To są podobne zadanka do tych, które liczyliśmy na zaliczeniu. Liczby sama wymyśliłam z wyjątkiem zadania ostatniego, które jest identyczne jak zadanie na zaliczeniu. Mam nadzieje, że wszystko jasno opisałam.

Zadanie I

Ciąg liczb 15, 25, 55, 15, 40. Oblicz medianę (Me), średnią arytmetyczną (
), odchylenie przeciętne (d_x) i odchylenie standardowe (S).

xi	xi -	(xi - )^2
15 25 55 15 40

Obliczamy medianę (Me)

Jeśli mamy parzystą liczbę składników, to wzory do obliczenia mediany są następujące:
i

Jeśli mamy nieparzystą liczbę składników, to korzystamy ze wzoru:

Gdzie n to liczba składników.

My mamy nieparzystą liczbę składników, bo jest ich 5.

15, 25, 55, 15, 40

Korzystamy ze wzoru

Trzecia liczba w kolejności będzie medianą

15, 25, 55, 15, 40

Me = 55

_______

Gdyby suma składników była parzysta np. 6 składników

1, 2, 9, 7, 6, 4

To korzystalibyśmy ze wzorów
i

Więc bierzemy pod uwagę trzecią i czwartą liczbę z kolei

1, 2, 9, 7, 6, 4

Te dwie liczby 9 i 7 dodajemy do siebie i dzielimy przez dwa.

9 + 7 = 16

16 : 2 = 8

Mediana dla tego ciągu liczb wynosi 8

_______

Liczymy średnia arytmetyczną (
) pierwszej kolumny (x_i), czyli dodajemy wszystkie liczby i dzielimy przez ilość liczb:

15 + 25 + 55 + 15 + 40 = 150

150 : 5 = 30

Średnia arytmetyczna (
) wynosi 30

Uzupełniamy drugą kolumnę
x_i -

, czyli odejmujemy od liczby z pierwszej kolumny (x_i) wyliczoną średnią arytmetyczną (
) tej kolumny

15 - 30 = -15

25 - 30 = - 5

55 - 30 = 25

15 - 30 = - 15

40 - 30 = 10

Otrzymany wynik zapisujemy w wartości bezwzględnej
x_i -

, czyli wyniki będą zastępujące: 15, 5, 25, 15 i 10

xi	xi -	(xi - )^2
15 25 55 15 40	15 5 25 15 10

Teraz możemy obliczyć odchylenie przeciętne (d_x)

Odchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną drugiej kolumny
x_i -

, czyli dodajemy wszystkie liczby tej kolumny i dzielimy przez ilość liczb

15 + 5 + 25 + 15 + 10 = 70

70 : 5 = 14

Więc odchylenie przeciętne (d_x) wynosi 14

Uzupełniamy trzecią kolumnę (x_i -
)², wyniki z drugiej kolumny podnosimy do kwadratu

15² = 15 * 15 = 225

5² = 5 * 5 = 25

25² = 25 * 25 = 625

15² = 15 * 15 = 225

10² = 10 * 10 = 100

xi	xi -	(xi - )^2
15 25 55 15 40	15 5 25 15 10	225 25 625 225 100

Żeby obliczyć odchylenie standardowe (S) musimy najpierw obliczyć wariancje (S²), a wariancja to średnia arytmetyczna trzeciej kolumny, więc dodajemy wszystkie liczby tej kolumny i dzielimy przez ilość liczb:

225 + 25 + 625 + 225 + 100 = 1200

1200 : 5 = 240

Więc wariancja (S²) wynosi 240

Teraz możemy obliczyć odchylenie standardowe (S), a odchylenie standardowe to pierwiastek (
) z wariancji (S²)

S =

S =

15,49

Odchylenie standardowe wynosi w przybliżeniu 15,49

Zadanie II

Zmierzono 5 jak dzięcioła, wynik podano w mm: 5, 6, 4, 3, 5. Zamień skale na skalę nominalną i porządkową.

Zamieniamy na skalę nominalną

5	6	4	3	5
ś	d	ś	m	ś

m - małe

ś - średnie

d - duże

przyjmujemy, że od 3 w dół jajka małe

od 6 w górę jajka duże

pomiędzy 3- 6 jajka średnie

Zamieniamy na skalę porządkową

Przyporządkowujemy liczby od największego jajka

Liczbę 1 przyporządkujemy jajku o długości 6mm

Kolejna liczba do przyporządkowania to 2, ale że mamy dwa jajka o tej samej długości 5 i 5mm to dodajemy kolejną liczbę, którą chcieliśmy przyporządkować (2+3) i dzielimy przez ilość tych liczb, więc:

2 + 3 = 5

5 : 2 = 2,5

Liczba 2,5 zostanie przyporządkowana dwóm jajkom o długości 5mm

Kolejna liczba to 4 i przyporządkowujemy ją następnemu jajku o długości 4mm

Ostatnia liczba 5 zostanie przyporządkowana jajku o długości 3mm

5	6	4	3	5
2,5	1	4	5	2,5

Zadanie III

Średnia arytmetyczna czterech kolejnych liczb wynosi 10. Znajdź te liczby.

4x + 10 = 40

4x = 30

x = 7,5

pierwsza liczba (x + 1) = 7,5 + 1 = 8,5

druga liczba (x + 2) = 7,5 + 2 = 9,5

trzecia liczba (x + 3) = 7,5 + 3 = 10,5

czwarta liczba (x + 4) = 7,5 + 4 = 11,5

Zadanie IV

Oblicz średnią arytmetyczną (
), medianę (Me) i wartość modalną (Mo).

Czas reakcji	Grupa 1
10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60	10 20 40 20 10

Obliczamy średnią arytmetyczną (
) dla grupy 1

Bierzemy środek czasu reakcji raz liczba z grupy 1

Środek czasu reakcji:

10 - 20 to 15

20 - 30 to 25

30 - 40 to 35

40 - 50 to 45

50 - 60 to 55

Więc:

15 * 10 = 150

25 * 20 = 500

35 * 40 = 1400

45 * 20 = 900

55 * 10 = 550

Dodajemy te wyniki do siebie i dzielimy przez sumę liczb grupy 1

Średnia arytmetyczna (
) dla grupy 1 wynosi 35

Wzór na medianę (Me)

Gdzie,

X_0m - to dolna granica przedziału czasu w którym występuje mediana

N_Me - suma jednostek grupy 1 podzielona przez 2

- suma wszystkich wcześniejszych przedziałów

h_m - rozpiętość przedziału w którym występuje mediana

n_m - liczebność przedziału w którym występuje mediana

Medianę liczymy dla przedziału w którym występuje środek grupy 1. Obliczamy ile będzie wynosiła połowa:

10 + 20 + 40 + 20 + 10 = 100

100 : 2 = 50

Środek będzie wynosił 50

Szukamy w którym przedziale będzie 50. Musimy dodawać po kolei liczby: 10 + 20 = 30 to jeszcze nie 50 wiec, dodajemy dalej 30 + 40 = 70. W tym przedziale jest liczba 50 ,wiec medianę będziemy liczyć dla tego przedziału.

Czas reakcji	Grupa 1
10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60	10 20 40 20 10

Teraz podstawiamy do wzoru:

Me = 30 +
* 10

Me = 35

Mediana wynosi 35

Wzór na modalną

Gdzie,

X_0m - to dolna granica przedziału czasu w którym występuje wartość modalna

n_m - liczebność przedziału w którym występuje modalna

n_m-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział z wartością modalną

n_m+1 - liczebność przedziału następującego po przedziale z wartością modalną

h_m - rozpiętość przedziału w którym występuje wartość modalna

Modalną liczymy dla przedziału w którym występuje największa wartość. Największa wartość naszego przedziału to 40, wiec będziemy liczyć jak dla tego przedziału.

Czas reakcji	Grupa 1
10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60	10 20 40 20 10

Teraz podstawiamy do wzoru:

Mo = 30 +
* 10

Mo = 35

Wartość modalna wznosi 35

---