Cel cwiczenia :
Celem cwiczenia bylo wykonanie poniarow pozwalajacych wykreslic krzywe rezonansu dla roznych tlumien, wyznaczenie czestotliwosci rezonansowej oraz wspolczynnikow dobroci obwodow i obliczenie nieznanej indukcyjnosci metoda rezonansowa.
Wiadomosci teoretyczne :
.
Jezeli do obwodu zlozonego z rezystora o rezystancji R, cewki indukcyjnej o indukcyjnosci L i kondensatora o pojemnosci C ( obwor RLC ) dolaczymy sile elektromotoryczna sinusoidalnie zmienna w czasie
E(t) = E0 sinωt
gdzie E0 - amplituda
ω - pulsacja
t - czas
to natezenie pradu I(t) w obwodzie wyrazi się wzorem :
I(t) = I0 sin(ωt - ϕ)
Natezenie praadu zmienia sie zatem w czasie równiez w sposob sinusoidalny z taka sama czestotliwoscia
f = ω/(2π) jak E(t).
Amplituda natezenia pradu I0 i roznica faz ϕ zaleza od wartosci R,L,C oraz E0
i pulsacji ω wedlug wzorow :
Wynika z tego, ze przy stalych wartosciach R,L,C amplituda I0 osiaga wartosc maksymalna rowna E0/R wtedy gdy ωL=1/(ωC) czyli
Wystepowanie maksimum amplitudy natezenia pradu dla okreslonej pulsacji sily elektromotorycznej , wymuszajacej przeplyw pradu w obwodzie, nazywamy rezonansem elektromagnetycznym (szeregowym). Pulsacja ω0 , przy ktorej wystepuje rezonans nazywa się pulsacja rezonansowa , czyli czestotliwosc rezonansowa jest rowna :
Z wykresu krzywych rezonansowych widac, ze im mniejsza jest rezystancja, tym wieksza jest wartosc amplitudy I0 i bardziej stromy przebieg krzywej rezonansu. W szczegolnym przypadku gdy R dazy do zera to maksimum I0 dazy do nieskonczonosci. Podczas rezonansu roznica faz ϕ jest rowna zeru.
Tlumiaca rola rezystancji w obwodzie RLC zwiazana jest z rozpraszaniem energii w postaci ciepla Joule'a. Wspolczynnik dobroci obwodu Q okreslamy nastepujaco :
W1 - energia zgromadzona w obwodzie podczas rezonansu
W2 - energia rozpraszana podczas jednego okresu
W obwodzie RLC energia zgromadzona W1 jest na przemian maksymalna energia naladowanego kondensatora, badz maksymalna energia pola magnetycznego cewki. W tym drugim przypadku mozemy napisac :
Na podstawie powyzszego wzoru mozemy obliczyc wspolczynnik dobroci obwodu w zaleznosci od danych jakimi dysponujemy . Wartosc Q jak widac jest odwrotnie proporcjonalna do rezystancji R.
Inna metoda wyznaczania wspolczynnika dobroci obwodu polega na pomiarze napiecia skutecznego UCS wystepujacego na kondensatorze C podczas rezonansu. Konieczna jest również znajomosc wartosci skutecznej sily elektromotorycznej Napiecie ES .na kondensatorze zgodnie z prawem Ohma dla pradu zmiennego, wynosi :
gdzie ZC = 1/(ωC) jest impedancja pojemnosciowa kondensatora.
Podczas rezonansu ω = ω0 oraz I0 = E0 /R.
Mozna wiec zatem napisac :
Czyli ostatecznie :
Schemat ukladu pomiarowego :
Zmierzone zaleznosci natezenia pradu od czestotliwosci dla stalej wartosci napiecia zasilajacego obwod ( U = 2 V ), oraz odczytane wartosci napiecia na kondensatorze w chwili rezonansu :
Lp. |
f [kHz] |
UC [V] |
I [mA] |
|
Lp. |
f [kHz] |
UC [V] |
I [mA] |
R3 i C1 |
|
R3 i C24.5 |
||||||
1 |
2.5 |
|
6.3 |
|
1 |
5.00 |
|
4.4 |
2 |
2.6 |
|
7.1 |
|
2 |
5.05 |
|
4.5 |
3 |
2.7 |
|
8.5 |
|
3 |
5.10 |
|
4.7 |
4 |
2.8 |
|
10.4 |
|
4 |
5.20 |
|
5.0 |
5 |
2.9 |
|
13.4 |
|
5 |
5.30 |
|
5.5 |
6 |
3.0 |
|
19.1 |
|
6 |
5.40 |
|
6.1 |
7 |
3.05 |
|
22.9 |
|
7 |
5.50 |
|
7.4 |
8 |
3.10 |
|
31.9 |
|
8 |
5.60 |
|
8.7 |
9 |
3.15 |
|
41.9 |
|
9 |
5.70 |
|
10.7 |
10 |
3.20 |
|
71.0 |
|
10 |
5.80 |
|
14.2 |
11 |
3.225 |
|
78.8 |
|
11 |
5.85 |
|
15.8 |
12 |
3.25 |
61.5 |
81.0 |
|
12 |
5.90 |
|
18.5 |
13 |
3.275 |
|
72.8 |
|
13 |
5.95 |
|
23.4 |
14 |
3.3 |
|
60.1 |
|
14 |
6.00 |
|
29.9 |
15 |
3.325 |
|
51.0 |
|
15 |
6.025 |
|
34.8 |
16 |
3.35 |
|
44.6 |
|
16 |
6.050 |
|
39.8 |
17 |
3.375 |
|
37.6 |
|
17 |
6.075 |
|
46.4 |
18 |
3.4 |
|
31.4 |
|
18 |
6.10 |
|
54.9 |
19 |
3.45 |
|
24.7 |
|
19 |
6.125 |
|
59.1 |
20 |
3.50 |
|
20.5 |
|
20 |
6.15 |
86.0 |
59.2 |
21 |
3.55 |
|
17.9 |
|
21 |
6.175 |
|
55.8 |
22 |
3.60 |
|
15.5 |
|
22 |
6.20 |
|
49.5 |
23 |
3.65 |
|
14.1 |
|
23 |
6.225 |
|
43.2 |
24 |
3.70 |
|
11.6 |
|
24 |
6.25 |
|
48.6 |
25 |
3.75 |
|
11.3 |
|
25 |
6.275 |
|
35.0 |
26 |
3.80 |
|
10.8 |
|
26 |
6.30 |
|
30.4 |
27 |
3.90 |
|
9.4 |
|
27 |
6.35 |
|
24.3 |
28 |
4.00 |
|
8.4 |
|
28 |
6.40 |
|
19.9 |
Lp. |
f [kHz] |
UC [V] |
I [mA] |
|
Lp. |
f [kHz] |
UC [V] |
I [mA] |
R2 i C1 |
|
R2 i C2 |
||||||
1 |
2.2 |
|
4.6 |
|
1 |
5.0 |
|
4.4 |
2 |
2.3 |
|
4.9 |
|
2 |
5.1 |
|
4.6 |
3 |
2.4 |
|
5.4 |
|
3 |
5.2 |
|
4.9 |
4 |
2.5 |
|
6.2 |
|
4 |
5.3 |
|
5.4 |
5 |
2.6 |
|
7.3 |
|
5 |
5.4 |
|
6.0l |
6 |
2.7 |
|
8.3 |
|
6 |
5.5 |
|
6.8 |
7 |
2.75 |
|
9.5 |
|
7 |
5.6 |
|
8.7 |
8 |
2.80 |
|
10.5 |
|
8 |
5.7 |
|
10.1 |
9 |
2.85 |
|
11.5 |
|
9 |
5.8 |
|
12.9 |
10 |
2.90 |
|
13.2 |
|
10 |
5.9 |
|
17.6 |
11 |
2.95 |
|
15.2 |
|
11 |
5.95 |
|
20.9 |
12 |
3.00 |
|
17.7 |
|
12 |
6.00 |
|
26.2 |
13 |
3.05 |
|
21.7 |
|
13 |
6.025 |
|
31.1 |
14 |
3.10 |
|
28.5 |
|
14 |
6.05 |
|
33.9 |
15 |
3.125 |
|
33.2 |
|
15 |
6.075 |
|
36.9 |
16 |
3.150 |
|
36.6 |
|
16 |
6.10 |
|
40.7 |
17 |
3.175 |
|
42.1 |
|
17 |
6.125 |
|
43.8 |
18 |
3.20 |
|
50.0 |
|
18 |
6.150 |
63.5 |
44.0 |
19 |
3.225 |
40 |
54.6 |
|
19 |
6.175 |
|
43.5 |
20 |
3.25 |
|
54.3 |
|
20 |
6.20 |
|
40.6 |
21 |
3.275 |
|
52.4 |
|
21 |
6.225 |
|
36.2 |
22 |
3.30 |
|
46.3 |
|
22 |
6.25 |
|
33.3 |
23 |
3.325 |
|
40.4 |
|
23 |
6.275 |
|
30.3 |
24 |
3,35 |
|
37.7 |
|
24 |
6.30 |
|
27.3 |
25 |
3.40 |
|
28.9 |
|
25 |
6.350 |
|
23.0 |
26 |
3.45 |
|
23.6 |
|
26 |
6.40 |
|
20.0 |
27 |
3.50 |
|
20.0 |
|
27 |
6.450 |
|
17.5 |
28 |
3.55 |
|
17.3 |
|
28 |
6.50 |
|
15.6 |
Obliczenia:
A. Indukcyjnosci cewek
Δf1 2% wartosci obliczanej
ΔC1 5% wartosci obliczanej
f1 = 3.25 * 103 Hz Δf1 = 65 Hz
C1 = 62.53 * 10 -9 F ΔC1 = 3.126 * 10-9 F
L1 = 0.0384 H
ΔL1= 0.00141 H
dL1= 3.6 %
f2 = 6.15 * 103 Hz Δf2 = 123 Hz
C2 = 17.33 * 10 -9 F ΔC2 = 0.867 * 10-9 F
L2 = 0.0386 H
ΔL2= 0.0015 H
dL2= 6.7 %
B. Dobroc ukladu dla stalej pojemnosci kondensatora w ukladzie i dwoch opornosci
Δu 2% wartosci mierzonej
ΔU 1% wartosci mierzonej ( 0.02 V poniewaz U = 2 V)
1.R mniejsze
u1 = 61.5 V
Δu1 = 1.23 V
Q1 = 30.75 ΔQ1 = 0.615 V dQ1= 2 %
2.R wieksze
u2 = 40.0 V
Δu2 = 0.8 V
Q2 = 20.0 ΔQ2 = 0.4 V dQ2= 1 %
WNIOSKI:
Uzyskalismy idealnie pokrywajace sie czestotliwosci rezonansowe dla rownych pojemnosci i roznych oporow . Dowodzi to znacznej dokladnosci dokonanych pomiarow, co zreszta widac przy obliczaniu bledow indukcyjnosci ( bledy wzgledne 3.6 % oraz 6.7 % ).
Otrzymane wartosci czestosci rezonansowych ( odpowiadajacych najwiekszemu napieciu pradu plynacego w obwodzie ), to:
1. f = 3250 Hz
Przy tzw. slabym tlumieniu i kondensatorze o pojemnosci rownej;
- 62.53 nF wystapilo napiecie 61.5 V
Przy tzw. silnym tlumieniu wystapilo napiecie 40.0 V
2. f = 6150 Hz
Przy tzw. slabym tlumieniu i kondensatorze o pojemnosci rownej;
- 17.33 nF wystapilo napiecie 86.0 V
Przy tzw. silnym tlumieniu wystapilo napiecie 63.5 V
Na sporzadzonych wykresach widac wyraznie jaki wplyw ma rezystancja obwodu na ksztalt krzywych rezonansowych oraz na maksymalna wartosc natezenia pradu w momencie rezonansu. W opisie teoretycznym podalismy, ze im jest wieksza rezystancja tym mniejsza jest wartosc pradu w stanie rezonansu. Mozna wiec na tej podstawie wnioskowac, ze rezystancja R3 jest rezystancja mniejsza od R2. Obliczone wartosci dobroci ukladu w stanie rezonansu to odpowiednio :
- dla mniejszej wartisci rezystancji R2 - Q = 30.75 ,
- dla wiekszej wartosci rezystancji R3 - Q = 20.0
GENERATOR
PO 21
mA
V
R
L
C