Zestaw II

1. Zdefiniować wielkości używane do kinematycznego opisu ruchu punktu materialnego.

2. Omówić problem sił w układach inercjalnych i przedyskutować siły bezwładności w ruchu po okręgu.

3. Otrzymać równanie ruchu wahadła matematycznego i wyprowadzić wzór na jego okres drgań w przybliżeniu harmonicznym.

4. Wyprowadzić transformację Lorentz'a.

5. Podać prawo Coulomba, definicje natężenia pola elektrycznego, zasadę superpozycji i zasadę zachowania ładunku.

6. Przedstawić mikroskopową teorię oporu właściwego.

7. Napisać układ równań Maxwella w postaci różniczkowej i otrzymać z niego równanie falowe dla wektora E.

8. Opisać silnik Carnota i cykl Carnota, podać wzór na jego sprawność.

9. Opisać dyfrakcje na pojedynczej szczelinie, obliczyć natężenie oświetlenia ekranu I(e).

10. Omówić zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne, wyjaśnić, które cechy tego zjawiska świadczą o kwantowej naturze promieniowania elektro-magnetycznego.

* 1. Punkt materialny **********************************

Punktem materialnym nazywamy ciało obdarzone masą, lecz nie mające objętości, a więc takie, które nie może obracać się ani wykonywać drgań własnych. Prędkość punktu materialnego jest wielkością, która określa, jak szybko zmienia się położenie tego punktu w czasie. Położenie punktu jest określane przez wektor położenia, który łączy początek układu z punktem. Wektor przemieszczenia łączy dwa punkty położenia.

V_r = Δr/Δt,
gdzie Δr - wektor przemieszczenia, Δt - przedział czasu (skalar).

Przyspieszenie punktu materialnego informuje o szybkości zmian jego prędkości: a = Δv/Δt

* 2. Siły w układach nieinercjalnych ********************

W układach nieinercjalnych musimy oprócz zwykłych sił znanych z układów inercjalnych, wprowadzić dodatkowo siły pozorne zwane siłami bezwładności. Siły te nie są wywierane na nasze ciało przez żadne z ciał znajdujących się w jego otoczeniu. Ponadto, jeśli rozpatrujemy ruch ciała z inercjalnego układu odniesienia, siły bezwładności znikają. Wprowadzenie tych sił pozwala na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń w układach nieinercjalnych.

Siły bezwładności w ruchu po okręgu:

Dla obserwatora znajdującego się w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającym się po okręgu, na ciało poruszające się po tym samym okręgu działają dwie siły: rzeczywista siła dośrodkowa, oraz siła bezwładności, zwana siłą odśrodkową, która jest siłą pozorną. Natomiast obserwator patrzący na ciało z inercjalnego układu odniesienia, będzie widział jedynie działającą siłę dośrodkową.

F = ma = (mv²)/r

* 3. Wahadło matematyczne *****************************

[rysunek]

G = mg

G' = Gcosα

G'' = Gsinα

Ruch powoduje jedynie składowa G'', więc równanie ruchu:
ma = -mgsinα (minus ponieważ α jest liczony w kierunku przeciwnym niż a). Dla małych α (poniżej 3^o) sinα ≈ tgα

tgα = s/l, więc równanie przyjmuje postać:

a = -g oraz a =

ponieważ a = -ω²s, to ω² = = = ω =

więc T = 2π

* 4. Transformacja Lorentza ****************************

Załóżmy istnienie układów A i A'. Współrzędne w układzie A oznaczamy x, y, z i czas t, natomiast w układzie A' odpowiednio x', y', z' i t'. Osie obu układów są równoległe. Układ A' porusza się ruchem jednostajnym wzdłuż osi X z prędkością V względem układu A.
W chwili rozpoczęcia ruchu początki i osie układów pokrywają się oraz t = t' = 0. W układzie A pomiary wyrażamy we współrzędnych x, y, z, t, a w A' we współrzędnych x', y', z', t'.

x' = ; y' = y; z' = z; t' =

wg transformacji Galileusza x' = x - vt albo

x = ; y = y'; z = z'; t = gdzie β = v/c

* 5. Prawo Coulomba ************************************

Siły, z jakimi dwa ładunki punktowe oddziałują na siebie, są proporcjonalne do iloczynu wielkości tych ładunków i odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości między nimi.

F = k , gdzie k = ε₀ - przenikalność elektryczna próżni

Prawo Coulomba zastosowane zostało w fizyce kwantowej do opisu: 1) sił elektrycznych wiążących jądro atomu i elektrony

2) sił wiążących atomy w cząsteczki

3) sił wiążących atomy lub cząsteczki w ciałach stałych i cieczach

Natężenie pola E w danym punkcje określamy jako stosunek siły F działającej na bardzo mały ładunek próbny q do wielkości tego ładunku (E = F/q).

Zasada zachowania ładunku: suma wszystkich dodatnich i ujemnych ładunków we wszechświecie nie zmienia się.

Zasada superpozycji: pole elektryczne w danym punkcie wynikające z oddzielnych ładunków jest sumą wektorową pól pochodzących od poszczególnych rozkładów.

E = E₁+E₂+E₃+...+E_n = ΣE_n n = 1,2,3,...

* 6. Mikroskopowa teoria oporu właściwego ************

W nieobecności pola elektrycznego elektrony swobodne poruszają się w metalu zupełnie chaotycznie. Kiedy do metalu przyłożone jest pole elektryczne, wówczas elektrony są powoli unoszone w kierunku przeciwnym do kierunku pola ze średnią prędkością unoszenia Vu.

a =

Elektron po zderzeniu z jonem zmienia swoją prędkość do następnego zderzenia o aτ, gdzie τ to czas średni między zderzeniami.

v_u = aτ = = ρ = =

ρ = ρ - opór właściwy

Opór właściwy ρ charakteryzuje sam materiał i nie zależy od jego kształtu i rozmiaru.

ρ = [Ωm] σ = - przewodnictwo właściwe

R = ρ ρ = ρ₀[1+α(τ-τ₀)]

Jest to zależność oporu właściwego od temperatury T₀ = 0^oC, ρ₀ - wartość oporu w danej temperaturze 0^oC, α - średni wsp. temperatury oporu właściwego

************************** 7 ****************************

1. Prawo Gaussa dla elektryczności

Ładunki jednoimienne odpychają się, a ładunki różnoimienne przyciągają się z siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku przemieszcza się w kierunku jego powierzchni zewnętrznej.

ε_o∫Eds = q

2. Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Dotychczas nie stwierdzono odosobnionego bieguna magnetycznego.

∫Bds = 0

3. Prawo indukcji Faraday'a

Sztabka magnetyczna przesuwana przez zamknięty obwód powoduje powstanie prądu w tym obwodzie.

∫Edl = -

4. Prawo Ampere'a

Prędkość światła można wyliczyć z pomiarów czysto elektromagnetycznych. Prąd płynący w przewodniku wytwarza wokół siebie pole magnetyczne.

∫Bl = μ₀(ε₀ + i)

* 8. Silnik i cykl Carnota ********************************

W silniku Carnota procesowi cyklicznemu ulega gaz doskonały. W tym silniku nie ma strat spowodowanych tarciem itp.

Cykl Carnota:

I rozprężenie izotermiczne w temperaturze T₁

II rozprężenie adiabatyczne przy zachowaniu temp. od T₁ do T₂

III sprężanie izotermiczne w T₂

IV sprężanie adiabatyczne przy zmianie temp. od T₂ do T₁

η =

[rysunek]

* 9. Dyfrakcje na pojedynczej szczelinie *****************

Jeżeli równoległą wiązkę światła po przejściu przez wąską szczelinę skierujemy na ekran, to na ekranie powstanie obraz dyfrakcyjny w postaci pewnego środkowego max i leżących po jego obu stronach minimów i maksimów, które powstają na skutek interferencji fal ugiętych biegnących z różnych miejsc szczeliny. Środkowy pas jest jasny, bo spotykają się nam fale o zgodnych fazach. Pierwszy ciemny prążek powstaje, gdy różnica dróg wynosi parzystą wielkość λ/2. Jasny, gdy nieparzystą wielkość, np. 3λ/2

J_Θ - natężenie fali wypadkowej

J₀ - natężenie, jakie wytwarza pojedyncza fala

Natężenie J fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy

JΘ ~ E_Θ²

= ()²; E_Θ = E_mcosβ

⇓

J_Θ = 4J₀cos²β = j_mcos²β

różnica faz [2π] = różnica dróg [2π]

⇓

φ = dsinΘ oraz φ = 2β, ⇒ β = sinΘ

J_Θ = J_mcos²( sinΘ )

* 10. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne *************

[rysunek]

Światło monochromatyczne padające na metalową płytkę A wyzwala fotoelektrony, które mogą być wykrywane jako prąd, jeżeli są przyciągane do naczynia metalowego B przy pomocy różnicy potencjałów V. Wartość fotoprądu odczytujemy na galwanometrze G. Przy dostatecznie dużej wartości V wszystkiej elektrony emitowane są zbierane przez naczynie B.

Przy zmianie znaków V na przeciwny natężenie prądu fotoelektrycznego nie spada natychmiast do 0. Dowodzi to, że emitowane elektrony mają V różne od 0. Jeżeli zwiększymy V dostatecznie, wówczas osiągniemy taką wartość V₀ (potencjał hamujący), że wartość fotoprądu spadnie do 0.

Eαmax = eV₀ - energia kinetyczna najszybszych elektr.

Trzy zasadnicze cechy efektu fotoelektrycznego nie dające się wyjaśnić przy pomocy falowej teorii światła:

1. Eαmax = eV₀ nie zależy od natężenia światła

2. efekt fotoelektryczny powinien występować dla dowolnej częstotliwości światła - jednak istnieje takie V₀, poniżej którego zjawisko nie zachodzi

3. jeżeli światło jest dostatecznie słabe, powinno następować pewne opóźnienie między padaniem światła na powierzchnię, a emisją fotoelektronów - co nie zachodzi

Dopiero Einstein dzięki założeniu, że energia wiązki świetlnej rozchodzi się w postaci skończonych porcji energii zwanych fotonami, wyjaśnił zjawisko fotoelektryczne.

E = -hv - energia poj. fotonu

Stosując swoją koncepcję Einstein napisał:

hv = E₀ + Eαmax - część energii fotonu E₀ elektron używa na przejście przez powierzchnię metalu. Natomiast nadmiar energii hv - E₀ elektron otrzymuje w formie energii kinetycznej.

---