ROZDZIAŁ 1
Ćwiczenie I - elektryka
nr data wydział semestr grupa
ćwicz SKÓREWICZ
MARCIN ELEK- II E7
209 3.03 TRYCZNY
prowadzący przygotow.wykonał ocena
dr A.KAJOCH Skórewicz Skórewicz
Marcin Marcin
Temat:
Wyznaczanie stałej Boltzmanna
z charakterystyki tranzystora.
1. Wstęp.
Stała Boltzmanna, oznaczona przez k, jest uniwersalną stałą fizyczną określoną przez stosunek dwóch innych stałych: stałej gazowej R i liczby Avogadra NA
R
k =
NA
8,314 J/mol*K
k = = 1,380662*10-23 J*K-1
6,023*1023 cząstek/mol
W kinetycznej teorii gazów wykazuje się, że średnia energia kinetyczna ruchu cząstki w temperaturze T, przypadająca na jeden stopień swobody wynosi (1/2)kT i nie zależy od rodzaju ruchu (postępowy, rotacyjny czy oscylacyjny), ani od wielkości cząstki.
Stała Boltzmanna występuje we wszystkich równaniach zawierających klasyczne lub kwantowe funkcje rozkładu energetycznego cząstek.
Dla niskich temperatur lub dużych wartości energii (każdy z tych warunków wyraża się przez stałą Boltzmanna w postaci E - EF >> kT) kwantowa funkcja rozkładu może być zastąpiona klasyczną funkcją statystyczną Maxwella - Boltzmanna
E-EF
-
f(E) = e kT
Prąd płynący przez złacze p-n dwóch półprzewodników o różnych typach przewodnictwa opisany jest wyrażeniem zawierającym wyraz wykładniczy,w którym występuje iloczyn kT
eV
I = IS(e kT - 1)
W powyższym równaniu V oznacza przyłożone do złącza napięcie,
e - ładunek elektronu, IS - prąd wsteczny.
2. Zasada wykonania ćwiczenia.
W ćwiczeniu wykorzystujemy kolejny przykład równania, w którym występuje stała Boltzmanna.
Prąd płynący przez tranzystor przy zwartym obwodzie kolektor - emiter (patrz schemat) zmienia się z napięcie UBE zgodnie z równaniem:
eUBE
Ik =
Ioe kT
Logarytmując obustronnie powyższe równanie otrzymujemy
e
ln Ik = ln Io + UBE
kT
Sporządzając wykres funkcji ln ik = f(UBE) otrzymamy linię prostą, której tangens kąta wynosi tga = e/kT.
Znając zatem kąt i temperaturę znajdujemy wartość stałej Boltzmanna
e
k =
Ttga
Zależność prądu od napięcia wyznaczamy dla kilku temperatur. W tym celu tranzystor umieszczamy w dopasowanym otworze pręta miedzianego, dobrze przewodzącego ciepło, a pręt zanurzamy częściowo w cieczy znajdującej się w naczyniu Dewara.
Pierwszy pomiar wykonujemy dla mieszaniny wody z lodem, której temperatura wynosi ok.0oC Następny pomiar wykonujemy dla wody o temperaturze ok. 25oC i wody podgrzanej do temp. ok. 50oC.
Po wlaniu wody do naczynia Dewara należy odczekać kilka minut, aby temperatura ustaliła się. Wartośc temperatury odczytujemy na termometrze.
3. Wyniki otrzymane podczas wykonywania ćwiczenia.
a) Temperatura T = 275 K - napięcie UBE malejące
Napięcie UBE [V]Prąd Ik [mA] lnIk
0,571 1688 7,43
0,551 722 6,582
0,531 308 5,73
0,511 135 4,905
0,491 54 3,989
0,471 22 3,091
0,451 8 2,079
0,431 2 0,693
0,411 1 0
Na podstawie regresji liniowej :
a = 47,09 , b = -19,29 d(nachyl)=1.185 d(yprzec)=0.5851
Wykres będę tworzył z zależności : lnIk = 47,09 UBE - 19,29
b) Temperatura T = 275 K - napięcie UBE rosnące
Napięcie UBE [V]Prąd Ik [mA] lnIk
0,411 1 0
0,431 2 0,693
0,451 8 2,079
0,471 22 3,091
0,491 54 4,007
0,511 135 4,905
0,531 308 5,724
0,551 722 6,59
0,571 1688 7,435
Na podstawie regresji liniowej :
a = 47,11 , b = -19,30 d(nachyl)=1.193 d(yprzec)=0.5891
Wykres będę tworzył z zależności : lnIk = 47,11 UBE - 19,30
c) Temperatura T = 298 K - napięcie UBE malejące
Napięcie UBE [V]Prąd Ik [mA] lnIk
0,513 1998 7,6
0,493 882 6,782
0,473 413 6,023
0,453 185 5,22
0,433 85 4,443
0,413 37 3,611
0,393 17 2,833
0,373 7 1,946
0,353 2 0,693
0,333 1 0
Na podstawie regresji liniowej :
a = 42,24 , b = -13.95 d(nachyl)=0.8399 d(yprzec)=0.3585
Wykres będę tworzył z zależności :lnIk = 42,24 UBE - 13,95
d) Temperatura T = 298 K - napięcie UBE rosnące
Napięcie UBE [V]Prąd Ik [mA] lnIk
0,333 1 0
0,353 2 0,693
0,373 7 1,946
0,393 17 2,833
0,413 36 3,584
0,433 81 4,394
0,453 181 5,198
0,473 390 5,966
0,493 876 6,775
0,513 1859 7,528
Na podstawie regresji liniowej :
a = 41,92 , b = -13,84 d(nachyl)=0.8474 d(yprzec)=0.3617
Wykres będę tworzył z zależności : lnIk = 41,92 UBE - 13,84
e) Temperatura T = 333,5 K napięcie UBE malejące
Napięcie UBE [V]Prąd Ik [mA] lnIk
0,411 1988 7,595
0,391 980 6,896
0,371 508 6,23
0,351 253 5,533
0,331 127 4,844
0,311 60 4,094
0,291 28 3,332
0,271 13 2,565
0,251 5 1,609
0,231 2 0,693
Na podstawie regresji liniowej :
a=37,82 , b=-7,801 d(nachyl)=0.7853 d(yprzec)=0.2561
Wykres będę tworzył z zależności : lnIk =37,82 UBE=-7,801
f) Temperatura T = 333,5 -napięcie UBE rosnące
Napięcie UBE [V]Prąd Ik [mA] lnIk
0,231 2 0,693
0,251 5 1,609
0,271 13 2,565
0,291 27 3,296
0,311 55 4,007
0,331 198 4,771
0,351 230 5,438
0,371 448 6,105
0,391 866 6,764
0,411 1683 7,428
Na podstawie regresji liniowej :
a=36,85, b=-7,560 d(nachyl)=0.8159 d(yprzec)=0.2661
Wykres będę tworzył z zależności : lnIk=36,85 UBE=-7,560
5. Wyznaczanie stałej Boltzmanna na podstawie otrzymanych wyników.
Znając kąt jaki tworzy prosta z osią OX oraz temperaturę cieczy, w której był wykonywany pomiar możemy wyznaczyć wartość stałej Boltzmanna z zależności
e
k =
T*tga
a) Temperatura T = 275 K - napięcie malejące
tga = 47,09
czyli :
1,6021892*10-19
k1= = 1,45*10-23 [J/K]
275*47,09
b) Temperatura T = 275 K - napięcie rosnące
tga = 47,11
czyli :
1,6021892*10-19
k2= = 1,477*10-23 [J/K]
275*47,11
c) Temperatura T = 298,5 K - napięcie malejące
tga = 42.24
czyli :
1,6021892*10-19
k3= = 1,466*10-23 [J/K]
298,5*42,24
d) Temperatura T = 298,5 K - napięcie rosnące
tga = 41,92
czyli :
1,6021892*10-19
k4= = 1,546*10-23 [J/K]
298,5*41,92
e) Temperatura T = 333,5 K - napięcie malejące
tga = 37,82
czyli :
1,6021892*10-19
k5= = 1,209*10-23 [J/K]
333,5*37,82
f) Temperatura T = 333,5 K - napięcie rosnące
tga = 36,85
czyli :
1,6021892*10-19
k6= = 1,42*10-23 [J/K]
333,5*36,85
Wartość średnia stałej Boltzmanna na podstawie obliczeń wynosi
k = 1/6(k1+k2+k3+k4+k5+k6)
czyli :
k = 1,428*10-23 [J/K]
6. Błędy.
a) błąd poszczególnego pomiaru:
Korzystając zponiższego wzoru otrzymamy błąd jakim obarczona
jest wartość stałej Bolzmanna.
d e d e e e
wzór : dk = ___ * _____ + ____ * ____ = ____ + ____ =
da Tad dT Tad Ta2d T2ad
e(a+T)
= ________
T2a2d
Tak więc :
dk1= 3,07729*10-25 dk2= 3,07487*10-25
dk3= 3.43400*10-25 dk4= 3,48335*10-25
dk5= 3,73962*10-25 dk6= 3,92882*10-25
k = 1,428*10-23 [J/K]
b) w czasie wykonywania ćwiczenia zostało wykonanzch tylko sześć pomiarów, tak więc możemy mówić o błędzie małej serii pomiarów
W przypadku mojego pomiaru
- błąd termometru DT = 1o
- błąd mikroamperomierza 1mA
- przyjęty błąd kąta Da = 0o1'
7. Wnioski.
Celem ćwiczenia było wyznaczenie stałwj Bolzmanna z chara- kterystyki tranzystora n-p-n. Z charakterystyk jak i z wyliczeń wynika, że tgf nachylenia charakterystyki ma taką samą wartość, lecz wykres przesunięty jest względem osi OX w zależności od temperatury. Wyniki są bardzo zbliżone do idealnej stałej Bolzmanna. Najbardziej różni się regresja od temperatury 60,5oC dla napięcia zwiększającego i zmniejszającego się. Wartości błędów są bardzo małe, bo różnica pomiędzy wartościami wyliczonymi, a wartościami, w których został uwzględniony błąd sięgający wielkości rzędu 0,003. Błędy są tak małe, ponieważ ich źródłem, jak wynika ze wzoruna stałą Bolzmanna,może być błąd temperatury. Wszysrtkie wartości temperatury zostały obliczone jako średnia arytmetyczna temperatury, przy której zaczęto doświadczenie i temperatury po zakończeniu doświadczenia.
Ćwiczenie II - elektryka
nr data wydział semestr grupa
ćwicz SKÓREWICZ
MARCIN ELEK- II E 7
200 17.03 TRYCZNY
prowadzący przygotow.wykonanie ocena
ogólna
dr A.KAJOCH
Temat:
Wyznaczanie bariery potencjału
w złączu p-n.
1. Wstęp.
Dioda p-n jest jednym z najpowszechniejej stosowanych elementów
elektronicznych. Ze względu na asymetryczną charakterystykę
prądowo- - napięciową najczęściej stosuje się ją jako element prostowniczy.
Diodę stanowią dwa zetknięte ze sobą półprzewodniki, z których
jeden jest typu p, a drugi typu n. Gdy oba półprzewodniki
doprowadzimy do ścisłego kontaktu, następuje przepływ elektronów
do części p oraz dziur do części n w wyniku procesu termoemisji.
Ta wymiana nośników ustaje, gdy zrównają sie poziomy energetyczne Fermiego i między częściami diody wytworzy się różnica potencjałów
f. Ta różnica potencjałów jest miarą utrudnienia przepływu
nośników większościowych -barierą. Dla nośników mniejszościowych,
czyli elektronów z obszaru p i dziur z obszaru n, bariera nie
stanowi przeszkody, ponieważ ich ruch odbywa się w kierunku ku
mniejszej energii. Bariera potencjału na złączu może być
zwiększona lub zmniejszona przez przyłożenie do diody napięci
V ze źródła zewnętrznego. Wynosi ona wtedy :
f'= f V
Znak "+" odnosi się do przypadku, gdy do części p jest przyłożony
biegun ujemny źródła - mówimy wtedy, że dioda jest spolaryzowana zaporowo. W przeciwnym przypadku mówimy o polaryzacji diody w
kierunku przewodzenia.
W diodzie p-n występują dwie przyczyny ukierunkowanego ruchu nośników :
1) dążenie do znalezienia się w obszarze o najniższej energii potencjalnej
2) dążenie do wyrównania koncentracji, czyli dyfuzja nośników
Mechanizm pierwszy powoduje ruch elektronów z obszaru p do obszaru
n oraz ruch dziur z obszaru n do obszaru p.Suma strumieni tych
nośników tworzy prąd nasycenia Is
Is=Isn+Isp
który zależy tylko od koncentracji Np i Pn nośników mniejszościowych,
a nie zależy od przyłożonego napięcia.
Gdy złącze jest symetryczne, koncentracja dziur Pn ma taką
samą wartość co koncentracja elektronów Np, tzn. Pn=Np.
Proporcjonalność prądu nasycenia do koncentracji nośników
mniejszościowych można wyrazić równaniem :
(Ew-Ef)+ef stała C zawiera efektywną gęstość
-
Is=C*e kT stanów, ruchliwość nośników oraz
powierzchnię złącza
Prąd efektywny płynący przez złącze wynosi :
eV
(*) I=Is(e kT - 1)
2. Zasada pomiaru.
Spośród wielkości występujących w równaniu (*) łatwe do bezpośredniego pomiaru są : natężenie prądu I, napięcie V i
temperatura T. Metoda pomiarowa polega na wykorzystaniu równania
w taki sposób, aby z pomiarów dostępnych wielkości można było
wyznaczyć barierę potencjału f. W równaniu (*) wielkość f nie
występuje w sposób jawny, ale jest ukryta w Is. Dlatego pierwszym krokiem, który musimy wykonać, jest wyznaczenie prądu nasycenia IS.
W tym celu wygodnie jest korzystać z charakterystyki w kierunku
przewodzenia, chociaż wymaga to wykonania serii pomiarów. Zauważmy,
że dla napięć spełniających warunek eV>5kT wyrażenie wykładnicze
jest ponad stokrotnie większe od jedności, więc dla tego zakresu
jedynkę w równaniu (*) możemy zaniedbać. Wówczas charakterystyka
I-V opisana jest równaniem :
eV
I = Ise kT (dla eV>5kT)
które po zlogarytmowaniu przyjmuje postać :
e
lnI = lnIs+ V
kT
Jeżeli powyższe równanie wykreślimy we współrzędnych x=V , y=lnI ,
otrzymamy linię prostą przecinającą oś y w punkcie o wartości lnIs.
Znając tę wartość możemy zastosować równanie :
kT
f = (lnIs - lnC)
e
To równanie daje nam szukaną wysokość bariery f.
Jeżeli tałej C nie znamy, to musimy wykonać kilka charakterystyk
I-V w różnych temperaturach. Dla każdej temperatury znajdujemy
prąd nasycenia Is a następnie wykonujemy wykres we współrzędnych
x=1/T , y=lnIs
czyli :
ef
y = ln C - x
k
Wykresem powyższego równania jest linia prosta, której współczynnik
nachylenia wynosi a=ef/k .
Obliczając współczynnik metodą regresji liniowej znajdujemy barierę
potencjału ze wzoru :
ak
f =
e
3. Sposób wykonania ćwiczenia.
Schemat układu pomiarowego
Badana dioda jest umieszczona w otworze pręta dobrze przewodzącego
ciepło, który jest z kolei zanurzony w cieczy znajdującej się
w naczyniu Dewara. Przyjmujemy, że temperatura diody jest równa
temperaturze cieczy w naczyniu.
Zależność prądu od napięcia wyznaczamy dla kilku temperatur.
4. Dane otrzymane w czasie wykonywania ćwiczenia.
a) temperatura 2oC (275,16 K)
napięcie V [V]natężenie I [mA] lnI
0,552 75 -9,498
0,540 57 -9,772
0,530 45 -10,009
0,520 36 -10,232
0,510 29 -10,448
0,500 23 -10,680
0,490 18 -10,925
0,480 14 -11,176
0,450 7 -11,869
0,400 3 -12,717
Stosując regresję liniową możemy znaleźć lnIs ze wzoru :
lnI=(e/kT)V + lnIs
tzn. : y = ax + b
Po obliczeniach :
a = 23,12
b = -22,27
Z tego wynika,że prąd nasycenia Is równy jest:
lnIs = -22,27 => Is = 2 [nA]
b) temperatura 19oC (292,16 K)
napięcie V [V]natężenie I [mA] lnI
0,514 75 -9,498
0,500 57 -9,772
0,490 46 -9,987
0,480 38 -10,178
0,470 31 -10,381
0,460 25 -10,596
0,450 21 -10,771
0,435 15 -11,107
0,420 11 -11,417
0,400 7 -11,869
0,350 3 -12,717
0,290 1 -13,815
Stosując regresję liniową obliczamy parametry równania
(jak w pkt. a)
a = 21,93
b = -21,04
Z tego wynika,że prąd nasycenia Is równy jest:
lnIs = -21,04 => Is = 7 [nA]
c) temperatura 39oC (312,16 K)
napięcie V [V]natężenie I [mA] lnI
0,468 75 -9,498
0,460 62 -9,688
0,450 51 -9,884
0,440 41 -10,102
0,430 34 -10,289
0,420 28 -10,483
0,410 22 -10,724
0,400 18 -10,925
0,350 7 -11,869
0,300 3 -12,717
0,250 2 -13,122
0,210 1 -13,815
Stosując regresje liniową obliczamy parametry równania
(jak w pkt. a)
a = 21,02
b = - 20,00
Z tego wynika,że prąd nasycenia Is równy jest:
lnIs = -20,00 => Is = 20 [nA]
Pomiary były wykonywane w trzech różnych temperaturach,
dlatego też można wykonać wykres funkcji :
lnIs = f(1/T)
we współrzędnych :
x=1/T y=lnIs
Funkcja lnIs = f(1/T) opisana jest równaniem :
ef
lnIs = - x + lnC
k
tzn. : y = ax + b
x=1/T y=lnIs Stosując regresję liniową otrzymujemy :
a = -7320
0,00364 -22,27
b = 4,442
0,00342 -21,04
0,00321 -20,00
Wartość stałej C - w której zawarte są : efektywna gęstość stanów,
ruchliwość nośników i powierzchnia złącza - wynosi 4,442.
Natomiast wysokość bariery potencjału możemy wyznaczyć ze wzoru :
ef
a = -
k
stąd :
ak
f = -
e
Podstawiając dane liczbowe :
-7320*1,380662*10-23 J*K-1
f = - = 0,630789787 V
1,6021892*10-19 C
Bariera potencjału w badanym złączu p-n wynosi 0,630789787 V.
5. Błędy i wnioski.
Błędy przyrządów pomiarowych :
- woltomierza : 0,001 V
- amperomierzy : 1mA i 0,5mA
Wszystkie obliczenia wielkości fizycznych (prąd nasycenia Is,
stała C oraz współczynnik a do wzoru lnIs=f[1/T]) opierały się
na wykorzystaniu regresji liniowej, która jest stosunkowo dokładną
matodą rachunkową. W przypadku mojego ćwiczenia i obliczeń z nim
związanych, błąd regresji r był mniejszy od błędów przyrządów pomiarowych.
Błędy związane z wyliczeniami rachunkowymi są również do pominięcia,
ponieważ przyjąłem dokładność co najmniej czwartej cyfry po przecinku.
Z tego względu na wykresach wzięte są pod uwagę tylko błędy
woltomierza, oraz mikroamperomierza.
Ćwiczenie III - optyka
nr data wydział semestr grupa
ćwicz Zbrocki
Adam ELEK- II E 5
309 18.04 TRYCZNY
prowadzący przyg. wykonał ocena
mgr D.Kasprowicz Zbrocki Zbrocki
Adam Adam
Temat:
Wyznaczanie sprawności świetlnej
żarówki za pomocą fotometru
Lummera-Drodhuna.
1. Wstęp.
Ilość energii, jaką przenoszą fale świetlne przez dowolną powierzchnię w jednostce czasu nazywa się strumieniem świetlnym F.
Strumień świetlny ma wymiar mocy i może być zmierzony na podstawie ilości ciepła oddanego ciału całkowicie pochłaniającemu. Strumień całkowity otrzymamy mierząc energię przechodzącą w jednostce czasu przez powierzchnię otaczającą źródło światła. Z przestrzeni wokół ciała wydzielamy nieskończenie mały kąt bryłowy dW.
Natężeniem światła wysyłanego przez źródło w danym kierunku jest stosunek strumienia zawartego w granicach kąta bryłowego do wartości tego kąta :
dF
I = (*)
dW
Jeżeli źródło jest izotropowe, to natężenie światła we wszystkich kierunkach jest jednakowe i w miejsce małych przyrostów możemy wstawić wartości skończone. Biorąc wartość pełnego kąta bryłowego 4P otrzymujemy związek między całkowitym strumieniem Fc i natężeniem światła dla źródła izotropowego :
Fc=4P*I
Należy podkreślić, że natężenie światła jest wielkością charakteryzującą źródło światła, wielkość tę nazywa się również światłością. Obie nazwy są równoważne i mogą być używane zamiennie.
W przypadku źródła anizotropowego natężenie światła wysyłanego w różnych kierunkach jest różne.
Podstawową jednostką fotometryczną jest kandela, definiowana podobnie jak inne jednostki podstawowe (np. amper, metr) przez określenie wzorca, którym w tym przypadku jest ciało doskonale czarne o powierzchni (1/60)cm2 i temperaturze 1773oC (temperatura krzepnięci platyny).
Światłość tego źródła w kierunku prostopadłym do powierzchni jest równa jednej kandeli (1cd).
Pozostałe jednostki ustalamy jako pochodne na podstawie praw wiążących je ze światłością.
Jednostkę strumienia otrzymujemy z równania (*) jako strumień wysyłany w granicach kąta bryłowego równego jednemu steradianowi przez izotropowe źródło światła o światłości jednej kandeli. Jednostka strumienia nosi nazwę lumen (lm).
1 lm = 1 cd *1 sr
Rozciągłe (niepunktowe) źródła charakteryzuje się badając ich luminację,
czyli jaskrawość L, definiowaną jako stosunek światłości do powierzchni widzianej pod kątem f.
I
L =
S*cosf
Kąt f zawarty jest między normalną do powierzchni świecącej i kierunkiem obserwacji. Wynika z tego, że luminacja jest liczbowo równa światłości jednostki powierzchni źródła. Jednostką luminacji jest nit (nt).
dc
1 nt = 1
m2
Światło padające na pewną powierzchnię ulega odbici lub rozproszeniu, dzięki czemu staje się ona wtórnym źródłem światła. Stosunek strumienia dF do wielkości powierzchni dS, na którą pada, nazywamy oświetleniem E.
dF
E =
dS
Jednostką oświetlenia jest luks (lx)
lm
1 lx = 1
m2
Jest to oświetlenie powodowane przez strumień jednego lumena padający na powierzchnię jednego metra kwadratowego.
2. Opis metody pomiarowej wykorzystanej w ćwiczeniu.
Oświetlenie dowolnej powierzchni, znajdującej się w odległości r od źródła punktowego o światłości I i nachylonej pod kątem J do kierunku padania światła, wyraża się wzorem :
I
E = cos J
r2
Powyższe równanie stanowi treść prawa Lamberta.
Chociaż w praktyce źródła nie są punktowe, prawo Lamberta możemy stosować z wystarczającą dokładnością, jeżeli odległość r jest 10 razy większa niż średnica źródła.
Za pomocą obserwacji wzrokowej nie jesteśmy w stanie ocenić ilościowo stosunku światłości dwóch różnych źródeł, natomiast dość dokładnie możemy stwierdzić równość oświetlenia dwóch powierzchni.
Tę własność wykorzystujemy do pomiarów fotometrycznych światłości.
Zasada pomiaru polega na takim dobraniu odległości źródła badanego i wzorcowego od fotometru, aby oświetlenie pewnej powierzchni przez oba źródła było jednakowe.
Oznaczając przez indeksy :
w - źródło wzorcowe
x - źródło badane
otrzymamy zależności :
Iw Ix
Ew = cos J Ex = cos J
rw2 rx2
Przy stwierdzonej doświadczalnie równości oświetleń Ew = Ex oraz przy
równych kątach J otrzymamy proporcję :
Ix rx2
=
Iw rw2
Związek ten pozwala wyznaczyć, na podstawie pomiarów odległości, bezwzględną wartość światłości źródła, gdy znana jest światłość źródła wzorcowego. Najczęściej jednak wyznaczamy światłość względną : Ir=Ix/Iw
Sprawnością świetlną źródła nazywamy stosunek jego światłości do pobieranej mocy :
I
h =
P
Wstawiając to światłość względną uzyskamy zależność sprawności od mocy w jednostkach względnych.
3. Schemat działania fotometru Lummera-Brodhuna.
Źródła światła S1 i S2 oświetlają przeciwległe powierzchnie płytki E. Światło rozproszone od płytki odbija się od zwierciadeł Z1 i Z2, po czym pada na kostkę fotometryczną.
Kostka wykonana jest z dwóch pryzmatów dociśniętych ściśle do siebie
w środkowej części podstaw. Zewnętrzna część podstawy jednego z pryzmatów jest zaokrąglona, tak że w tej części między pryzmatami znajduje się warstwa powietrza. Przez powierzchnię styku pryzmatów światło przechodzi bez przeszkód, natomiast powierzchnie graniczące z powietrzem odbijają światło, które jest pochłaniane przez obudowę. Promienie 4 i 5 biegną równolegle do promienia 1 są obserwowane przez lunetkę.
Część środkowa pola widzenia jest oświetlona przez źródło 2,zaś część zewnętrzna przez źródło 1. Pomiar polega na przesunięciu fotometru na ławie optycznej do położenia, w którym oświetlenie obu części pola widzenia jest jednakowe.
4. Wyniki otrzymane w czasie pomiarów.
nap. nanat. odległość od żarówki średnia średnia
Lpżarówceprądu wzorcowej odległość rwodległość rx
[V] [mA] [mm] [mm] [mm]
1 100 26 12501250125012481253 1250 250
2 108 27 12331227122912301227 1229 271
3 116 28 12001203120111971198 1200 300
4 124 29 11561158116211611161 1160 340
5 132 31 11281133112911351131 1131 369
6 140 32 10851085108710921095 1089 411
7 148 33 10501047104910491050 1049 451
8 156 34 10181019102110201022 1020 480
9 164 36 981 982 978 978 980 980 520
10 172 37 942 939 939 941 941 940 560
11 180 38 900 902 901 900 898 900 600
12 188 40 872 877 882 884 881 879 621
13 196 41 844 837 841 840 838 840 660
14 204 42 821 821 820 818 819 820 680
15 212 43 799 797 802 801 800 800 700
16 220 44 761 763 758 758 759 760 740
5. Wielkości otrzymane z przeliczeń.
a) światłość względna żarówki badanej :
rx2
Ir =
rw2
b) moc pobierana przez żarówkę :
P = U*I
c) sprawność świetlna względna :
Ir
h =
P
B Ł Ę D Y
światłość względnamoc pobierana Psprawność DP Dh
Lp żarówki Ir [W] świetlna h
1 0,0400 2,600 0,0153 0,204 0,0013
2 0,0486 2,916 0,0166 0,216 0,0013
3 0,0625 3,248 0,0192 0,228 0,0014
4 0,0859 3,596 0,0238 0,240 0,0017
5 0,1064 4,092 0,0260 0,256 0,0017
6 0,1424 4,480 0,0319 0,268 0,0020
7 0,1848 4,884 0,0378 0,280 0,0022
8 0,2214 5,304 0,0417 0,292 0,0024
9 0,2815 5,904 0,0477 0,308 0,0026
10 0,3549 6,364 0,0558 0,320 0,0029
11 0,4444 6,840 0,0650 0,332 0,0033
12 0,4991 7,520 0,0664 0,348 0,0033
13 0,6173 8,036 0,0768 0,360 0,0040
14 0,6876 8,568 0,0802 0,372 0,0041
15 0,7656 9,116 0,0840 0,384 0,0043
16 0,9481 9,680 0,0979 0,396 0,0044
6. Błędy.
W czasie wykonywania ćwiczenia wykorzystane były trzy przyrządy pomiarowe :
1) woltomierz : dokładność 4 V
2) miliamperomierz : dokładność 1 mA
3) linijka : dokładność 1 mm
Mamy tu do czynienia z pomiarem złożonym, więc przy obliczaniu błędów wykorzystam metodę różniczki zupełnej :
a) błąd DP :
DP=DU*I+DI*U
b) błąd Dh :
2*rx -2*rx2 -rx2
Dh=Drx +Drw +DP
rw2*P rw3*P rw2*P2
Wyniki liczbowe błędów podałem w tabeli zgodnie z wartościami wielkości mierzonych.
7. Wnioski.
Równomierność oświetlenia dwóch powierzchni oceniana "na oko" jest mało dokładną metodą pomiarową, dlatego każdy pomiar powtarzałem pięć razy, każdorazowo rozregulowywując fotometr. Dzięki temu uzyskana wartość średnia odległości fotometru od żarówki badanej i wzorcowej jest stosunkowo dokładna.
Błędy pomiarowe wyniknęły również z mało dokładnych przyrządów pomiarowych (dokładności odczytu : położenia fotometru - 1mm, woltomierza - 4V, miliamperomierza - 1mA). Obliczając sprawność świetlną żarówki wszystkie te wielkości wystąpiły we wzorze, więc również błędy sumowały się - stąd błąd Dh jest stosunkowo duży.
Ponadto samo prawo Lamberta powinno być stosowane do źródeł punktowych, dlatego obliczona wartość światłości względnej Ir jest obarczona pewnym niewielkim błędem.
Mimo tego widać wyraźnie, że :
a) światłość względna żarówki Ir rośnie wraz ze wzrostem napięcia V
b) sprawność świetlna h rośnie wraz ze wzrostem mocy P pobieranej przez żarówkę badaną.
Ćwiczenie IV - optyka
nr data wydział semestr grupa
ćwicz Zbrocki
Adam ELEK- II E 5
300 15.05 TRYCZNY
prowadzący przyg. wykonał ocena
mgr D.Kasprowicz Zbrocki Zbrocki
Adam Adam
Temat:
Określenie, za pomocą pirometru,
stałej Stefana-Boltzmanna.
1. Wstęp.
Promieniowanie termiczne dowolnego ciała charakteryzuje się za pomocą tzw. zdolności emisyjnej rl określającej ilość emitowanej w jednostce czasu i przez jednostkową powierzchnię energii promienistej
w waskim przedziale długości fal (l,l+dl). Zdolność emisyjna zależy od rodzaju ciała i jest funkcją temperatury i długości fali. Osiąga ona wartość maksymalną w wyidealizowanym ciele doskonale czarnym.
Wiele ciał rzeczywistych, np. molibden, tantal, wolfram, żelazo, węgiel, tlenek niklu, tlenek żelaza, promieniują jak ciało szare. Ciało szare promieniuje tak samo jak ciało czarne o odpowiednio niższej temperaturze, (patrz wykres 1) zatem można przypisać mu własności ciała czarnego, jeżeli temperaturę rzeczywistą Trz zastąpimy tzw. temperaturą czarną Tc.
Całkowitą emisję energetyczną Rc otrzymamy całkując zdolności emisyjne rl
po wszystkich długościach fal, od zera do nieskończoności :
ł
R = r dl
c l
0
Rc jest energią wypromieniowaną w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni w postaci fal o wszystkich możliwych długościach.
rl[W/cm2*mm]
40
wykres 1 30
widmo promieniowania
ciała doskonale
czarnego i ciała
szarego 20
10
l[mm]
0 1 2 3 4 5
Według prawa Stefana-Boltzmanna całkowita emisja energetyczna jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej :
Rc=sT4
Współczynnik s nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna. W celu wyznaczenia tego współczynnika posłużymy się pirometrem optycznym, przyrządem stosowanym do pomiaru wysokich temperatur.
2. Zasada działania pirometru ze znikającym włóknem.
Metoda równych jasności pozwala wyznaczyć temperaturę dowolnego ciała na podstawie porównania jasności, dla określonej długości fali, ciała badanego i ciała doskonale czarnego. Stosuje sie w tym celu przyrząd zwany pirometrem ze znikającym włóknem.
Schemat pirometru ze znikającym włóknem.
Podstawową częścią przyrządu jest lunetka z obiektywem i okularem .
W płaszczyźnie ogniskowej obiektywu otrzymujemy obraz powierzchni badanego ciała. W tej samej płaszczyźnie umieszczona jest lampka elektryczna, której włókno jest zazwyczaj wygięte w półokrąg. Przez okular obserwujemy jednocześnie obraz badanego ciała i włókna lampki.
Filtr F wydziela wąski przedział widmowy, zazwyczaj w zakresie czerwonym
tzn. ok 650 nm. W obwodzie lampki, znajduje się opornik regulowany pozwalający na uzyskanie różnych temperatur włókna.
Jeżeli jasność włókna jest większa od jasności ciała, wówczas widzimy jasną linię włókna na tle badanego ciała. Natomiast, gdy jasność włókna jest mniejsza, widzimy ciemniejszy łuk na jasnym tle. Przy zrównaniu jasności ciała i włókna to ostatnie steje się niewidoczne. W ten sposób możemy z dużą dokładnością ustalić równość jasności włókna i ciała.
Przyrząd jest wycechowany za pomocą ciała doskonale czarnego, tzn. na skali amperomierza oznaczone są wartości temperatury ciała czarnego, przy których znika obraz włókna podgrzewanego odpowiednim prądem. Jeżeli badane ciało jest ciałem czarnym, wówczas pirometr wskazuje rzeczywistą temperaturę, natomiast dla ciał szarych wskazuje ich temperaturę czarną, która jest niższa od rzeczywistej.
3. Opis metody pomiarowej.
W temperaturze pokojowej To całkowitą emisję energetyczną ciała szarego możemy wyrazić w postaci :
4
Ro=k1*s*To
gdzie :
k1 - jest współczynnikiem zależnym od rodzaju ciała - dla ciała czarnego k1=1, dla ciał szarych k1<1. Ubytek energii wewnętrznej ciała, spowodowany wypromieniowaniem, uzupełniany jest w sposób ciągły przez pobieranie ciepła z otoczenia.
W dowolnej temperaturze T, wyższej od pokojowej, emisja energetyczna ma, zgodnie z prawem Stefana, wartość wyższą :
R=k1*s*T4
Aby ciało promieniujące utrzymać w podwyższonej temperaturze, konieczne jest dostarczenie mu dodatkowej energii.
W moim ćwiczeniu ciałem badanym jest wolframowa spirala żarówki oświetleniowej podgrzewana prądem. Dodatkowa energia jest pracą prądu elektrycznego. Warunek równości energii wypromieniowanej (ponad wartość Ro) i energii dostarczonej w wyniku przepływu prądu ma postać :
4 k2*U*i
k1*s*(T4-To) =
S
gdzie :
U - napięcie źródła prądu
i - natężenie prądu
S - powierzchnia spirali żarówki
k2- współczynnik wyrażający fakt, że nie cała praca prądu elektrycznego zostaje zamieniona na promieniowanie
Doświadczalnie zostało wykazane, że współczynniki k1 i k2 mają
w przybliżeniu takie same wartości. Stąd otrzymujemy równanie, z którego możemy obliczyć stałą Stefana-Boltzmanna :
Ui
s =
S(T4-T4)
o
Temperatura T występująca w równaniu jest temperaturą rzeczywistą, podczas gdy pomiar pirometrem daje temperaturę czarną. W celu powiązania obu wartości korzystamy z odpowiedniego nomogramu.
4. Wyniki pomiarów.
LpNap.Nat Temperatura czarna [oC] Temperatura rzeczywista Średnia
[V][mA] [oC] t.rzecz
1 40 35 960 940 940 950 9501010 990 99010001000 998
2 42 36 1000 990 980 980 98010501040103010301030 1036
3 44 36 1020102010001020101010701070105010701060 1064
4 46 37 1060106010401050104011201120110011101100 1110
5 48 37 1100109010901110110011601150115011701160 1158
6 50 38 1140113011201140116012001190118012001240 1202
7 52 39 1180118011701180118012601260125012601260 1258
8 54 39 1200119012001190120012801270128012701280 1276
9 56 40 1220122012301220122013001300131013001300 1302
10 58 41 1240124012501240124013201320133013201320 1322
Lp Średnia temperatura Wartość stałej Wartość liczbowa
rzeczywista [oK] Stefana-Boltzmanna błędu
1 1271 5,3799*10-8 0,1567*10-8
2 1309 5,1628*10-8 0,1462*10-8
3 1337 4,9686*10-8 0,1406*10-8
4 1383 4,6617*10-8 0,1286*10-8
5 1431 4,2428*10-8 0,1167*10-8
6 1475 4,0203*10-8 0,1077*10-8
7 1531 3,6961*10-8 0,0964*10-8
8 1549 3,6628*10-8 0,0955*10-8
9 1575 3,6446*10-8 0,0927*10-8
10 1595 3,6784*10-8 0,0913*10-8
Temperatura w laboratorium wynosiła 20oC (293oK).
Wartość średnia wyniku pomiaru stałej Stefana-Boltzmanna :
s = 4,3118*10-8 W*m-2*K-4
Wartość rzeczywista stałej Stefana-Boltzmanna :
s = 5,6703*10-8 W*m-2*K-4
5. Błędy.
Błąd woltomierza : DU=1V
Błąd amperomierza : Di=0,1mA
Błąd termometru pirometru : DT=10oC
Błąd termometru pokojowego : DTo=1oC
Pole powierzchni spirali żarówki : S=10-5m2
Pomiar stałej Stefana-Boltzmanna był pomiarem złożonym, więc wartość liczbową błędu pomiaru obliczamy przy pomocy metody różniczki zupełnej,
która w naszym przypadku jest określona wzorem :
3
i U -4*U*i*T3 4*U*i*To
Ds = DU +Di +DT +DTo
S(T4-T4) S(T4-T4) S(T4-T4)2 S(T4-T4)2
o o o o
Wartości liczbowe błędów odpowiednich pomiarów podałem w tabeli błędów.
6. Wnioski.
Wartość stałej Stefana-Boltzmanna uzyskana w trakcie wykonywania ćwiczenia odbiega nieznacznie od stałej tablicowej.
Spowodowane jest to min. małą dokładnością przyrządów pomiarowych
(np. dokładność termometru pirometru DT=10oC). Poza tym porównanie jasności obu źródeł promieniowania (spirali żarówki i włókna pirometru) jest rzeczą względną, zależną od dokładności obserwacji wykonującego ćwiczenie.
Uważam, że niezgodność wartości uzyskanej w czasie pomiaru i wartości tablicowej wynika przede wszystkim ze złożoności pomiaru. Jednocześnie odczytywane były cztery wielkości fizyczne, a ponadto jedna z nich
(temperatura rzeczywista) uzyskiwana była na podstawie nomogramu, co z pewnością zwiększało niedokładność a nie było uwzględniane w obliczani błędu złożonego pomiaru.
Ćwiczenie V - mechanika
nr data wydział semestr grupa
ćwicz Zbrocki
Adam ELEK- II E 5
120 23.05 TRYCZNY
prowadzący przyg. wykonał ocena
mgr D.Kasprowicz Zbrocki Zbrocki
Adam Adam
Temat:
Badanie rezonansu mechanicznego.
1. Wstęp.
Rodzaj ruchu, jaki wykonuje ciało, jest określony przez własności siły na nie działającej. Ruch nazywamy harmonicznym, jeżeli siła działająca na ciało jest skierowana do jednego punktu, będącego położeniem równowagi i jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi.
F = -k(x-xo) gdzie :
xo- położenie równowagi
k - stała sprężystości
Układ fizyczny posiadający powyższe własności nazywamy oscylatorem harmonicznym. Przykładami oscylatorów harmonicznych są : sprężyna
z zamocowaną na końcu masą, wahadło matematyczne i fizyczne (w zakresie niewielkich wychyleń), elektrony wykonujące ruch drgający w antenie
a także w obwodzie LC oraz atomy i jony drgające wokół położenia równowagi w węzłach sieci krystalicznej.
Jeżeli przyjmiemy położenie równowagi xo=0 oraz wyrazimy siłę przez masę
i przyspieszenie, otrzymamy równanie :
d2x
m = -k*x
dt2
2
które po podzieleniu przez masę i wprowadzeniu oznaczenia k/m=wo
przechodzi w postać :
d2x 2
+ wox = 0
dt2
która jest najczęście spotykaną formą ogólnego równania różniczkowego ruchu harmonicznego.
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja :
x = A*cos(wot+f) gdzie :
A - amplituda
wo - częstość kołowa = 2p/T
f - faza początkowa zależna od stanu ruchu w chwili t=0
Równanie to przedstawia wychylenie w znaczeniu ogólnym - może to być odległość liniowa od położenia równowagi, może to być kąt wychylenia, a także może to być wielkość niemechaniczna, np. natężenie prądu lub ładunek elektryczny na okładce kondensatora w obwodzie LC.
Ruch harmoniczny opisany powyżej nosi nazwę ruchu harmonicznego prostego
dla odróżnienia od innych przypadków, kiedy oprócz siły typu -kx działają jeszcze inne siły.
Równanie ruchu harmonicznego tłumionego ma postać :
d2x dx
m = -kx - b
dt2 dt
dx
Wyraz -b jest siłą tłumiącą, której wartość jest proporcjonalna do
dt
prędkości. Wykonując proste przeniesienia i dzielenia przeprowadzamy ostatnie równanie do postaci :
d2x dx 2
+ 2b + wox = 0 gdzie :
dt2 dt 2b = b/m
2
wo = k/m
Rozwiązaniem tego równania różniczkowego dla x=z*e-bt jest :
z = A*cos(w't + d)
gdzie częstość kołowa wynosi :
w' = w2 - b2 dla w2 - b2 > 0
Ó o o
Wracając ponownie do zmiennej x otrzymujemy wyraźną postać zależności czasowej wychylenia w ruchu harmonicznym tłumionym :
x = A*e-bt*cos(w't + f)
Jak widać z powyższego równania amplituda w ruchu tłumionym wynosi A*e-bt
i nie jest stała, lecz zmniejsza się wykładniczo z czasem, dążąc do zera.
Ponadto częstość drgań jest mniejsza niż w ruchu swobodnym.
Współczynnik tłumienia b można wyznaczyć z pomiaru amplitud dwóch drgań różniących się w czasie o N okresów. Amplitudy wynoszą odpowiednio A*e-bt oraz A*e-(t+NT), a współczynnik tłumienia :
1 Ao
b = ln (wzór 1)
NT AN
Wprowadźmy pojęcie czasu relaksacji :
1
t =
2b
za pomocą którego możemy wyrazić amplitudę następująco :
A*e-bt = A*e-(t/2t)
Widzimy, że po czasie t=t amplituda zmniejsza się Óe - krotnie,
a w ciągu czasu t=2t zmniejsza się e-krotnie.
x x
t t
Wykres ruchu harmonicznego prostego słabo tłumionego
Ważnym parametrem charakteryzującym układ drgający jest współczynnik dobroci Q zdefiniowany :
energia ruchu drgającego
Q = 2p
średnia energia stracona w jednym okresie
Współczynnik dobroci można również przedstawić :
wo
Q = wot lub Q = (wzór 2)
2b
Drgania wymuszone. Oprócz omówionej siły zewnętrznej na oscylator może działać okresowa siła zewnętrzna o dowolnej częstotliwości. Dla tej sytuacji równanie ruchu ma postać :
d2x dx
m + b + kx = Fo*sin(w"t)
dt2 dt
a jego rozwiązanie ma postać :
x = a*sin(w"t + f)
Jak widać oscylator wykonuje ruch z częstością siły wymuszającej, a nie
z częstością własną.
Amplituda ruchu wymuszonego jest proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej Fo, a także zależy bardzo silnie od różnicy między częstością siły wymuszającej a częstością własną oscylatora :
Fo
A =
2 2 2 2
m Ó(wo - w" ) + (2bw")
Amplituda osiąga największą wartość, gdy częstość siły wymuszającej wynosi :
w" = w2 - 2b2
Ó o
Ta częstość, zwana rezonansową, jest bliska częstości drgań swobodnych układu, tzn. wrez = wo, gdy tłumienie nie jest zbyt silne.
Zjawisko osiągania maksymalnych drgań wymuszonych dla częstości rezonansowej nazywa się rezonansem.
Można wykazać, że całkowita szerokość rezonansu wynosi :
2(Dw1/2) = 2b lub 2(Dw1/2) = 1/t
Posługując się powyższymi związkami oraz równaniem (2) możemy wyrazić dobroć oscylatora za pomocą szerokości rezonansu :
wo
Q = (wzór 3)
2(Dw1/2)
Wynika z tego, że dobroć jest miarą ostrości krzywej rezonansowej.
2. Układ pomiarowy, zasada wykonania pomiaru.
Oscylatorem, którego własności chcemy określić, jest wahadło balansowe. Składa się ono z tarczy balansowej T oraz spiralnej sprężyny,
której jeden koniec łączy się z tarczą a drugi z ramieniem R. Tarcza
i ramię umieszczone są niezależnie na wspólnej osi obrotu, a koniec ramienia połączony jest prętem P z ramieniem silnika M, którego obrót wytwarza sinusoidalnie zmieniający się moment siły działający na tarczę balansową.
Gdy ramię jest unieruchomione wahadło wykonuje ruch harmoniczny tłumiony tylko oporami urządzenia.
Gdy silnik się obraca, oscylator wykonuje ruch harmoniczny wymuszony.
Częstotliwość obrotów silnika zmieniamy poprzez zmianę napięcia zasilania a mierzymy sekundomierzem przez pomiar czasu około 10 wahnięć. Zarówno tarcza jak i ramię posiadają wskaźniki umożliwiające obserwację ich ruchu i pomiar amplitud.
Celem ćwiczenia jest znalezienie współczynnika dobroci oscylatora na podstawie dwóch różnych pomiarów :
1. dla ruchu tłumionego znajdujemy współczynnik tłumienia i stałą relaksacji a następnie obliczamy Q na podstawie wzoru(2)
2. Wykonujemy pomiar krzywej rezonansowej i następnie obliczamy dobroć
ze wzoru(3)
Schemat urządzenia do badania drgań wymuszonych.
3. Wyniki otrzymane w czasie wykonywania ćwiczenia.
a) Drgania słabo tłumione
Średni czas 10 wahnięć : 9,2 s
stąd :
okres : T = 0,92 s
częstość kołowa : w' = 6,83 s-1
ilość N A m p l i t u d y 2 w a h n i ę ć Współczynnik
okresów Ao AN średnia ANtłumienia b
1 10 8,5 8,5 8,5 8,5 8,50 0,02
2 10 7,5 7,5 7,5 7,25 7,44 0,04
3 10 6,5 6,5 6,5 6,5 6,50 0,07
4 10 5,0 5,5 5,5 5,5 5,37 0,11
5 10 4,0 4,5 4,5 4,5 4,37 0,18
6 10 3,0 3,5 3,5 3,5 3,37 0,29
7 10 2,0 3,0 2,5 2,5 2,50 0,50
8 10 1,5 2,0 2,0 1,5 1,75 0,95
Współczynnik tłumienia b został obliczony na podstawie wzoru(1).
- Średnia wartość współczynnika b = 0,27
- Czas relaksacji : t = 1,85 s
- Częstość drgań swobodnych : wo = 6,83 s-1
Dobroć oscylatora na podstawie wzoru(2) : Q = 12,63
b) Drgania wymuszone
L.p.NapięcieA m p l i t u d a d r g a ńAmplitudaOkres Częstość
[V] średnia T [s] w1 [1/s]
1 4,0 0,50 0,25 0,25 0,25 0,31 6,28 1,00
2 5,0 0,75 0,75 0,50 0,50 0,62 4,49 1,40
3 5,5 1,00 1,00 0,75 0,75 0,87 3,22 1,95
4 5,9 1,25 1,00 1,00 1,00 1,06 3,06 2,05
5 6,0 1,50 1,25 1,25 1,50 1,37 2,51 2,50
6 6,1 2,00 1,50 1,50 2,00 1,75 2,24 2,80
7 6,2 3,00 2,50 4,00 4,00 3,37 1,39 4,52
8 6,3 6,50 5,00 8,00 8,00 6,87 0,99 6,35
9 6,4 11,50 10,00 11,50 11,50 11,12 0,93 6,76
10 6,6 12,00 11,50 12,00 12,00 11,87 0,92 6,83
11 7,0 7,50 7,00 8,00 7,00 7,37 0,87 7,22
12 7,1 5,00 5,50 5,00 5,50 5,25 0,78 8,05
13 7,2 2,50 3,00 3,00 3,00 2,87 0,65 9,67
14 7,4 1,50 2,00 2,00 2,00 1,87 0,59 10,65
15 7,8 1,00 1,00 1,50 1,50 1,25 0,56 11,22
16 8,2 0,75 0,75 1,00 0,75 0,81 0,53 11,85
17 8,6 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,51 12,32
18 9,6 0,25 0,50 0,50 0,50 0,44 0,49 12,82
19 10,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,48 13,09
Częstość w1 otrzymujemy na podstawie znajomości okresu T przy poszczególnych wymuszeniach w1 = 2p/T
Z wykresu znajdujemy :
- Częstość rezonansowa : w" = 6,83 s-1
- Całkowita szerokość rezonansu : 2(Dw1/2) = 0,9 s-1
- Stałarelaksacji : t = 1,11 s
Dobroć oscylatora na podstawie wzoru(3) : Q = 7,59
4. Błędy.
Błędy przyrządów pomiarowych :
- błąd woltomierza : DV = 0,1V
- błąd odczytu amplitudy : DA = 0,5 (niektóre wartości ustalane były
szacunkowo dlatego jako błąd odczytu
amplitudy wziąłem błąd średni
kwadratowy s)
- błąd pomiaru czasu : Dt = 0,01s
Pomiar amplitudy był powtarzany wielokrotnie dla każdego z wymuszeń, dlatego bład amplitudy obliczyłem na podstawie wzoru na błąd średni
kwadratowy :
1 n 2
s = S ei
Ó n-1 i=1
Wartość częstości w1 obliczana była na podstawie wzoru : w1 = 2p/T
stąd wartość liczbowa błędu częstości obliczana jest na podstawie wzoru :
-2p
Dw1 = DT
T2
Wartości poszczególnych błędów podałem w tabeli niżej.
L.p.Amplituda Częstość Błąd amplitudy Błąd częstości
średnia A w1 [1/s] DA Dw
1 0,31 1,00 0,13 <0,01
2 0,62 1,40 0,14 <0,01
3 0,87 1,95 0,14 0,01
4 1,06 2,05 0,13 0,01
5 1,37 2,50 0,14 0,01
6 1,75 2,80 0,29 0,01
7 3,37 4,52 0,75 0,03
8 6,87 6,35 1,44 0,06
9 11,12 6,76 0,75 0,07
10 11,87 6,83 0,25 0,07
11 7,37 7,22 0,48 0,08
12 5,25 8,05 0,29 0,10
13 2,87 9,67 0,25 0,15
14 1,87 10,65 0,25 0,18
15 1,25 11,22 0,29 0,20
16 0,81 11,85 0,13 0,22
17 0,50 12,32 <0,01 0,24
18 0,44 12,82 0,13 0,26
19 0,25 13,09 <0,01 0,27
Błędy odczytu z wykresu : około 0,05. Takim błędem obarczona jest wartość częstości rezonansowej oraz szerokości rezonansu.
5. Wnioski.
Jak widać z powyższych obliczeń amplituda drgań wymuszonych osiąga największą wartość, gdy częstość siły wymuszającej w" jest bliska częstości drgań swobodnych słabo tłumionych wo układu. Wartości tych częstości otrzymane w czasie pomiaru są sobie równe w granicach błędu odczytu i wynoszą : wo = wrez = 6,38s-1.
Należy powiedzieć, iż szerokość rezonansu 2Dw1/2 jest podana w sposób bardzo mało dokładny, ponieważ przy częstości rezonansowej wychylenia oscylatora były praktycznie niemierzalne (tarcza wychylała się o ponad 180o, czyli poza dopuszczalny zakres prawidłowej pracy układu).
Stąd dobroć układu w czasie drgań harmonicznych słabo tłumionych i w czasie drgań harmonicznych tłumionych różnią się znacznie międze sobą.
Dobroć podczas drgań słabo tłumionych jest prawie dwa razy większa od dobroci podczas drgań wymuszonych.
Cel ćwiczenia został jednak osiągnięty, gdyż wykazane zostało, że rezonans czyli zjawisko maksymalnych drgań, występuje gdy częstość siły wymuszającej równa jest częstości drgań swobodnych układu.
Ćwiczenie VI - mechanika
nr data wydział semestr grupa
ćwicz Paweł
Sosnowski ELEK- III I 2
105 11. TRYCZNY
prowadzący przyg. wykonał ocena
dr.Artur Kajoch Sosnowski Sosnowski
Paweł Paweł
Temat:
Wyznaczanie współczynnika
rozszerzalności liniowej
ciał stałych.
1. Wstęp.
Zmianie temperatury ciała towarzyszy na ogół zmiana jego wymiarów liniowych, a więc i zmiana objętości. Elementarny przyrost temperatury dt ciała, którego długość całkowita wynosi lo, powoduje przyrost długości dl określony wzorem :
dl = a*lo*dt (równanie 1)
Współczynnik a nazywamy współczynnikiem rozszerzalności liniowej. Jego wartość liczbowa jest równa względnemu przyrostowi długości dl/l spowodowanemu zmianą temperatury o 1oC i zależy od rodzaju ciała a także od temperatury. W związku z zależnością współczynnika a od temperatury długość ciała jest na ogół nieliniową funkcją temperatury. W zakresie niewielkich zmian temperatury w przybliżeniu można przyjąć, że współczynnik a jest stały (mówimy wówczas o średnim współczynniku rozszerzalności liniowej), a długość wzrasta wprost proporcjonalnie do temperatury. W tej sytuacji otrzymujemy wzór :
l-lo = aśr*lo*Dt (równanie 2)
Przyczyny zjawiska rozszerzalności cieplnej należy szukać w strukturze mikroskopowej ciał. Ciała stałe np. zbudowane są z atomów (jonów) rozłożonych regularnie w przestrzeni i tworzących sieć krystaliczną.
Atomy są wzajemnie ze sobą powiązane siłami pochodzenia elektrycznego,
co uniemożliwia im trwałą zmianę położenia. Dostarczona do kryształu energia cieplna wywołuje drgania atomów wokół położeń równowagi. Amplituda tych drgań rośnie wraz z temperaturą. Częstotliwość drgań cieplnych atomów sięga 1013Hz. W tej sytuacji pojęcie odległości międzyatomowej ma sens tylko jako odległość między środkami drgań sąsiednich atomów. Gdyby energia kinetyczna atomów była równa zeru, znajdowałyby się one w odległości ro od siebie, dla której energia potencjalna posiada minimum. W rzeczywistości atomy wykonują drgania wokół położeń równowagi, tzn. mają określoną energię kinetyczną, która
wzrasta ze wzrostem temperatury.
Z powyższego opisu wynika, że wraz ze wzrostem temperatury rośnie nie
tylko amplituda drgań atomów, lecz także ich średnia wzajemna odległość,
co makroskopowo objawia się jako rozszerzalność cieplna.
Analogicznie jak współczynnik rozszerzalności liniowej definiujemy współczynnik rozszerzalności objętościowej
dV
g =
Vodt
Objętość ciała po podgrzaniu wynosi :
V = Vo(1 + gśrDt)
W celu znalezienia związku między a i g rozważmy sześcian, którego krawędzie zwiększają długość zgodnie z równaniem (2). Objętość sześcianu
w zależności od temperatury możemy wyrazić w postaci :
3
l3 = lo(1 + aśrDt)3
Iloczyn aDt jest względem jedności, a wyższe potęgi tego iloczynu są bardzo małe i możemy je pominąć w rozwinięciu sześcianu dwumianu.
Wobec tego powyższe równanie możemy zapisać :
3
l3 = lo(1 + 3*aśrDt)
Porównując to równanie z równaniem (2) dochodzimy do wniosku, że :
g = 3*a
Wartość współczynnika rozszerzalności liniowej w ciałach polikrystalicznych i amorficznych nie zależy od kierunku, natomiast w monokryształach zależność od kierunku jest wyraźna - zamiast jednego występują tutaj trzy główne współczynniki rozszerzalności liniowej określone dla trzech osi krystalograficznych kryształu.
2. Zasada pomiaru.
Badane ciało w postaci pręta umieszczamy w piecyku elektrycznym zasilanym ze źródła o regulowanym napięciu. Jeden koniec pręta jest umocowany w uchwycie, drugi natomiast przesuwa się w miarę podgrzewania.
Wielkość wydłużenia pręta mierzymy za pomocą czujnika mikrometrycznego.
Temperaturę pręta mierzymy za pomocą termopary połączonej z miliwolto-
mierzem. Jedno złącze termopary znajduje się we wnętrzu pręta, a drugie w mieszaninie wody z lodem. Napięcie termoelektryczne wskazywane przez miliwoltomierz jest proporcjonalne do różnicy temperatur obu złącz, która w tym układzie jest po prostu temperaturą w skali Celcjusza. Z tego wynika, że skala przyrządu może być naniesiona bezpośrednio w oC.
Drugie złącze może znajdować się w powietrzu-wówczas różnicę temperatur odnosimy do temperatury pokojowej.
3. Wyniki otrzymane w czasie pomiaru.
Temperatura w laboratorium : 20oC
Początkowa długość prętów : 606 mm
Temperatura rosnąca
L.p. Temperatura Przyrost długości [mm]
[oC] pręt 1 pręt 2
1 20 0,00 0,00
2 25 0,05 0,02
3 30 0,11 0,04
4 35 0,16 0,06
5 40 0,20 0,08
6 45 0,27 0,11
7 50 0,31 0,13
8 55 0,36 0,15
9 60 0,41 0,18
10 65 0,47 0,22
Temperatura malejąca
L.p. Temperatura Przyrost długości [mm]
[oC] pręt 1 pręt 2
1 65 0,47 0,22
2 60 0,43 0,19
3 55 0,39 0,16
4 50 0,33 0,14
5 45 0,28 0,13
6 40 0,22 0,10
7 35 0,18 0,08
8 30 0,13 0,05
9 25 0,07 0,02
10 20 0,02 0,01
Przy zastosowaniu regresji liniowej otrzymujemy :
* pręt 1 :
temperatura rosnąca : y = 0,000017*X - 0,00033
temperatura malejąca : y = 0,000017*X - 0,00029
Stąd wartość współczynnika rozszerzalności cieplnej dla pręta 1 :
aśr = 0,000017 oC-1 Daśr = 0,0000015
* pręt 2 :
temperatura rosnąca : y = 0,0000078*X - 0,000018
temperatura malejąca : y = 0,0000078*X - 0,000015
Stąd wartość współczynnika rozszerzalności cieplnej dla pręta 2 :
aśr = 0,0000078 oC-1 Daśr = 0,00000076
4. Błędy.
Dokładność odczytu długości początkowej prętów : Dlo = 1mm
Dokładność odczytu przyrostu długości prętów : Ddl = 0,01mm
Dokładność odczytu przyrostu temperatury : Ddt = 1oC
Błąd regresji, który jest błędem pomiaru współczynnika rozszerzalności liniowej podałem obok wartości średniej tego współczynnika.
5. Wnioski.
Wykres wydłużenia od temperatury, wykonany na podstawie pomiarów,
pokazuje wyraźnie, że współczynnik rozszerzalności liniowej a jest
w zakresie niewielkich zmian temperatury wielkością stałą. Długość prętów wzrasta proporcjonalnie do temperatury. Dlatego przy sporządzeniu wykresów oraz obliczeniu wartości średniej współczynnika rozszerzalności liniowej aśr wykorzystałem regresję liniową.
Współczynnik ten charakteryzuje dane ciało. Na podstawie jego pomiaru możemy stwierdzić (porównując z tablicami rozszerzalności liniowej), że pręt 1 wykonany jest z miedzi, natomiast pręt 2 wykonany jest ze stali.
Sam pomiar wykonany był stosunkowo dokładnie ze względu na użycie czujnika mikrometrycznego. Ewentualnie, dokładność pomiaru można byłoby jeszcze poprawić używając termometru o większej dokładności (np. Dt=0,1).
Sądzę jednak, że wyniki otrzymane w czasie wykonywania ćwiczenia są zadowalająco dokładne, uwzględniając błąd regresji.