SZEREGI PROSTE

a) X - średnia arytmetyczna ( X „ z daszkiem”)

_N

∑ x_i

___ _i=1....n

X = --------------

N N - liczebność zbioru

b) Ch - średnia chronologiczna

1/2 x₁+ x₂+ .........+1/2 x_n

Ch = --------------------------------

N - 1

a) Me - mediana - jest to ta zmienna, która znajduje się na pozycji środkowej , znajduje się w środku

- w szeregu o nieparzystej liczbie jednostek znajduje się tylko jedna zmienna - ma tylko 1 numer

N + 1

Nr mediany Nr Me = -------

2

Medianą będzie ta wartość zmienna x, która znajduje się w szeregu uporządkowanym na tym właśnie miejscu

Me = X _N+1

2

- w szeregu o parzystej liczbie jednostek w środku znajdują się dwie zmienne - wyznaczamy dwa numery

N

Nr 1 i Nr 2 mediany Nr ₁ Me = ------

2

N

Nr ₂ Me = ------ + 1

2

Mediana - to średnia arytmetyczna zmiennych z miejsc Nr₁ i Nr₂

X_N + X _N +1

2 2

Me =----------------------

2

W szeregu uporządkowanym parzystym - średnia arytmetyczna dwóch zmiennych , które są dokładnie w pierwszym ( Nr 1 ) i drugim ( Nr 2) miejscu

b) D - dominanta - modalna - jest to ta zmienna , która znajduje się na pozycji dominującej tzn. zmienna , która jest najczęściej najliczniej spotykana

MIARY ABSOLUTNE

b) s - odchylenie standardowe

N

∑ x_i²

i=1 __

s = -------------- - ( x )²

N

MIARY WZGLĘDNE

V - współczynnik zmienności

s

V = ------- x 100 %

X

V - współczynnik zmienności informuje o (%) procentowym zróżnicowaniu wartości zmiennych w stosunku do średniej arytmetycznej oraz o stopniu jednorodności badanej zbiorowości

SZEREGI ROZDZIELCZE

średnia arytmetyczna ważona :

N

∑ x_i . n_i

i=1

X = --------------

N

Aby wyznaczyć medianę i kwartyle w szeregu rozdzielczym należy skumulować liczebności cząstkowe a następnie wyznaczyć pozycję parametrów

N

pozycja Q_{1 = -------}

4

N

pozycja Me = -----

2

3N

pozycja Q₃= ------

4

nie ma w tym szeregu znaczenia czy N jest parzyste czy nie

*W szeregu rozdzielczym ilościowym wielowariantowym wariancyjnym

medianę Me i Q₁, Q₃ kwartyle należy oszacować wzorami interpolacynymi szacunkowymi

N - skumulowana liczebność n _-1

2

Me = X_{Do + ------------------------------------------------------------------------- x} C_o

( lub X_{Di- dolna} n_o

_{granica przedziału mediany)}

skumulowana liczebność n _-1

n_o - liczebność przedziału mediany

D_o - dolna granica przedziału mediany

N

• tj. pozycja mediany

skumulowana liczebność poprzedzająca przedział mediany

n_o - liczebność przedziału mediany

c_o- wielkość przedziału mediany

Wzór interpolacyjny na Q₁ i Q₃

N - n_{-1,1 ( tj. skumulowaną liczebność poprzedzającą przedział klasowy,}

4 _{w którym znajduje się Q1)}

Q₁= X_D1 + ---------------------------------------------------------------- . C₁

n₁

3 N - n_{-1,3 ( tj. skumulowaną liczebność poprzedzającą przedział klasowy,}

4 _{w którym znajduje się Q3)}

Q₃= X_D3 + ---------------------------------------------------------------- . C₃

n₁

Graficzne wyznaczenie mediany i kwartyli

Aby wyznaczyć graficznie medianę i kwartyle należy sporządzić wykres skumulowanych liczebności :

skum.

N

poz. Me = ----

2

N

poz. Q₁ = ----

4

3 N

poz. Q₃ = ----

4

D - dominanta - w szeregu rozdzielczym ilościowym jednowariantowym dominantą jest ta wartość zmienna , która powtórzyła się w zbiorowości najwięcej razy tzn. odpowiada największej liczebności cząstkowej.

- w szeregu rozdzielczym ilościowym z przedziałami wielowariantowymi dominantę należy oszacować wzorem interpolacyjnym ( szacunkowym) :

n_o - n -₁

D = X_Do + ----------------------------- . C_o

( n_o - n₁ ) + ( n_o - n ₊₁)

X_Do - dolna granica przedziału dominującego

n_o - liczebność przedziału dominującego

n _-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominujący

n ₊₁ - liczebność przedziału następnego po przedziale dominującym

c_o - wielkość przedziału dominującego

ANALIZA DYSPERSJI

Miary absolutne

s - odchylenie standardowe ważone

_N

∑ x₁² . n₁

_{i = 1 ----}

s = --------------------- - ( X) ²

N

Miary względne

s

V = ----- . 100 % ( wzór znajduje się też w tablicy )

X

Miary absolutne

Q - odchylenie ćwiartkowe

-informuje o przeciętnym zróżnicowaniu wartości zmiennych w porównaniu z medianą tj. wartością środkową

Q₃ - Q₁

Q =

2

Miary względne

Q

V = --------- . 100 %

Me

Analiza rozkładu

Q₁ + Q₂ - 2 Me

A_s = ----------------------

2Q

---