POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI
|
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 3 TEMAT : Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.
|
ANNA SIKORA
WYDZ. : IZ ROK : II
|
DATA :
OCENA : |
0. Wstęp.
Celem przeprowadzonego doświadczenia było :
- wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu sztywności przez pomiar okresu
sprężystych drgań obrotowych. Moduł sztywności jest stałą charakteryzującą odporność
ciała na odkształcenia, a dokładniej na skręcanie.
1. Opis zjawiska fizycznego.
Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.
Istotę sprężystości można zrozumieć rozważając chociażby w przybliżeniu strukturę wewnętrzną ciała stałego. Każde ciało jest zbudowane z atomów lub cząsteczek, między którymi działają siły nazywane międzycząsteczkowymi. Siły te są w ciałach stałych na skutek małych odległości międzycząsteczkowych na tyle duże, że cząsteczki są dzięki temu uporządkowane, tworząc regularną strukturę przestrzenną, nazwaną siecią krystaliczną. Każda cząsteczka, nazywana w taki przypadku również węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi, wokół którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły : przyciągania oraz odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.
Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem:
Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.
,
gdzie a - kąt ścinania,
G - moment sztywności ,
τ - naprężenie styczne.
2. Zestaw przyrządów.
Wahadło torsyjne,
Miara milimetrowa,
Śruba mikrometryczna,
Suwmiarka,
Waga laboratoryjna,
Elektroniczny licznik okresu i czasu.
Rys.1
3. Wzór końcowy.
Kiedy moment sił sprężystych przestaje być równoważony przez moment zewnętrzny, powoduje to drgania harmoniczne obrotowe, których moment kierujący zależy od modułu sztywności :
D =
Badanie modułu sztywności w tym doświadczeniu polega na pomiarze okresu drgań układu pomiarowego ( Rys.1 ).
T = 2p*
Ponieważ nie znamy momentu bezwładności tego układu, pomiar odbywa się dwukrotnie: raz bez tarczy dodatkowej K, a następnie wraz z tarczą dodatkową o okresie drgań
T1 = 2p*,
Otrzymujemy zatem :
D =
Moment bezwładności tarczy dodatkowej łatwo jest wyliczyć ze wzoru:
.
m - masa tarczy dodatkowej
l - długość drutu
d - średnica drutu
b - średnica tarczy dodatkowej
n - ilosc drgań = 50
t1 - czas n drgań tarczy dodatkowej
t - czas n drgań tarczy
Dla zwiększenia dokładności pomiaru okresu mierzy się nie okres jednego drgania, lecz czas n ( w tym wypadku n=50 ) drgań. W rezultacie moduł sztywności można wyliczyć ze wzoru:
[ N/m2 ]
4. Tabelki pomiarów.
Długość drutu :
l1 [mm] |
l2 [mm] |
l = l1 -l2 [mm] |
45.0 |
632.0 |
627.5 |
Średnica drutu d :
d1 [mm] |
d2 [mm] |
d3 [mm] |
d = 1/3 ( d1 + d2 + d3 ) [mm] |
0.595 |
0.592 |
0.596 |
0.594(3) |
Średnica tarczy dodatkowej b :
b1 [mm] |
b2 [mm] |
b3 [mm] |
b = 1/3 ( b1 + b2 + b3 ) [mm] |
139.52 |
140.0 |
140.0 |
139.84 |
Masa tarczy dodatkowej m
:
m [g] |
310.2 |
Czas t trwania n drgań :
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t = 1/3 ( t1 + t2 + t3 ) [s] |
392.459 |
391.117 |
390.989 |
391.521(6) |
Czas t1 trwania n drgań :
t11 [s] |
t12 [s] |
t13 [s] |
t1 = 1/3 ( t11 + t12 + t13 ) [s] |
456.668 |
456.406 |
456.317 |
456.463(6) |
5. Przykładowe obliczenia.
Podstawiając do wzoru końcowego obliczamy wartość modułu sztywności :
Zamieniając odpowiednio jednostki otrzymujemy :
G = = 69578284430.8 [ N/m2 ]
G = 69578.2844308 * 106 Pa
6. Dyskusja błędów.
Do obliczenia błędu, z jakim wyznaczono moduł sztywności G, posłużę się metodą różniczki logarytmicznej. Oznaczając
a = t12 - t2
oraz zakładając, że
Δt1 = Δt
otrzymujemy :
Δa = 2t1Δt1 + 2tΔt = 2Δt( t1 + t ).
Ponieważ na dokładność obliczeń wpływają pomiary : długości drutu, jego średnicy, średnicy tarczy dodatkowej, czasu trwania n drgań, błąd obliczymy ze wzoru :
= + 2 + + 4 + 2 , czyli :
= + 2 + + 4 + 2
Za Δm, Δb, Δl, Δd, Δt podstawiamy średnie błędy bezwzględne pomiarów, czyli :
Δk = , gdzie Δki = k - ki ,
zaś k oznacza średnią arytmetyczną mierzonej wielkości.
Obliczamy teraz po kolei błąd pomiaru każdej wielkości ( pomiary pobierane są z tabelki ) :
a.) masa,
m = 310.2 g Δm = 0.1 g
= 0.000322
b.) średnica tarczy dodatkowej,
b = 139.84 mm
b1 = 139.52 mm Δb1 = 0.32 mm
b2 = 140.0 mm Δb2 = 0.16 mm
b3 = 140.0 mm Δb3 = 0.16mm
Δb = 1/3 ( 0.32 + 0.16 + 0.16 ) = 1/3 ( 0.64) = 0.21(3)
= 0.001525
c.) długość drutu,
W tabelce została uwzględniona średnia wartość pomiaru górnego - początku druta. Faktycznie wynosiły odpowiednio : l11 = 0.4 mm, l12 = 0.5mm. Przy pomiarze końca druta wartości odczytane były takie same. Zatem błąd pomiaru wyniósł Δl = 0.05.
= 0.000079
d.) średnica drutu,
Δd1 = 0.000667 mm
Δd2 = 0.002334 mm
Δd3 = 0.001667 mm
Δd = 1/3 * 0.004668 = 0.001556
= 0.002618
e.) czas trwania n drgań,
zał. Δt1 = Δt ( obliczam dla t = 391.521(6) )
Δt01 = 0.937334 s
Δt02 = 0.404667 s
Δt03 = 0.532667 s
Δt = 1/3 * 1.874668 = 0.624889
t1 - t = 64.942 s
= 0.009622
Mając teraz wszystkie dane obliczamy :
= 0.000322 + 2*0.001525 + 0.000079 + 4*0.002618 + 2*0.009622 = 0.033167
Błąd bezwzględny wynosi :
ε = 3.31 *
Jak widać największy błąd do końcowego wyniku (pomimo dokładnego przyrządu pomiarowego) wniósł pomiar średnicy badanego drutu oraz czasu trwania n drgań. Co do średnicy, to spowodowała to stosunkowo mała wartość wielkości mierzonej (0.594(3) mm) oraz to, że we wzorze końcowym wielkość ta występowała aż w czwartej potędze.
7. Uwagi i wnioski.
Największy wpływ na błąd wyznaczenia G miał błąd pomiaru średnicy drutu - wynosił 1.04 % oraz błąd pomiaru czasu trwania n = 50 drgań - 1.92 %. Przy obliczaniu błędów nalęży też wspomnieć o niedoskonałości przyrządów, choć tym razem były one dość dokładne.
Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności walca - gdyż w naszym ćwiczeniu tarcza dodatkowa miała taki kształt.
Wychodząc ze wzoru na energię kinetyczną w ruchu obrotowym
Kobr = + + ...
oraz wiedząc, że v = ωr, otrzymujemy wzór :
Kobr = ω2/2 ( r12Δm1 + r22Δm2 + ...).
Wielkość w nawiasach nie zależy od prędkości ruchu, lecz charakteryzuje opór bezwładny ciaław ruchu obrotowym : im większa jest ta wielkość, tym więcej energii trzeba zużyć dla nadania ciału danej prędkości kątowej. Wielkość ta nazywa się momentem bezwładności ciała :
I = r12Δm1 + r22Δm2 + ...
zaś wyrażenie r2Δm - momentem bezwładności punktu. Moment bezwładności I można przedstawić także w innej formie :
I = ∫ r2 dm
Dla uproszczenia obliczmy moment bezwładności płaskiego dysku o promieniu r względem osi prostopadłej do płaszczyzny dysku i przechodzącej przez jego środek. Bierzemy zatem pod uwagę przekrój walca ( płaszczyznę ), gdyż każdy „przekrój” będzie się charakteryzował taką sama bezwładnością - odpowiednie punkty równo oddalone od osi obrotu. Masa wynosi
m = ρV = ρ*πr2 , gdzie
ρ - gęstość materiału, z którego zrobiony jest dysk,
V - w tym przypadku pole płaskiego dysku (koła), zaś ogólniej bierze się objętość bryły ( we wzorze znajdowałyby się wtedy całki potrójne ).
Rys.1a
x dx
r
Masa pierścienia elementarnego o promieniu x wynosić będzie dm = ρ*2πxdx. Moment bezwładności tego pierścienia dI1 = dm*x2 . Moment bezwładności całego dysku wyrażać się będzie wzorem :
I1 = = = = 2πρ*( 1/4 x4 )r0 = 1/2πρ*r4
Podstawiając wzór na masę otrzymujemy :
I1 = 1/2 mr2