EGZAMIN ALL, Geodezja, ZMOO, Egzamin


1. Omówić metody interpolacji lokalnej pól skalarnych. Wybraną metodę pokazać na przykładzie.

Metody interpolacji lokalnej polegają na tym, że do wyznaczenia wartości w danym punkcie wybieramy punkty z najbliższego otoczenia tego punktu.

Do metod lokalnych zaliczamy:

gdzie waga jest odwrotnością odległości (lub kwadratu odległości) między punktem ze znana wartością a punktem interpolowanym 0x01 graphic
, k=-1 lub k=-2

Tworzymy wielomian taki, aby płaszczyzna przechodziła przez interpolowany punkt, np.: z(x,y) = ao + a1x + a2y + a3xy…

Wyznaczamy wartości a:

a = (ATPA)-1 * ATP * w , gdzie w- wartość w punktach powierzonych, P- waga - odwrotność odległości od punktu interpolowanego

Wartości x wyznaczamy na podstawie:

x = ATPA-1 * ATPL

Macierz L- wektor znanych wartości z

  1. Zostały podane współrzędnie (x, y) 4 punktów oraz 3 wysokości. Należało wyinterpolować wysokości punktu nr 4 dowolną metodą.

  1. Mając dane P1( 0 ; 0 ; 10 ) , P2( 10 ; 0 ; 20 ) , P3( 10 ; 10 ; 30 ) , wyinterpoluj wysokość w punkcie P5( 5 ; 5 ; z ) stosując metodę interpolację wielomianową.

2. Przedstawić ideę kolokacji metodą najmniejszych kwadratów.

W materiale obserwacyjnym można wyróżnić:

-część regularną (deterministyczną) - trend (x)

-część regularną (stochastyczną) - sygnał (s)

-część nieregularną (stochastyczną) - szum pomiarowy (n)

KOLOKACJA (łac. kolokale = połączenie, kombinacja) - uogólnienie metody najmniejszych kwadratów, w którym uwzględnia się dwa składniki błędu, tzw. szum oraz skorelowany sygnał, który charakteryzuje się przyjętą funkcją korelacji.

Kolokacja łączy w sobie:

-estymację trendu,

-filtrację - oddzielenie szumu pomiarowego,

-predykcję (interpolację) - określenie wartości w punktach, w których nie wykonano pomiaru.

Model kolokacji: L = Ax + (s + n) = Ax + ε, gdzie: Rys…

L - wektor obserwacji

A - prostokątna macierz zawierająca współczynniki

przy niewiadomych

x - wektor niewiadomych (trend)

s - część regularna wektora losowego (sygnał)

n - część nieregularna (szum).

ε = s + n

założenie: s i n są niezależne

Metoda najmniejszych kwadratów polega na minimalizacji sumy kwadratów błędów, dlatego εTP ε -> min, czyli nTCnn-1n + sTCss-1s ->min. Taki warunek trzeba założyć, aby rozwiązać model kolokacji.

W przypadku szczególnym, gdy s = 0 (czyli sygnał jest równy 0), wtedy Css = 0 i Csps = 0.

Mamy wówczas do czynienia z metodą najmniejszych kwadratów: X = (ATCnn-1A)-1ATCnn-1L.

Kolokacja jest więc uogólnieniem metody najmniejszych kwadratów

3. Metoda M-estymatorów i jej związek z metodą najmniejszych kwadratów.

Budowanie modelu odbywa się poprzez wyznaczenie parametrów modelu na podstawie obserwacji. Niektóre z tych obserwacji mogą być obarczone błędami grubymi i wpływać na nieprawidłowe oszacowanie tych parametrów.

Metody odporne ( w tym M-estymatorów) są wykorzystywane do eliminowania wpływu obserwacji obarczonych błędami grubymi na szacowane parametry modelu.

Wyznaczenie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji odbywa się tu podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, z ta różnicą, że w metodzie najmniejszych kwadratów nie eliminuje się wpływu obserwacji obarczonych błędami grubymi na wyznaczane parametry. W metodzie M-estymatorów odbywa się to poprzez odpowiednie wagowanie tych obserwacji (wprowadza się funkcję wagową). W metodzie najmniejszych kwadratów można ewentualnie wykryć za pomocą testów statystycznych takie obserwacje, a następnie usunąć je ze zbioru danych.

Tok postępowania w metodzie M-estymatorów przebiega podobnie jak w metodzie najmniejszych kwadratów, ale w przeciwieństwie do tej drugiej przebiega iteracyjnie. Kolejne iteracje przebiegają jak wyznaczanie parametrów modelu i wyrównanie obserwacji w metodzie pośredniczącej ,ale w każdej kolejnej iteracji tworzy się nową macierz wag, w której wagi obserwacji obarczonych błędami grubymi są coraz mniejsze.

Przebieg obliczeń w metodzie M-estymatorów jest następujący:

1.Pierwsze wyznaczenie parametrów modelu : 0x01 graphic

2.Wyznaczenie poprawek v obserwacji: 0x01 graphic
k- nr iteracji

3.Obliczenie funkcji wagowej w: w(k)=diag (w1(k) w2(k) ... wn(k) )

4.Kolejne wyznaczenie parametrów x: 0x01 graphic

5.Wyznaczenie różnicy między wektorami parametrów wyznaczonymi w 2-ch kolejnych iteracjach:

ε=x(k+1)-x(k)

Proces iteracyjny kończy się ,gdy ε osiągnie dopuszczalną wartość.

  1. Podczas estymacji pewnej liczby parametrów metodą M-estymatorów uzyskano macierz projekcji:

H= 0x01 graphic

Które obserwacje mogą być obserwacjami dźwigniowymi?

4. W jaki sposób eliminowany jest praktycznie wpływ błędów grubych w metodzie M-estymatorów wg Hubera? Co to są obserwacje dźwigniowe oraz punkt załamania metody?

Praktyczny sposób eliminowania błędów grubych według Hubera.

Należy przeprowadzić test Hubera dla funkcji wagowej:

gdzie:

0x08 graphic
wi - waga obserwacji

v - poprawki obserwacji

k - dobrany współczynnik k > 0

mv - błąd poprawki,

c = k mv

Oznacza to, że dla wartości poprawek, które się mieszczą w przedziale poprawek wagi mają wartości 1, poprawki, które nie leżą w tym przedziale, traktowane są jako błędy grube. Modyfikacja układu nadaje mniejsze wagi. Im mniejsza waga, tym mniejszy wpływ obserwacji na wynik końcowy.

Obserwacje dźwigniowe

Są to obserwacje, które leżą daleko od środka ciężkości pozostałych obserwacji (od geometrycznie uporządkowanych stałych punktów). Występujące w tych obserwacjach błędy grube są szczególnie niebezpieczne. Punkty dźwigniowe można określić na podstawie analizy geometrii. Można zaplanować obserwacje tak, żeby obserwacje dźwigniowe wykonać z większą dokładnością lub zwiększyć ich ilość.

Obserwacja jest obserwacją dźwigniową, jeśli wartość hii w macierzy projekcji jest duża, tzn. większa od wartości średniej hśr = 0x01 graphic
, gdzie m - liczba wyznaczanych parametrów, n - liczba obserwacji. Oznacza to, że duże obserwacje mają większą wartość od wartości średniej hii> hśr

Macierz projekcji H = A(ATA)-1AT opisuje geometrie macierzy

Punkt załamania metody

Jest to procentowy udział obserwacji obarczonych błędem grubym, przy których metoda oporna daje poprawne wyniki. Może wystąpić w przypadku występowania ukrytych obserwacji dźwigniowych, wówczas błędy grube nie są wykrywalne i dochodzi do załamania metody.

  1. W wyniku estymacji dwóch parametrów pewnego modelu otrzymano następujące poprawki do wielkości obserwowanych V [ 1,0 ; -0,3 ; 1,2 ; -11,3 ; 27 ; 0,5 ; -4,4 ; 1,2 ; -0,9]. Aby weliminowac wpływ błędów grubych zastosowano metodę M-estymatorów z funkcją wagową wg Hubera. Przyjmując, że błędy normalne mieszczą się w przedziale pojedynczego odchylenia standardowego. Zestawić macierz wagową dla drugiego kroku iteracji .

ktorym trzeba bylo znalezc wartosc srednia wielkosci, poslugujac sie metoda m-estymatorow wg hubera

5. Metody radialnych funkcji bazowych.

Metoda radialnych funkcji bazowych należy do globalnych metod interpolacyjnych (funkcję interpolacyjną buduje się tu w oparciu o cały obszar danych).

Wartość w punkcie interpolowanym (mając jego współrzędne x i y) w tej metodzie wyznacza się wg następującego wzoru:

0x01 graphic
.

αii-nieznane parametry

R( ri ( x, y))-radialne funkcje wagowe (zależą od odległości poziomej -w płaszczyźnie x ,y -r).

ri2=(x-xi)2+(y-yi)2

xi,yi -współrzędne punktu i pomiarowego, w którym zmierzono wartość zi

Pj (x,y)- wielomian rzędu k

Jednym z przykładów radialnych funkcji bazowych jest spline minimalnej krzywizny, dla którego radialna funkcja bazowa ma postać:

R=ri2ln( ri2),

a wielomian Pj: ν0010x +ν01y.

Wzór na wartość interpolowaną w punkcie o współrzędnych x,y ma postać:

* 0x01 graphic
,

gdzie λiij -nieznane parametry( n+3 niewiadome),

n- liczba punktów pomiarowych

Równania powyższej postaci układamy dla każdego i-tego punktu pomiarowego .

Do tak utworzonego układu równań dodajemy 3 równania:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

W oparciu o n równań * i 3 powyższe równania wyznaczamy parametry λiij.

Po ich wyznaczaniu możliwe będzie wyznaczenie w dowolnym punkcie o współrzędnych x, y wartości z, w oparciu o wzór *.

6. Twierdzenie o próbkowaniu i jego znaczenie praktyczne.

Twierdzenie o próbkowaniu daje odpowiedź, w których miejscach profilu terenu należy pomierzyć punkty, przy założeniu, że profil terenu odpowiada sygnałowi i że pomiar odbywa się z określonym interwałem ΔX. Jest to dyskretyzowanie z interwału ΔX, mierzone w postaci dyskretnych punktów. Musimy dobrać taki interwał, aby był mniejszy od połowy długości fali w sygnale:

ΔX≤0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
;

gdzie:

ΔX - próbkowanie

fmax - max częstotliwość,

ωg -częstotliwość graficzna,

ω = 2пf -częstotliwość kołowa

lmin -minimalna długość fali

Oznacza to, że na jedną próbkę (ΔX) pomierzone są dwie wartości.

Jeśli konkretna wartość jest zawarta w próbkowaniu, to możemy odtworzyć zawarte informacje uwidocznione po analizie spektralnej. Czyli analiza spektralna to przeniesienie problemu do innych dziedzin, np. pomiar w współrzędnych xy (dziedzina w przestrzeni euklidesowej) w sygnał rejestrowany w czasie (przejście w dziedzinę częstotliwości).

Jest to fundamentalne twierdzenie o przetwarzaniu sygnału, zawarta jest kompletna informacja o danym sygnale (analiza spektralna)

  1. Idea analizy spektralnej sygnałów i twierdzenie o próbkowaniu

Twierdzenie Fouriera

Każda funkcja w przedziale (0, l) może być przedstawiona w postaci (funkcji harmonicznych o składowych sin i cos) sumy składowych harmonicznych.

Zakładamy, że średnia wartość sygnału jest równa zero. Wtedy profil terenowy można zapisać jako suma składowych terenowych:

0x01 graphic

0x01 graphic
- nieskończony szereg składowych harmonicznych

gdzie

ak ,bk - współczynniki wartości stałe

Ten sam szereg możemy zapisać w sposób:

0x01 graphic
, k=1,2,3 ….∞

0x01 graphic
- amplituda sygnału 0x01 graphic
- kąt fazowy.

W tym zapisie następuje oddzielenie amplitudy od fazy, jest to wygodne przy różnego rodzaju analizach.

Całość współczynnika Ck nazywa się spektrum amplitudowym, a całość Ck2 nazywa się widmem mocy sygnału.

Każdej amplitudzie przypisana jest określona częstotliwość, która równa się odwrotności długości fali: fk=k/l

W praktyce nie mamy pomiaru ciągłego tylko wartości pomierzone (dyskretny pomiar) rys. 1.

Rys. 1 rys.2

0x01 graphic
0x01 graphic

Ile powinno wynosić Δx, aby pomierzone dyskretnie wartości zawierały informacje o ciągłym pomiarze. Interwał ten należy wybrać korzystając z tw. o próbkowaniu:

0x01 graphic
,

lmin - minimalna długość fali

ω=2Πf, ωg - częstotliwość graniczna,

Twierdzenie to mówi, że powinniśmy wykonywać dyskretny pomiar Δx o wartości mniejszej od lmax/2, co zagwarantuje, że nie trafimy na wartości zerowe i zostanie uwzględniona składowa spektralna - rys. 2

Nieskończony szereg Fouriera można zapisać jako skończony szereg ∞->m, gdzie x=j Δx.

0x01 graphic

Przyjmując, że Ck = 0, Δx=0 możemy wyznaczyć współczynniki ak, bk - składowe spektralne

0x01 graphic
0x01 graphic

Mają obliczone składowe spektralne a i b - spektrum amplitudowe, za pomocą odwrotnej transformaty Fouriera IFFT można wyliczyć oryginalny sygnał. Liczba pomiarów musi być 2n - to wtedy algorytm transformaty jest efektywny.

7. Sieć Swobodna, Wyrównanie wyników pomiarów, Etapy wyrównania sieci swobodnej.

Sieć swobodna to sieć geodezyjna, która nie posiada zdefiniowanego układu odniesienia. Inaczej jest to sieć o niezerowym defekcie zewnętrznym (defekt układu odniesienia).Sieć swobodna posiadająca natomiast defekt sieci wynikający z układu nawiązania (brak dostatecznego nawiązania do układu zewnętrznego) d= m - R(A) > 0.

Sieć swobodna jest to sieć niezależna, która ma ustalone powiązanie z układem odniesienia poprzez powstanie ogólnego warunku VTPV+XTX= min. Sieć ta wyróżnia się dodatkowym spośród wszystkich możliwych warunków sieci niezależnych ma najmniejszą sumę kwadratów błędów średnich wyznaczanych parametrów. Suma poszczególnych parametrów powinna być równa 0.

Wyrównanie wyników pomiarów polega na wyznaczeniu estymatorów wartości prawdziwej mierzonej wielkości. W przypadku, gdy odchylenie standardowe nie jest znane, należy również wyznaczyć estymator tego parametru. Aby móc wyrównać sieć i uzyskać współrzędne w określonym układzie należy usunąć defekt sieci tzn. doprowadzić do takiego stanu, aby r=k, rząd macierzy A był równy liczbie niewiadomych pośredniczących.

Sieć swobodna niedowiązywana do układu odniesienia nie ma punktów stałych.

Wyrównanie sieci swobodnej:

  1. Podejście pragmatyczne - dopisanie równań pseudoobserwacji B do macierzy A i nadanie im dużych wag;

  2. Podejście ścisłe:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
=0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- odwrotność uogólniona

0x01 graphic
- pseudoodwrotność

Sieć swobodną wyrównuje się poprzez nałożenie na wyrównywane parametry odpowiednich warunków:

nakłada się warunek na przesunięcie w kierunku H

warunek na przesunięcie w kierunku X, Y

warunek na obrót w płaszczyźnie XY

warunek na skalę

warunek na przesunięcie w kierunku X, Y, Z

warunek na obrót wokół osi X, Y, Z

warunek na skalę

Etapy wyrównania sieci swobodnej:

Mając dane współrzędne pkt, odległości, błędy odległości, kąty:

  1. Obliczamy współrzędne przybliżone, obserwacje przybliżone

  2. Układamy równania poprawek dla długości i kątów

  3. Ogólny układ obserwacyjny V=Ax-L

  4. Macierz kowariancji pierwotnych obserwacji „C”

  5. Układamy ostateczną macierz wag P=C(-1), ATPA

  6. Nakładamy warunki (na wysokość)

  7. Układamy macierz Kofaktorów „Q”

  8. Rozwiązujemy układ z charakterystyką dokładności dx=QATPL, V=Adx-L

  9. Obliczamy defekt sieci

  10. Błędy niewiadomych

  11. Wyrównujemy współrzędne, odległości, kąty

  12. Błędy poprawek

  13. Ocena dokładności wyrównania - test lokalny

8. Defekt sieci, Metoda pośrednicząca, Klasyfikacja metod odpornych.

Defekt zewnętrzny występuje w sieciach jedno dwu i trójwymiarowych. W sieci jednowymiarowej (sieci niwelacyjnej) maksymalnie możliwy defekt to 1 spowodowany możliwym przesunięciem sieci w kierunku Z lub H. W sieci dwuwymiarowej max defekt to 4 a są to: przesunięcie w kierunku X lub Y, obrót w płaszczyźnie XY oraz defekt skali. W sieci trójwymiarowej max defekt to 7: przesunięcie w kierunku X po Y i po Z rotacja czyli obrót wokół osi X, Y, Z oraz defekt skali. Może także występować defekt wewnętrzny czyli tzw konfiguracja spowodowana brakiem obserwacji niezbędnych do uzyskania wyznaczalności wzajemniego położenia punktów sieci.

d=M-R(A); gdzie M- liczba niewiadomych

dx, dy - poprawki do współrzędnych wyrównanych

Warunek dot. przesunięcia w kierunku X i Y:

0x01 graphic
m- liczba obserwacji

Warunek dla obrotu w płaszczyźnie XY:

0x01 graphic
0x01 graphic

Warunek skali:

0x01 graphic

Warunek dla sieci poziomej:

0x01 graphic

Metoda pośrednicząca z warunkami na niewiadome - polega na bezpośrednim wykorzystaniu związków zachodzących w tej sieci między wielkościami podlegającymi pomiarowi. Formułuje się układ wzajemnie niezależnych równań. Równań tych (warunkowych) tworzy się tyle ile jest obserwacji nadliczbowych ɣ= n-v+d gdzie n- liczba obserwacji, v-liczba wspólnych punktów niewiadomych. Układamy warunki: Ax= L+v VTPV= min BT*x= w gdzie B- macierz współczynników przy poprawkach, w- wektor wyrazów wolnych, w sieci swobodnej w=0. Wprowadzając przyporządkowanie każdemu z równań warunkowych mnożników Legangrea uzyskujemy Ω= VTPV+2kT(Bx-w) = min. Niewiadome to wektor x i k gdzie k- mnożnik Legangrea.

Klasyfikacja metod odpornych:

1) Estymacja parametrów:

a) pasywne

- met najmniejszych kwadratów

- met statystyczne

b) aktywne

- LMS - estymatory

- M - estymatory

2) Inne

- odporne, aktywne, f.sklejane

- odporne, predukcja liniowa

9. CAŁKOWANIE NUMERYCZNE + metody

Całkowanie numeryczne - polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały.

Do całkowania numerycznego najważniejsze jest gdy mamy wynik funkcji dążymy do rozwiązania równania, lub możemy zastosować dowolnie inna funkcję.

Metoda prostokątów

0x01 graphic

Wzór na metode punktu środkowego

0x01 graphic

Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale (x * ,x * + h), reguła taka da dobre przybliżenie całki.

Metoda trapezów jeśli chodzi o trapezy to połowa odcinka podstawy dzielimy na połowę

0x01 graphic

Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania (a,b) dzielimy przy tym na n równych części o długościach:

0x01 graphic
.

Wzór przybliżony w metodzie trapezów:

0x01 graphic

Metoda daje zazwyczaj lepsze przybliżenie niż metoda prostokątów, ale wymaga obliczenia wartości funkcji w 2 punktach.

Metoda parabol (Simpsona)

0x01 graphic

Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn.

0x01 graphic

dla uproszczenia oznaczamy:

xi = a + ih oraz fi = f(xi)

wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:

0x01 graphic

  1. Metodą całkowania numerycznego oblicz wysokość punktu P4

0x01 graphic

H1=100m (wysokość ortometryczna)

0x01 graphic

Punkt

1

2

3

4

H [m]

100

200

600

800

g śr

10

8

9

10. Na czym polega wyrównanie sieci swobodnej metodą najmniejszych kwadratów.

Sieć swobodna to taka sieć, w której nie został zdefiniowany układ odniesienia - sieć ta posiada defekt (d).

d = m - r(A)

m - ilość obserwacji

r(A) - rząd macierzy A

Mogą być dwa rodzaje defektów:

Defekt konfiguracji polega na tym, że punkty sieci nie mają ze sobą połączenia. Defekt ten można usunąć poprzez pomiar dodatkowych (odpowiednich) obserwacji.

Defekt układu odniesienia może być usunięty poprzez nałożenie dodatkowych warunków lub częściowo usunięty poprzez wykonanie dodatkowych obserwacji.

Zasada stosowania metody najmniejszych kwadratów opiera się na następujących założeniach:

0x01 graphic

0x01 graphic

Sieć swobodną wyrównuje się poprzez nałożenie na wyrównywane parametry odpowiednich warunków:

nakłada się warunek na przesunięcie w kierunku H

warunek na przesunięcie w kierunku X, Y

warunek na obrót w płaszczyźnie XY

warunek na skalę

warunek na przesunięcie w kierunku X, Y, Z

warunek na obrót wokół osi X, Y, Z

warunek na skalę

Warunki te wprowadza się w macierzy B

0x08 graphic

BT - macierz współczynników przy wyznaczanych parametrach

x - wektor wyznaczanych parametrów

Równania warunkowe dopisuje się do równań obserwacji

0x08 graphic

A - macierz współczynników przy niewiadomych

L - macierz wyrazów wolnych

v - poprawki

W ten sposób otrzymujemy rozszerzony układ równań normalnych

0x08 graphic
0x08 graphic

N = ATPA,

k - korelaty

det(N) ≠ 0

0x01 graphic
- wyrównane parametry

Jeżeli det(N) = 0, wówczas należy wykonać rozkład spektralny macierzy N na wektory i wartości własne

G - macierz zawierająca wektory własne (tworzy się ją korzystając z przybliżonych współrzędnych)

Po utworzeniu macierzy G możemy obliczyć wartość Q11

0x01 graphic

Jeśli mamy macierz Q11 możemy obliczyć wyrównane parametry z powyższego wzoru na 0x01 graphic

Po obliczeniu wyrównanych parametrów przeprowadza się analizę dokładności i oblicza się:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x08 graphic

Na koniec przeprowadza się test lokalny: ,r = 2 lub r = 3

5.Wyznaczenie różnicy między wektorami parametrów wyznaczonymi w 2-ch kolejnych iteracjach:

ε=x(k+1)-x(k)

Proces iteracyjny kończy się ,gdy ε osiągnie dopuszczalną wartość.



Opisac metode najwiekszej wiarygodnosci

zadanie predykcji na czym polega.


co to jest funckja wplywow

zadanko z zwiazane z analiza widma spektralnego- narysowac tam trzeba bylo wykres

  1. Kolokacja, C(d)

A Podejście pragmatyczne

  1. Podał wartości kowarjancji C(0), C(10), C(25) i współrzędne punktu. Dodatkowo podał wzory na model hirvonena i gaussa. Trzeba wybrać odpowiedni model i wyznaczyć parametry niewiadome z wzoru modelu.

  1. Porównać metodę kolokacji i kriging'u.

  1. Opisać metodę wielomianu ruchomego

  1. Pewne pole skalarne, po usunięciu trędu, charakteryzuje się wartością oczekiwaną =0 i izotropową funkcji kowariancji C(d)= 10*1/(1+dz). Obliczyć wartość tego pola w punktach x, y P1( 1 ; 0 ) , P2( 2 ; 2 ) , P3( 4 ; 5 ). Z otrzymanych rezultatów wynika pewna własności proporcji liniowej - proszę podać tę własność.

.

  1. Funkcja kowariancji posiada postać

0x01 graphic

Wartość pomierzona w punkcie P0 wynosi 256. Oblicz wartości w P1, P2 i P3.

Punkt

P 0

P 1

P 2

P 3

x

0

0,5

1

0

y

0

0x01 graphic

1

0x01 graphic

z

0

0,5

0x01 graphic

0

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zad 3, Geodezja, ZMOO, Egzamin
Zadania na egzamin z Geodanych, Geodezja, ZMOO, Egzamin
ZMOO, Geodezja, ZMOO, Egzamin
Egzamin z wyzszej 2004-2005, Studia, III rok, Geodezja Wyższa, wyzsza all
farmacja 12czerwca2007, Receptura, Farma - pytania, testy egzaminacyjne-all
5 egzamin geo inz rzad i 2010 , Studia Geodezja i szacowanie nieruchomości, rok III, GI
fotka zadania na koloII-reczuch, Geodezja, Fotogrametria, Egzamin
Geodezja test, PW IŚ, Inżynier, SemII, Geodezja, Egzamin
egzamin gps II sem III, Studia, Geodezja, III SEMESTR, Nieposortowane, III SEMESTR, GPSZ II SEM
GW - 24, Geodezja PW, Stare dzieje, Egzamin inż, GW - odpowiedzi
Obowiązujące podstawowe przepisy techniczne, Geodezja, Pomiary katastralne, Egzamin
egzamin u kopieja czerwiec 2008[1], Geodezja i Kartografia, III rok, Geodezja inżynieryjna, egzamin
GW-16, Geodezja PW, Stare dzieje, Egzamin inż, GW - odpowiedzi
pytanie 8!!!!!!!1(1), Geodezja, Egzaminy
fotogrametria-karmazyn, Geodezja, Fotogrametria, Egzamin
EgzaminCIGA-1, Geodezja, Egzaminy
EGZAMIN opracowany geodezja, Budownictwo PŁ, Semestr II, Geodezja
Egzamin Egib, geodezja, EGIB
Egzamin - Sciaga, BUDOWNICTWO, Geodezja i miernictwo, Egzamin

więcej podobnych podstron