6. Twierdzenie o próbkowaniu i jego znaczenie praktyczne.

Twierdzenie o próbkowaniu daje odpowiedź, w których miejscach profilu terenu należy pomierzyć punkty, przy założeniu, że profil terenu odpowiada sygnałowi i że pomiar odbywa się z określonym interwałem ΔX. Jest to dyskretyzowanie z interwału ΔX, mierzone w postaci dyskretnych punktów. Musimy dobrać taki interwał, aby był mniejszy od połowy długości fali w sygnale:

ΔX≤
=
=
;

gdzie:

ΔX - próbkowanie f_max - max częstotliwość, ω_g -częstotliwość graficzna, ω = 2пf -częstotliwość kołowa l_min -minimalna długość fali

Oznacza to, że na jedną próbkę (ΔX) pomierzone są dwie wartości.

Jeśli konkretna wartość jest zawarta w próbkowaniu, to możemy odtworzyć zawarte informacje uwidocznione po analizie spektralnej. Czyli analiza spektralna to przeniesienie problemu do innych dziedzin, np. pomiar w współrzędnych xy (dziedzina w przestrzeni euklidesowej) w sygnał rejestrowany w czasie (przejście w dziedzinę częstotliwości).

Jest to fundamentalne twierdzenie o przetwarzaniu sygnału, zawarta jest kompletna informacja o danym sygnale (analiza spektralna)

PRZEDSTAWIĆ IDEĘ KOLOKACJI METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (opracowane na podstawie wykładów)

W materiale obserwacyjnym można wyróżnić:

-część regularną (deterministyczną) - trend (x)

-część regularną (stochastyczną) - sygnał (s)

-część nieregularną (stochastyczną) - szum pomiarowy (n)

KOLOKACJA (łac. kolokale = połączenie, kombinacja) - uogólnienie metody najmniejszych kwadratów, w którym uwzględnia się dwa składniki błędu, tzw. szum oraz skorelowany sygnał, który charakteryzuje się przyjętą funkcją korelacji.

Kolokacja łączy w sobie:

-estymację trendu,

-filtrację - oddzielenie szumu pomiarowego,

-predykcję (interpolację) - określenie wartości w punktach, w których nie wykonano pomiaru.

Model kolokacji: L = Ax + (s + n) = Ax + ε, gdzie:

L - wektor obserwacji

A - prostokątna macierz zawierająca współczynniki przy niewiadomych

x - wektor niewiadomych (trend) s - część regularna wektora losowego (sygnał)

n - część nieregularna (szum). ε = s + n założenie: s i n są niezależne

Metoda najmniejszych kwadratów polega na minimalizacji sumy kwadratów błędów, dlatego ε^TP ε -> min, czyli n^TCnn^-1n + s^TCss^-1s ->min. Taki warunek trzeba założyć, aby rozwiązać model kolokacji.

W przypadku szczególnym, gdy s = 0 (czyli sygnał jest równy 0), wtedy Css = 0 i Csps = 0.

Mamy wówczas do czynienia z metodą najmniejszych kwadratów: X = (A^TCnn^-1A)^-1A^TCnn^-1L.

Kolokacja jest więc uogólnieniem metody najmniejszych kwadratów.

3.Metoda M-estymatorów i jej związek z metodą najmniejszych kwadratów.

Budowanie modelu odbywa się poprzez wyznaczenie parametrów modelu na podstawie obserwacji. Niektóre z tych obserwacji mogą być obarczone błędami grubymi i wpływać na nieprawidłowe oszacowanie tych parametrów.

Metody odporne są wykorzystywane do eliminowania wpływu obserwacji obarczonych błędami grubymi na szacowane parametry modelu. Jedną z tych metod jest metoda M-estymatorów.

Wyznaczenie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji odbywa się tu podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, z ta różnicą, że w metodzie najmniejszych kwadratów nie eliminuje się wpływu obserwacji obarczonych błędami grubymi na wyznaczane parametry. W metodzie M-estymatorów odbywa się to poprzez odpowiednie wagowanie tych obserwacji (wprowadza się funkcję wagową). W metodzie najmniejszych kwadratów można ewentualnie wykryć za pomocą testów statystycznych takie obserwacje, a następnie usunąć je ze zbioru danych.

Tok postępowania w metodzie M-estymatorów przebiega podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, ale w przeciwieństwie do tej drugiej przebiega iteracyjnie. Kolejne iteracje przebiegają jak wyznaczanie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji w metodzie pośredniczącej ,ale w każdej kolejnej iteracji tworzy się nową macierz wag, w której wagi obserwacji obarczonych błędami grubymi są coraz mniejsze.

---