1. PODSTAWY FIZYCZNE

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskami dyfrakcji i interferencji światła przechodzącego przez jedną lub dwie szczeliny oraz obserwacja i pomiar rozkładu natężeń w obrazach dyfrakcyjno-interferencyjnych. Terminy "dyfrakcja" i "interferencja" użyte są tu w znaczeniu historycznym; obraz powstający na ekranie w wyniku interferencji nieskończenie wielu fal (pojedyncza szczelina) będziemy nazywali obrazem dyfrakcyjnym, rezerwując termin obrazu interferencyjnego dla przypadku skończonej liczby źródeł fal (szereg szczelin).

1. 1. Interferencja. Doświadczenie Younga.

Fale elektromagnetyczne spełniają zasadę superpozycji fal, zgodnie z którą w każdym punkcie przestrzeni, w którym spotykają się rozchodzące się niezależnie od siebie fale, zaburzenie jest sumą zaburzeń pochodzących od poszczególnych fal. W przypadku fal elektromagnetycznych sumują się wektory natężeń pól elektrycznych i magnetycznych.

Interferencję fal świetlnych można zdefiniować jako superpozycję fal o tej samej częstości i polaryzacji. Warunkiem interferencji jest spójność (koherencja) fal, a trudności w zaobserwowaniu interferencji fal świetlnych były związane z trudnością uzyskania spójnych wiązek światła, tj. takich, które miałyby stałą w czasie różnicę faz w każdym punkcie, w którym się spotykają.

Każde źródło makroskopowe jest zbiorem elementarnych źródeł światła atomów lub cząsteczek, które promieniują niezależnie od siebie światło 0 różnych częstościach.

Pojedynczy akt emisji zachodzi w skończonym czasie, w którym atom promieniuje nie falę harmoniczną, a skończony ciąg falowy. Czasy te są różne, np. dla linii z serii Balmera w widmie wodoru wynoszą od 2x10^-8 s do 2x10^-6 s, co odpowiada długości ciągów falowych rzędu metrów. Liczba nakładających się w danym punkcie fal oraz przesunięcie fazowe między nimi ulegają ciągłym, nieregularnym zmianom. Zmiany te zachodzą z dużą częstością, np. przy długości fali  = 7000 częstość  = 4,3x10¹⁴ Hz, zatem i wynik interferencji - wzmocnienie i osłabienie fal - następuje po sobie tak szybko, że w efekcie widzimy równomiernie oświetlony ekran. Natężenie w dowolnym punkcie P ekranu jest wtedy równe sumie natężeń, wytwarzanych oddzielnie przez promienie z niespójnych źródeł.

Należy zauważyć, że w przypadku fal spójnych dodają się wektory natężenia pola elektrycznego E₁ i E₂. Natężenie I (tj. energia fali przypadająca na jednostkę powierzchni w jednostce czasu) w punkcie P jest wówczas proporcjonalne do kwadratu wypadkowej amplitudy : I ~ (E₁+ E₂)². Natomiast w przypadku światła niespójnego w punkcie P dodają się natężenia I₁ i I₂, z których każde z osobna jest proporcjonalne do kwadratu odpowiedniej amplitudy: I₁~ E₁², I₂~ E₂², I = I₁+ I₂.

Spójne wiązki światła można otrzymać rozdzielając światło wysyłane przez niewielki obszar źródła rozciągłego na dwie wiązki o różnicy dróg optycznych nie przekraczających długości ciągu falowego (w przeciwnym razie ciągi by się nie nałożyły). Każdy ciąg falowy rozdziela się przy tym na dwa spójne i mogące ze sobą interferować ciągi falowe, ponieważ pochodzą od tego samego atomu. Taka jest idea doświadczenia Younga, który pierwszy zaobserwował interferencję światła.

Rys. 1. Schemat doświadczenia Younga.

Źródłem światła jest szczelina S₀, wycinająca niewielki obszar źródła rozciągłego. Wychodzące z niej światło pada na dwie szczeliny S₁ i S₂ (rys. 1). Szczeliny S₁ i S₂ dzielą ciąg falowy pochodzący od jednego atomu na dwie spójne wiązki falowe o małym przekroju spotykające się na ekranie np. w punkcie P₁, z różnicą fazy  _. W punkcie P₁ spotykają się spójne wiązki pochodzące od wszystkich atomów leżących w obszarze źródła wyciętym szczeliną S₀, o ile różnica faz między nimi wyniesie również  _. W punkcie P₂ spotkają się wiązki z różnicą faz  ₂.

Jeśli szczeliny S₁ i S₂ są daleko zarówno od źródła światła jak i od ekranu, można przyjąć, że na szczeliny pada prostopadle fala płaska i interferują na ekranie fale płaskie (przybliżenie Fraunhofera). Załóżmy również, że światło jest monochromatyczne. Niech odległość między szczelinami wynosi d, a odległość ekranu od szczelin D (rys. 2). Dwie wiązki falowe nadbiegające do punktu P z S₁ i S₂ są zgodne w fazie przy szczelinach, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej. W punkcie P mają różne fazy, ponieważ mają różne długości dróg optycznych.

Rys. 2. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia warunku maksimów interferencyjnych: P - dowolny punkt na ekranie, odległy o r₁ i r₂ od S₁ i S₂. Jeśli D >> d, to S₂B jest prawie prostopadłe zarówno do r₁ jak i do r₂; kąt S₁S₃B = kąt PAO =  , a promienie r₁ i r₂ są prawie równoległe. S₂B jest różnicą dróg optycznych równą .

W punkcie P występuje maksimum, jeśli różnica dróg  jest równa całkowitej wielokrotności długości fali (co odpowiada różnicy faz  = k 2), czyli

 = k , k = 0, 1, 2, ...

(1a)

ponieważ zgodnie z rys. 2

 = d sin  ,

(1b)

czyli

d sin  = k ;

(1c)

gdzie d - odległość między szczelinami,  - kąt określający położenie punktu P,  - długość fali; k = 0 odpowiada maksimum centralnemu. Warunki dla minimum są spełnione, gdy  = (2k + 1) 2 (co odpowiada różnicy faz  = ( 2 k + 1 ) ) , a więc

d sin = (2k + 1) 2

(2)

Załóżmy, że składowe natężenia pola elektrycznego E₁ i E₂ dwu fal o jednakowych amplitudach w punkcie P wynoszą

E₁ = E₀ sin t , (3a)

E₂ = E₀ sin (t +  ) ,

(3b)

gdzie  jest częstością,  jest różnicą faz zależną od położenia punktu P. Położenie punktu P opisuje kąt  . Jeśli wektory E są do siebie równoległe, wypadkowe zaburzenie falowe w punkcie P jest równe:

E = E₁ + E₂ ,

(4a)

,

(4b)

Oznaczmy przez

= /2 , oraz E = 2E₀ cos = E_m cos,

(4c)

gdzie E jest amplitudą fali wypadkowej, zależną od kąta  , tj. od położenia punktu P; E_m jest jej maksymalną wartością (E_m = 2E₀ ). Ponieważ I ~ E², to:

(5a)

i z (4c) i (5a) wynika wzór opisujący rozkład natężeń w obrazie interferencyjnym:

I_ = 4 I₀ cos² = I_m cos²

(5b)

Natężenie na ekranie zmienia się jak cos², od 0 (dla punktów, w których  = 2  (2k + 1)) do 4 I₀ (dla punktów, w których  = 2 = 2 k ).

Między różnicą faz  a różnicą dróg  mamy związek:

(6a)

i po uwzględnieniu równości (1b) mamy:

(6b)

(6c)

Powyższe wzory są słuszne dla nieskończenie wąskich szczelin (a <<  , gdzie a - szerokość szczeliny).

Rys.3. Obraz interferencyjny pochodzący od dwóch nieskończenie wąskich szczelin.

Wykres na rysunku 3 przedstawia rozkład natężeń w wyniku interferencji światła z dwu nieskończenie wąskich szczelin. I₀ jest to stałe natężenie na ekranie, gdy jedna ze szczelin jest zasłonięta. W przypadku dwu jednakowych źródeł niespójnych natężenie w każdym punkcie ekranu wynosi 2I₀. Dla dwu źródeł spójnych energia padająca na ekran jest taka sama jak dla dwu źródeł niespójnych, zmienia się tylko jej rozkład. Natężenie w maksimum wynosi 4I₀, zaś średnie wynosi 2I₀, jak dla źródeł niespójnych.

Opisany wyżej obraz powstałby w przypadku szczelin nieskończenie wąskich (a << ), czyli w warunkach, gdy światło ugięte na każdej szczelinie z osobna oświetlałoby ekran równomiernie. Prążki miałyby wtedy jednakowe natężenie. W rzeczywistych szczelinach a> natężenie na ekranie pochodzące od każdej z takich szczelin nie będzie stałe, tylko zależne od obrazu dyfrakcyjnego dla pojedynczej szczeliny.

1.2. Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie.

Dyfrakcja (ugięcie się) światła zachodzi wtedy, gdy fala napotyka niewielkie przeszkody (ostrza, krawędzie), co powoduje odstępstwa od prostoliniowego rozchodzenia się światła. Szczelina stanowi źródło fal ugiętych na dwóch krawędziach. Obraz dyfrakcyjny po przejściu przez szczelinę składa się z maksimum jasności (znacznie szerszego niżby to wynikało z prostoliniowego rozchodzenia się światła) otoczonego po obu stronach słabymi jasnymi i ciemnymi prążkami dyfrakcyjnymi. Im węższa szczelina tym obszar jasności (środkowe maksimum) jest szerszy, efekt "uginania się" promieni wyraźniejszy.

Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt, do którego dotrze fala, staje się źródłem nowej fali kulistej, fale wtórne dodają się (interferują), a powierzchnia falowa jest obwiednią tych fal kulistych.

Jeśli na szczelinę pada fala płaska, szczelina zachowuje się jak jednorodny układ źródeł, przy czym wszystkie fale (fale kuliste Huygensa) wysyłane przez te źródła są w jednakowej fazie.

Aby obliczyć rozkład natężeń na ekranie, dzieli się szczelinę na segmenty, z których każdy stanowi źródło fal kulistych Huygensa, a następnie dodaje się zaburzenia falowe w określonych punktach na ekranie, których położenie można opisać za pomocą kąta  i w końcu oblicza się granicę tej sumy, gdy liczba segmentów dąży do nieskończoności. Wyprowadzenie wzoru na rozkład natężeń otrzymuje się przy założeniu warunków dyfrakcji Fraunhofera (spełnionych w niniejszym ćwiczeniu), tj. kiedy na szczelinę pada fala płaska i kiedy wszystkie fale dobiegające do punktu P na ekranie można traktować jak równoległe fale płaskie, tj. kiedy źródło światła i ekran są w dużej odległości od szczeliny. Przybliżenie Fraunhofera jest słuszne, gdy l >> a²/, gdzie a jest szerokością otworu,  - długością fali, l odległością otworu od ekranu.

Przy tym założeniu rozkład natężeń światła ugiętego na pojedynczej szczelinie pod kątem  do kierunku pierwotnego padania wyraża się wzorem:

(7)

gdzie 2 jest różnicą faz między promieniami wychodzącymi z dwóch końców szczeliny, a I_m jest natężeniem światła w punkcie centralnym maksimum.

Rys. 4 przedstawia szczelinę o szerokości a i ekran znajdujący się w dużej odległości od niej. Szczelinę dzielimy w myśli na parzystą liczbę N segmentów-pasków, każdy z nich jest źródłem fal kulistych Huygensa. Wiązki wychodzące z poszczególnych segmentów i spotykające się w punkcie P₁ są prawie równoległe ze względu na dużą odległość ekranu od szczeliny i nachylone pod kątem  do pierwotnego biegu wiązki. Poszukujemy warunku na to, aby w punkcie P₁ było minimum. Jeśli szczelinę o szerokości a podzielimy

Rys. 4. Wiązka świata ugina się na szczelinie o szerokości a. Wiązki wychodzące z odległych o ^a/₂ punktów A i A₁ , B i B₁ itd. pod kątem  do kierunku pierwotnego znoszą się i dają prążek ciemny.

w myśli na dwa segmenty, to dla każdej wiązki wychodzącej z dowolnego punktu pierwszego segmentu znajdziemy wiązkę z drugiego segmentu wychodzącą ze szczeliny z punktu odległego o ^a/₂ i fale te będą się wygaszać w punkcie P₁, jeśli ich różnica dróg optycznych  = ^a/₂ sin będzie równa połowie długości fali  (co odpowiada różnicy faz równej )

(8a)

czyli

a sin = 

Dzieląc szczelinę na parzystą liczbę N dowolnie małych segmentów zauważymy, że wiązki z górnej i dolnej połowy szczeliny wychodzące w odległości ^a/₂ będą się wygaszać w P₁, jeśli będzie spełniony warunek (8a), a więc położenie pierwszego minimum dyfrakcyjnego określa wzór:

a sin  = 

(8b)

Jeśli szczelinę podzielimy na cztery segmenty, to w innym punkcie P₂ ekranu wygaszą się wiązki falowe pochodzące z segmentów 1 i 2, 2 i 3, 3 i 4, w szczelinie odległe o ^a/₄, których różnica dróg  = ^a/₄ sin = ^/₂, czyli a sin = 2 jest warunkiem drugiego minimum. Podobnie przy podziale na sześć segmentów różnica dróg wiązek z sąsiednich segmentów  = ^a/₆ sin = ^/₂ i mamy a sin = 3 dla kolejnego minimum w punkcie P₃. Ogólnie warunek dla minimów dyfrakcyjnych można zapisać jako

a sin = n, n = 1, 2, 3...

(9)

W punkcie 0 spotykają się fale, dla których różnica dróg i różnica faz są równe zero, więc w punkcie 0 będzie maksymalne natężenie.

Jak widać z wzoru (8b) środkowe maksimum jest tym szersze, im szczelina jest węższa (im a mniejsze, tym dalej odsuwa się pierwsze minimum).

Jeśli szczelinę podzielimy na N - nieparzystą liczbę segmentów, np. na trzy, to w pewnym kierunku światło z dwóch części szczeliny się zniesie, a z trzeciej pozostanie - otrzymamy wtedy pierwsze maksimum jasności, słabe, bo oświetlone światłem tylko z trzeciej części szczeliny. Przy podziale na cztery części otrzyma się drugie minimum, na pięć - drugie maksimum, jeszcze słabsze, bo pochodzące od światła z piątej części szczeliny itd.

Zgodnie z zasadą Babineta rozkład natężeń w obrazie dyfrakcyjnym Fraunhofera jest identyczny, jeśli światło ugina się na otworku lub przesłonce o identycznych wymiarach i kształcie (np. na szczelinie i włosie o tej samej szerokości). Zatem obraz dyfrakcyjny wąskiej szczeliny lub wąskiej przeszkody można wykorzystać do pomiaru ich wymiarów. Mierząc położenia minimów można znaleźć a - żądaną szerokość szczeliny lub grubość np. włosa.

W przypadku dyfrakcji na otworze kołowym, ze względu na inną symetrię otrzymuje się inne wyrażenie na położenie minimów dyfrakcyjnych:

a sin = p

(10)

gdzie a jest średnicą koła, a p = 1.22 , 2.33 , 3.24 .

1.3. Interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach.

Jeśli szerokość szczeliny a >  , to w opisie doświadczenia Younga z dwiema szczelinami należy uwzględnić dyfrakcyjny rozkład natężeń światła po przejściu przez pojedynczą szczelinę - wzór (7).

gdzie  = ^a/_ sin, a - szerokość szczeliny,  - długość fali,  - kąt, pod jakim widać punkt P. Wyprowadzenie tego wzoru podano w Dodatku. Rozkład natężeń w obrazie interferencyjnym dla nieskończenie wąskich szczelin opisany jest równaniem (5b):

I_ = I_m cos².

Łączny efekt można otrzymać zastępując I_m w równaniu (5b) zmienną amplitudą, opisaną przez I_,dyfr z równania (7):

(11)

Położenie minimów dyfrakcyjnych (rys.5 i rys.D5) określa równanie (9):

a sin= n, n = 1, 2, 3 ...

Rys. 5. Efekty interferencyjne i dyfrakcyjne: a) czynnik interferencyjny z równania (5b), b) czynnik dyfrakcyjny z równania (7), c) ich iloczyn równanie (11). Obwiednia prążków interferencyjnych pokrywa się z obrazem pojedynczej szczeliny.

 2. OPIS ĆWICZENIA

2.1. Pomiar długości fali świetlnej i za pomocą interferometru Michelsona.

Zasadę działania interferometru Michelsona i jego konstrukcję pokazuje rysunek 6.

Wiązka światła ze źródła L pada na płytkę płasko-równoległą D pokrytą z jednej strony półprzepuszczalną warstwą srebra, tak grubą, by przepuszczała połowę natężenia światła, a drugą połowę odbijała. Wiązka przechodząca pada na prostopadłe do jej kierunku zwierciadło Z₁.

Rys. 6. Zasada interferometru Michelsona. L - źródło świata (laser), D - płytka półprzepuszczalna, Z₁ i Z₂ - zwierciadła.

Po odbiciu wraca tą samą drogą, odbija się od posrebrzonej ścianki płytki D i pada na ekran. Wiązka odbita pierwotnie od ścianki płytki D pada prostopadle na zwierciadło Z₂, wraca po odbiciu tą samą drogą, przechodzi przez płytkę D i spotyka się z wiązką pierwszą na ekranie. Na skutek różnicy dróg optycznych obu wiązek powstają prążki interferencyjne. Interferencja powstaje w obszarze, w którym obie wiązki biegną razem w stronę ekranu.

W interferometrze zwierciadło Z₁ umieszczone jest na śrubie mikrometrycznej; przesuwając je zmieniamy długość drogi optycznej wiązki odbijającej się od niego, a więc różnicę dróg obu wiązek. Na ekranie obserwujemy przesuwanie się prążków interferencyjnych. Jeśli w środku obrazu ciemny kołowy prążek (odpowiadający wygaszeniu fal) zostanie zastąpiony przez kolejny ciemny prążek (kolejne wygaszenie), oznacza to, że różnica dróg wiązek zmieniła się o jedną długość fali, co odpowiada przesunięciu zwierciadła Z₁ o pół długości fali. Łatwo bowiem zauważyć, że przesunięcie zwierciadła Z₁ o pewną wartość δ powoduje zmianę długości drogi optycznej odbijającej się od niego wiązki o 2δ. Jeśli zatem δ jest przesunięciem zwierciadła Z₁ odpowiadającym n kolejnym zmianom ciemnych prążków w centralnym punkcie ekranu, to

n = 2δ

(12)

W używanym w ćwiczeniu interferometrze między mierzonym przesunięciem śruby mikrometrycznej l a przesunięciem δ zwierciadła Z₁ jest dziesięciokrotne przełożenie (δ = 1/10), zatem po uwzględnieniu tego we wzorze (12) otrzymujemy wyrażenie na długość fali

(13)

2.2.Zestaw przyrządów

Zestaw przyrządów obejmuje:

a) źródło światła - laser; ponieważ laser jest źródłem światła spójnego, szczelina S₀ jest niepotrzebna;

b) płytkę szklaną z naparowaną warstwą Ag lub Al, na której igłą narysowano pojedynczą szczelinę i zestawy dwóch szczelin o różnych d; płytkę umieszczono w oprawce umożliwiającej przesuw poziomy prostopadły do wiązki laserowej;

c) ekran, na którym obserwuje się obraz dyfrakcyjno-interferencyjny;

d) szczelinę o regulowanej grubości;

e) fotoopornik;

f) interferometr Michelsona.

Rys. 7. Układ do pomiaru fotoprądu.

2.3. Schemat układu do interferencyjnym.

Fotoopornik F włączony jest w obwód wg schematu przedstawionego na rys.7, gdzie R oznacza opornik zabezpieczający, B - bateryjkę. Fotoopornik można przesuwać wzdłuż obrazu, mierząc za pomocą mikroamperomierza prąd, proporcjonalny do natężenia światła w różnych punktach obrazu.

3. WYKONANIE ĆWICZENIA

1. Włączyć laser. W bieg wiązki laserowej wstawić przesłonę z otworkiem i odrysować uzyskany na ekranie obraz dyfrakcyjny. Zmierzyć położenia minimów dyfrakcyjnych i oszacować błąd.

2. W bieg wiązki wstawić przesłonę ze szczeliną o regulowanej szerokości, Zmieniając szerokość szczeliny obserwować zmiany obrazu dyfrakcyjnego.

3. Odrysować obraz.

4. Włączyć układ pomiarowy. Zmieniając x - położenie fotooporu zmierzyć rozkład natężeń obrazu dyfrakcyjnego z uwzględnieniem natężeń w kolejnych maksimach dyfrakcyjnych.

5. Między laserem a ekranem wstawić włos i powtórzyć pp. 3 i 4.

6. Wstawić płytkę szklaną z dwiema szczelinami i powtórzyć p. 4.

7. Zmierzyć odległość L między przedmiotem a ekranem i oszacować błąd L.

8. Interferometrem Michelsona zmierzyć długość fali światła laserowego użytego w doświadczeniu. Aby wyznaczyć długość fali należy zmierzyć l przesunięcie śruby mikrometrycznej zwierciadła Z₁ i n - liczbę ciemnych kołowych prążków zmieniających się w centralnym punkcie obrazu interferencyjnego na ekranie. Przyjąć n równe 80 - 100 prążków.

---