, połączonych szeregowo (Rys. 11.4).

Rys. 2. 3. Charakterystyka skokowa obiektu z wyrównaniem

(3)

gdzie

(4)

to transmitancja członu inercyjnego , natomiast

(5)

to transmitancja członu opóźniającego.

Model (3) jest znany w literaturze jako model Küpfmüllera. Służy on między innymi do wyboru rodzaju regulacji i struktury układu regulacji. Ważną rolę odgrywa w tym stosunek T₀/T_z, definiujący własności regulacyjne obiektu. Im większa jest wartość stosunku T₀/T_z, tym gorsze własności regulacyjne wykazuje obiekt. Obniżenie rzędu inercyjności jest kompensowane wprowadzeniem członu opóźniającego.

Rys. 2. 4. Model zastępczy obiektu z wyrównaniem

Lepsze przybliżenie właściwości dynamicznych obiektu statycznego zapewnia metoda Strejca [2], [3]. W metodzie tej oprócz stałych, należy wyznaczyć wartości T, T_t , k₀ oraz n, gdzie n-rząd inercyjności, T_t - opóźnienie transportowe.·Model transmitancji zastępczej proponowany przez Strejca ma postać:

(6)

Strejc wykazał, te obiekty o transmitancji (6) charakteryzują następujące związki (w rozważaniach przyjęto, że T_t reprezentuje opóźnienie transportowe):

T_z = f(n,T)

T₀ = f(n.T,T_t)

T₀/T_z = f(n,T_t); dla T_t=0 T₀/T_z = f(n)

t_p = f(n,T,T_p)

h_p = f(n).

Związki te narzucają sposób postępowania podczas wyznaczania transmitancji zastępczej (6). Wielkością zależną jedynie od rzędu inercyjności n, jest h_p oraz w pewnych przypadkach T₀/T_z. Warto zaznaczyć, że w praktycznym postępowaniu określenie wartości współrzędnej punktu przegięcia h_p jest mniej dokładne niż wyznaczenie wartości stosunku T₀/T_z. Jeśli zatem wiadomo, że badany obiekt nie ma opóźnienia transportowego (T_t=0), to korzystniej jest posługiwać się stosunkiem T₀/T_z

Tabela 1

Wielkości charakterystyczne odpowiedzi skokowej modelu inercyjnego o transmitancji G(s) = 1/(Ts + 1)ⁿ

n	hp	T0/Tz	Tz/T	T0M/T
1	0	0	1	0
2	0,264	0,104	2,718	0,282
3	0,323	0,218	3,695	0,805
4	0,353	0,319	4,463	1,425
5	0,371	0,410	5,119	2,100

Aby wyznaczyć transmitancję zastępczą (6), zaleca się następujące postępowanie:

1. Z tabeli 1, na podstawie wartości h_p lub T₀/T_z należy odczytać rząd n inercyjności zastępczej. Jeżeli wartości te znajdą się między dwoma wierszami tabeli, to trzeba przyjąć wartość n mniejszą, odpowiednią dla wiersza wyższego.

2. Dla wyznaczonej wartości n odczytać z tabeli T_z /T oraz T_0M/T gdzie T_0M jest pomocniczą stałą czasową reprezentującą opóźnienie zastępcze inercyjnej części modelu (6).

3. Obliczyć wartości T, T_0M oraz T_t:

T = (T_z): (T_z/T)

T_0M=(T_0M/T)T

T_t= T₀ - T_0M

4. Obliczyć k₀=Δy/Δu (jak w modelu Küpfmüllera).

Uzyskana w wyniku zaproponowanego postępowania wartość T_t jest sumą opóźnienia transportowego obiektu (opóźnienie czyste) oraz opóźnienia zastępczego, wynikającego z niezgodności rzędu inercyjności modelu i obiektu. Proponowane sposoby wyznaczania transmitancji zastępczych nie są oparte na wybranych procedurach optymalnych, gwarantujących np. minimalizację całki kwadratu różnicy między odpowiedziami modelu i obiektu, lecz na arbitralnej konstrukcji. graficznej. Dlatego uzyskane transmitancje zastępcze mają ograniczone zastosowanie. Transmitancja (3)jako najmniej dokładna, powinna być używana do klasyfikacji obiektów i wstępnego oszacowania własności regulacyjnych obiektu. Dla doboru nastaw w układach regulacji dokładność, z jaką ta transmitancja przybliża własności obiektu, jest na ogół zbyt mała. Jeśli rzeczywisty rząd inercyjności obiektu n > 3, to posłużenie się w doborze nastaw regulatora transmitancją (3) może powodować, ze wyznaczone nastawy nie będą optymalne, a nawet mogą prowadzić do niestabilności strojonego układu regulacji. W doborze nastaw regulatora można się posłużyć transmitancją zastępczą, reprezentującą szeregowe połączenie członu inercyjnego pierwszego rzędu z członem opóźniającym, ale należy skorygować wartości stałych czasowych. Sposób korekty zaproponował Rotacz [4]. Według Rotacza stałe czasowe transmitancji zastępczej (7) mają być tak dobrane, aby jej charakterystyka skokowa była styczna do charakterystyki obiektu w punkcie przegięcia P (Rys. 11.5). Otrzymana transmitancja

(7)

gdzie

T_zr=T_z(1-h_p) - zastępcza stała czasowa

T_0r=T₀+T_zh_p-T_zrln(1/1-h_p)) - opóźnienie zastępcze

Należy zauważyć, że

T_zr<T_z ; T_0r>T₀ oraz T_0r/T_zr>T₀/T_z .

Posłużenie się transmitancją zastępczą (7) w doborze nastaw zapewnia poprawne przebiegi przejściowe i jakość regulacji zbliżoną do założonej. Jeśli transmitancja zastępcza ma służyć do badań symulacyjnych, to należy się posłużyć transmitancją zaproponowaną przez Strejca (6), która najlepiej przybliża własności obiektu.

Rys. 2. 5. Porównanie charakterystyki skokowej obiektu z charakterystykami transmitancji zastępczych: 1 - charakterystyka obiektu, 2 - charakterystyka wyznaczona wg transmitancji (3), 3 - charakterystyka wyznaczona wg transmitancji (6), 4 - charakterystyka wyznaczona wg transmitancji (7).

2.2. Obiekty bez wyrównania

Charakterystyka obiektu bez wyrównania (astatycznego) i jej sposób graficznego opracowania pokazano na Rys. 11.6. Najczęściej stosowane transmitancje zastępcze obiektów bez wyrównania przedstawiają zależności

(9)

(8)

Rys. 2. 6. Charakterystyka skokowa obiektu bez wyrównania

Stałe, występujące w transmitancjach (8) i (9), uzyskujemy w wyniku przedłużenia, aż do przecięcia z osią odciętych, prostoliniowej części charakterystyki skokowej obiektu (Rys. 11.6). Prosta ta odcina na osi czasu stałą czasową T₀. Stałą czasową T_c wyznaczamy z zależności

(10)

Iloraz =Δy/Δt określa tangens kąta nachylenia asymptoty ukośnej. Na rysunku 7 porównano charakterystykę skokową obiektu z charakterystykami skokowymi transmitancji zastępczych.

Rys. 2.7. Porównanie charakterystyk skokowych obiektu astatycznego i jego transmitancji zastępczych: 1 - obiekt 2 - model, a) dotyczy transmitancji (8), b) dotyczy transmitancji (9)

3. Wyznaczanie transmitancji zastępczych przy rzeczywistych realizacjach wymuszeń

W badaniach obiektów przemysłowych nie zawsze jest możliwa realizacja idealnych zmian skokowych wielkości wejściowej. Rzeczywiste realizacje wymuszeń skokowych i impulsowych mają często kształty pokazane na Rys. 11.8. W takich przypadkach, aby wyznaczyć transmitancje zastępcze, można stosować analogiczne postępowanie jak przy wymuszeniach idealnych, przyjmując za chwilę wprowadzenia skoku połowę czasu narastania (t=a/2) wymuszenia rzeczywistego. Jeżeli względny czas narastania a/T < 0,1, to z wyznaczone w tych przypadkach wartości zastępczych stałych czasowych T₀ i T_z są oszacowane z błędem nie przekraczającym 2,0%. Dla przypadków, w których stosunek a/T_z > 0,1 celowe jest wprowadzenie poprawek uwzględniających wpływ czasu narastania wymuszenia [1]

Rys. 2. 8. Przykłady rzeczywistych realizacji wymuszeń

4. Opis stanowiska

Stanowisko składa się z elektrycznego symulatora układu inercyjnego trzeciego rzędu, zasilacza oraz rejestratora X-Y(Rys. 11.9). Stałe czasowe trzech połączonych szeregowo członów inercyjnych pierwszego rzędu można regulować w zakresie 0*50 s za pomocą potencjometrów P1-P3. Pobudzenie podajemy na zacisk oznaczony WEJ, sygnał wyjściowy mierzymy na zacisku symulatora oznaczonym jako WYJ. Schemat wewnętrzny symulatora pokazano na Rys. 11.10.

Rys. 2.9 Schemat blokowy stanowiska

Rys. 2. 10. Uproszczony schemat wewnętrzny symulatora obiektu inercyjnego trzeciego rzędu.

Rys. 2.11 Przykładowa symulacja obiektu inercyjnego trzeciego rzedu oraz trzech jego przybliżeń dokonanych za pomocą transmitancji (3), (6) i (7) , zrealizowana za pomocą pakietu Matlab-Simulink.

5. Zadania do wykonania

1. Wyznaczyć przebiegi charakterystyk dynamicznych wskazanych obiektów metodą skokową oraz metodą impulsu prostokątnego.

2. Wyznaczyć współczynniki wzmocnienia i stale czasowe, przyporządkować badanym obiektom odpowiadające im transmitancje zastępcze.

3. Porównać wartości współczynników transmitancji zastępczych uzyskane przy wymuszeniach skokowych i impulsowych. Wypowiedzieć się na temat powodów ewentualnych niezgodności

4. Porównać odpowiedzi skokowe obiektów i ich transmitancji zastępczych.

6. Pytania kontrolne

1. Metody wyznaczania właściwości dynamicznych obiektów.

2. Wyznaczanie charakterystyk czasowych.

3. Podział obiektów.

4. Definicja transmitancji operatorowej.

5. Własności funkcji w punkcie przegięcia.

6. Transmitancje zastępcze obiektów z wyrównaniem i sposoby wyznaczania ich parametrów.

7. Transmitancje zastępcze obiektów bez wyrównania.

LITERATURA

[1] Chorowski B., Krzyżak W., Wyznaczanie współczynników transmitancji dla skończonej szybkości zmian sygnału wejściowego, Pr. nauk. Inst.Techn. Cieplnej i Mech. Plynów PWr. nr 16, SiM 12, Wrocław 1978.

[2] Chorowski B., Werszko M., Automatyzacja procesów przemysłowych-podstawy, Wyd. PWr., Wrocław 1981, s.85-95

[3] Findeisen W., Technika regulacji automatycznej, PWN, Warszawa 1978, s.51-62.

[4] Noskov A.I., Rotacz W.J., K voprosa ob aproksymacji vremiennoj charakteristiki obiekta aperiodiceskim zvienom 1-ogo poriadka s zapazdyvaniem, Energetika nr 7, 1964.

---