12, CW 3


POLITECHNIKA WROCŁAWSKA

INSTYTUT FIZYKI

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 3

TEMAT : Wyznaczanie modułu sztywności

metodą dynamiczną.

ANNA SIKORA

WYDZ. : IZ ROK : II

DATA :

OCENA :

0. Wstęp.

Celem przeprowadzonego doświadczenia było :

- wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu sztywności przez pomiar okresu

sprężystych drgań obrotowych. Moduł sztywności jest stałą charakteryzującą odporność

ciała na odkształcenia, a dokładniej na skręcanie.

1. Opis zjawiska fizycznego.

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.

Istotę sprężystości można zrozumieć rozważając chociażby w przybliżeniu strukturę wewnętrzną ciała stałego. Każde ciało jest zbudowane z atomów lub cząsteczek, między którymi działają siły nazywane międzycząsteczkowymi. Siły te są w ciałach stałych na skutek małych odległości międzycząsteczkowych na tyle duże, że cząsteczki są dzięki temu uporządkowane, tworząc regularną strukturę przestrzenną, nazwaną siecią krystaliczną. Każda cząsteczka, nazywana w taki przypadku również węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi, wokół którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły : przyciągania oraz odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem:

Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.

,

gdzie a - kąt ścinania,

G - moment sztywności ,

τ - naprężenie styczne.

2. Zestaw przyrządów.

Wahadło torsyjne,

Miara milimetrowa,

Śruba mikrometryczna,

Suwmiarka,

Waga laboratoryjna,

Elektroniczny licznik okresu i czasu.

Rys.1

3. Wzór końcowy.

Kiedy moment sił sprężystych przestaje być równoważony przez moment zewnętrzny, powoduje to drgania harmoniczne obrotowe, których moment kierujący zależy od modułu sztywności :

D =

Badanie modułu sztywności w tym doświadczeniu polega na pomiarze okresu drgań układu pomiarowego ( Rys.1 ).

T = 2p*

Ponieważ nie znamy momentu bezwładności tego układu, pomiar odbywa się dwukrotnie: raz bez tarczy dodatkowej K, a następnie wraz z tarczą dodatkową o okresie drgań

T1 = 2p*,

Otrzymujemy zatem :

D =

Moment bezwładności tarczy dodatkowej łatwo jest wyliczyć ze wzoru:

0x01 graphic
.

m - masa tarczy dodatkowej

l - długość drutu

d - średnica drutu

b - średnica tarczy dodatkowej

n - ilosc drgań = 50

t1 - czas n drgań tarczy dodatkowej

t - czas n drgań tarczy

Dla zwiększenia dokładności pomiaru okresu mierzy się nie okres jednego drgania, lecz czas n ( w tym wypadku n=50 ) drgań. W rezultacie moduł sztywności można wyliczyć ze wzoru:

[ N/m2 ]

4. Tabelki pomiarów.

Długość drutu :

l1 [mm]

l2 [mm]

l = l1 -l2 [mm]

45.0

632.0

627.5

Średnica drutu d :

d1 [mm]

d2 [mm]

d3 [mm]

d = 1/3 ( d1 + d2 + d3 ) [mm]

0.595

0.592

0.596

0.594(3)

Średnica tarczy dodatkowej b :

b1 [mm]

b2 [mm]

b3 [mm]

b = 1/3 ( b1 + b2 + b3 ) [mm]

139.52

140.0

140.0

139.84

Masa tarczy dodatkowej m

:

m [g]

310.2

Czas t trwania n drgań :

t1 [s]

t2 [s]

t3 [s]

t = 1/3 ( t1 + t2 + t3 ) [s]

392.459

391.117

390.989

391.521(6)

Czas t1 trwania n drgań :

t11 [s]

t12 [s]

t13 [s]

t1 = 1/3 ( t11 + t12 + t13 ) [s]

456.668

456.406

456.317

456.463(6)

5. Przykładowe obliczenia.

Podstawiając do wzoru końcowego obliczamy wartość modułu sztywności :

Zamieniając odpowiednio jednostki otrzymujemy :

G = = 69578284430.8 [ N/m2 ]

G = 69578.2844308 * 106 Pa

6. Dyskusja błędów.

Do obliczenia błędu, z jakim wyznaczono moduł sztywności G, posłużę się metodą różniczki logarytmicznej. Oznaczając

a = t12 - t2

oraz zakładając, że

Δt1 = Δt

otrzymujemy :

Δa = 2t1Δt1 + 2tΔt = 2Δt( t1 + t ).

Ponieważ na dokładność obliczeń wpływają pomiary : długości drutu, jego średnicy, średnicy tarczy dodatkowej, czasu trwania n drgań, błąd obliczymy ze wzoru :

= + 2 + + 4 + 2 , czyli :

= + 2 + + 4 + 2

Za Δm, Δb, Δl, Δd, Δt podstawiamy średnie błędy bezwzględne pomiarów, czyli :

Δk = , gdzie Δki = k - ki ,

zaś k oznacza średnią arytmetyczną mierzonej wielkości.

Obliczamy teraz po kolei błąd pomiaru każdej wielkości ( pomiary pobierane są z tabelki ) :

a.) masa,

m = 310.2 g Δm = 0.1 g

= 0.000322

b.) średnica tarczy dodatkowej,

b = 139.84 mm

b1 = 139.52 mm Δb1 = 0.32 mm

b2 = 140.0 mm Δb2 = 0.16 mm

b3 = 140.0 mm Δb3 = 0.16mm

Δb = 1/3 ( 0.32 + 0.16 + 0.16 ) = 1/3 ( 0.64) = 0.21(3)

= 0.001525

c.) długość drutu,

W tabelce została uwzględniona średnia wartość pomiaru górnego - początku druta. Faktycznie wynosiły odpowiednio : l11 = 0.4 mm, l12 = 0.5mm. Przy pomiarze końca druta wartości odczytane były takie same. Zatem błąd pomiaru wyniósł Δl = 0.05.

= 0.000079

d.) średnica drutu,

Δd1 = 0.000667 mm

Δd2 = 0.002334 mm

Δd3 = 0.001667 mm

Δd = 1/3 * 0.004668 = 0.001556

= 0.002618

e.) czas trwania n drgań,

zał. Δt1 = Δt ( obliczam dla t = 391.521(6) )

Δt01 = 0.937334 s

Δt02 = 0.404667 s

Δt03 = 0.532667 s

Δt = 1/3 * 1.874668 = 0.624889

t1 - t = 64.942 s

= 0.009622

Mając teraz wszystkie dane obliczamy :

= 0.000322 + 2*0.001525 + 0.000079 + 4*0.002618 + 2*0.009622 = 0.033167

Błąd bezwzględny wynosi :

ε = 3.31 *

Jak widać największy błąd do końcowego wyniku (pomimo dokładnego przyrządu pomiarowego) wniósł pomiar średnicy badanego drutu oraz czasu trwania n drgań. Co do średnicy, to spowodowała to stosunkowo mała wartość wielkości mierzonej (0.594(3) mm) oraz to, że we wzorze końcowym wielkość ta występowała aż w czwartej potędze.

7. Uwagi i wnioski.

Największy wpływ na błąd wyznaczenia G miał błąd pomiaru średnicy drutu - wynosił 1.04 % oraz błąd pomiaru czasu trwania n = 50 drgań - 1.92 %. Przy obliczaniu błędów nalęży też wspomnieć o niedoskonałości przyrządów, choć tym razem były one dość dokładne.

Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności walca - gdyż w naszym ćwiczeniu tarcza dodatkowa miała taki kształt.

Wychodząc ze wzoru na energię kinetyczną w ruchu obrotowym

Kobr = + + ...

oraz wiedząc, że v = ωr, otrzymujemy wzór :

Kobr = ω2/2 ( r12Δm1 + r22Δm2 + ...).

Wielkość w nawiasach nie zależy od prędkości ruchu, lecz charakteryzuje opór bezwładny ciaław ruchu obrotowym : im większa jest ta wielkość, tym więcej energii trzeba zużyć dla nadania ciału danej prędkości kątowej. Wielkość ta nazywa się momentem bezwładności ciała :

I = r12Δm1 + r22Δm2 + ...

zaś wyrażenie r2Δm - momentem bezwładności punktu. Moment bezwładności I można przedstawić także w innej formie :

I = r2 dm

Dla uproszczenia obliczmy moment bezwładności płaskiego dysku o promieniu r względem osi prostopadłej do płaszczyzny dysku i przechodzącej przez jego środek. Bierzemy zatem pod uwagę przekrój walca ( płaszczyznę ), gdyż każdy „przekrój” będzie się charakteryzował taką sama bezwładnością - odpowiednie punkty równo oddalone od osi obrotu. Masa wynosi

m = ρV = ρ*πr2 , gdzie

ρ - gęstość materiału, z którego zrobiony jest dysk,

V - w tym przypadku pole płaskiego dysku (koła), zaś ogólniej bierze się objętość bryły ( we wzorze znajdowałyby się wtedy całki potrójne ).

Rys.1a

x dx

r

Masa pierścienia elementarnego o promieniu x wynosić będzie dm = ρ*2πxdx. Moment bezwładności tego pierścienia dI1 = dm*x2 . Moment bezwładności całego dysku wyrażać się będzie wzorem :

I1 = = = = 2πρ*( 1/4 x4 )r0 = 1/2πρ*r4

Podstawiając wzór na masę otrzymujemy :

I1 = 1/2 mr2



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
12 cw metale unlockedid 13431 Nieznany (2)
18 10 12 ćw
Wyznaczanie prędkości pocisku za pomocą wahadła balistycznego skrętnego, 123 12, ćw
12 cw metale bz
HYDR 12 CW, sgsp, Hydromechanika, HYDROMECHANIKA 1
Prawo konstytucyjne SSA(3) I gr. 11 i 12 (ćw. nr 2)
Prawo konstytucyjne SSA(3) I gr 11 i 12 (ćw nr 2)
12 cw metale unlockedid 13431 Nieznany (2)
Sesja 12 cw 2
KONIE 12 12 ćw interna

więcej podobnych podstron