Magdalena Nowaczyk

PPT : Fizyka

rok : 2

Ćwiczenie 56: Pomiar indukcji magnetycznej za pomocą fluksometru.

57: Badanie efektu Halla.

Kwantowe zjawisko Halla.

Do obserwacji tego zjawiska konieczne jest stworzenie takich warunków, by energia elektronów przewodnictwa uległa skwantowaniu na dobrze rozseparowane poziomy energetyczne. W zasadzie widmo energii elektronów, na przykład w płytce przewodzącej, jest nieciągłe
E = k²/ 2m
ze względu na to, że wektor falowy k, a zatem pęd jest skwantowany. Jednakże dla płytki o rozmiarach makroskopowych odstępy między sąsiednimi poziomami energii są tak małe, że widmo energii jest niemal ciągłe. Jeśli zmniejszymy efektywną grubość płytki do grubości rzędu nanometrów, przechodząc do warstwy przewodzącej, w której nośniki prądu tworzą z dobrym przybliżeniem dwuwymiarowy gaz elektronowy, a następnie umieścimy ją w silnym polu magnetycznym o indukcji B_z rzędu 10 T, prostopadłej do powierzchni płytki ograniczenie gazu elektronowego do cienkiej warstwy prowadzi do wystąpienia dobrze rozseparowanych poziomów energii w ruchu prostopadłym do warstwy (wzdłuż osi z): . Natomiast pole magnetyczne B_z „lokalizuje” elektrony na orbitach cyklotronowych w płaszczyźnie xy warstwy, powodując skwantowanie ich energii w tej płaszczyźnie (prostopadłej do pola magnetycznego): , n = 0, 1, 2, ..., gdzie ω_c = eB_z/m jest częstością cyklotronową. Innymi słowy, pole magnetyczne kwantuje ruch orbitalny elektronów; powstające poziomy energii E_n noszą nazwę poziomów Landaua. Całkowita energia jest więc postaci
E_jn = E_j + E_n = ;
pierwszy człon określa energię ruchu elektronu wzdłuż osi z, drugi - energię ruchu w płaszczyźnie xy.
Takie dyskretne widmo energii o przerwach energetycznych większych od wszelkich innych występujących w zjawisku wartości energii (np. energii termicznej, szerokości poziomów itp.) jest konieczne do zaobserwowania kwantowego zjawiska Halla, albowiem tylko wtedy, gdy całkowita liczba i poziomów energii E_jn jest wypełniona elektronami, podczas gdy wszystkie inne poziomy o większych energiach są puste, opór Halla R_yx staje się stałą uniwersalną
R_yx = B_z/ne =, i = 1, 2, ...
Dzieje się tak na skutek skwantowania koncentracji nośników n! Trzeba mianowicie założyć, że koncentracja nośników n jest równa n = iN = ieB_z/2π, gdzie i jest liczbą wypełnionych poziomów energii, a N = eB_z/2π - liczbą stanów na jednostkę powierzchni. Warunek, by dokładnie określona liczba i poziomów energii przyczyniała się do zjawiska Halla, jest spełniony, jeśli znika rozpraszanie elektronów(przerwa energetyczna oddzielająca stany obsadzone od pustych uniemożliwia zachodzenie takich przejść z zachowaniem energii). Ale brak rozpraszania sprawia, że w kierunku prostopadłym do pola elektrycznego E_y i magnetycznego B_z płynie prąd j_x bez oporu elektrycznego (tzn. R_xx = U_x/I_x = 0, gdzie U_x jest spadkiem napięcia wzdłuż kierunku przepływu prądu w warstwie).
Jeśli dokładnie i poziomów energii Enj jest wypełnionych przez elektrony, to pomiary zjawiska Halla dla dwuwymiarowego gazu elektronowego w silnym polu magnetycznym prowadzą do wyznaczenia wartości oporu Halla
,
gdzie μ₀ = 4π•10^-7 T•m/A jest przenikalnością magnetyczną próżni, c jest prędkością światła w próżni, a α - stałą struktury subtelnej. Pomiar oporu Halla pozwala zatem wyznaczyć wartość stałej struktury subtelnej α = μ₀c/2R_yx. Odwrotnie, znajomość stałej α pozwala skonstruować „kwantowy” wzorzec oporu R_yx = μ₀c/2α (dla i =1).
Wartość oporu Halla wynosi
Ryx = 25812,8056±0,0012Ω,
co daje
α^-1 = 137.0359943 ± 0.0000127,
podczas gdy zalecana wartość „oficjalna”
α^-1 = 137.03598995 ± 0.0000061.
Eksperymentalnie, jako układu realizującego dwuwymiarowego gaz elektronowy, von Klitzing i współpracownicy użyli krzemowego tranzystora polowego z izolowaną bramką. Jest to w zasadzie kondensator złożony z warstw metalu, tlenku i półprzewodnika. Przyłożenie dostatecznie dużego potencjału do warstwy metalu (napięcie bramki) prowadzi do pojawienia się elektronów przy powierzchni półprzewodnika w tak cienkiej warstwie, że zachodzi kwantowanie energii ich ruchu w kierunku prostopadłym do powierzchni.
Prostopadłe do powierzchni pole magnetyczne powoduje skwantowanie ruchu równoległego do powierzchni. Jeśli tranzystor znajduje się w temperaturze ciekłego helu, to widmo energii, które powstaje, jest charakterystyczne dla dwuwymiarowego gazu elektronowego.

1.Pomiar pola magnetycznego fluksometrem.

Fluksometr jest przyrządem całkującym, dającym wychylenie proporcjonalne do całkowitego ładunku q, który przepłynął przez uzwojenie cewki fluksometru.

ϕ_k - wychylenie cewki,
R_g - rezystancja wewnętrzna fluksometru,
R - rezystancja zewnętrzna obwodu fluksometru,
q - ładunek,
Φ_o = nBQ - stała fluksometru,
n - liczba zwojów cewki,
B - indukcja magnetyczna w szczelinie magnesu fluksometru,
Q - powierzchnia ramki fluksometru.

Wartość indukcji magnetycznej obliczamy ze wzoru
,
w którym
n - liczba zwojów sondy,
S - powierzchnia zwoju,
B - indukcja magnetyczna.

n = 40 ± 0.5
S = 4.70 ± 0.04 cm²
ΔI = 0.0375 A
ΔΦ = 0.05 mWb
błąd indukcji magnetycznej B obliczamy ze wzoru:

2. Pomiar pola elektromagnetycznego hallotronem.

Hallotron to urządzenie służące do wyznaczania indukcji magnetycznej. Hallotron posiada stałą charakterystyczną, którą nazywa się czułością hallotronu.

γ - czułość hallotronu,
e - wielkość ładunku elementarnego,
n - koncentracja elektronów swobodnych,
d - grubość hallotronu .
W doświadczeniu wyznaczamy czułość hallotronu oraz koncentrację elektronów swobodnych korzystając z zależności :
i

e = 1.602 •10-19 C;
d = 0.1 mm ; ;
ΔI = 0.075 mA
ΔI_m = 0.75 mA , ΔI_m = 0.375 mA ;
;
ΔU_H = 0.05% wartości mierzonej + 0.01% zakresu,

I = 5 mA , U_H = 4.75 mV po włożeniu ramki z hallotronem
Błąd czułości hallotronu obliczamy ze wzoru:

I_m = 148 mA , B = 0.5 T,

γ = 111.5 ± 5 [ m²/C ]

= 0.56*10²¹ [ 1/m³ ]

Δn = 0.06*10²¹ [1/m³]

WNIOSKI.

Patrząc na wykres przedstawiający zależność wartości indukcji magnetycznej B od natężenia prądu elektromagnesu zauważamy jego liniowość. Jest to zgodne z przewidywaniami, ponieważ wychylenie fluksometru jest proporcjonalne do całkowitego ładunku, jaki przepłynął przez niego, a natężenie prądu jest również proporcjonalne do ładunku. Przy pomiarach natknęliśmy się na trudności związane z brakiem możliwości ustawienia położenia zerowego, co mogło mieć wpływ na przebieg doświadczenia.

Dla pomiarów hallotronowych obliczyliśmy dwie wielkości γ - czułość hallotronu i n - koncentrację elektronów swobodnych, są one równe γ = 111.5 ± 5 [ m²/C ] , n = (0.56±0.06)* 10 ²¹ [ 1/m³ ]. W tablicach znaleźliśmy jedynie wartość koncentracji dla miedzi n = 0.8*10²⁸ m^-3. Jak widać nasz wynik jest o siedem rzędów mniejszy. Nie oznacza to wcale, że nasz wynik jest zły. Ponieważ miedź jest przewodnikiem, a cewka hallotronu mogła być np.półprzewodnikiem i w związku z tym rząd koncentracji mógł być mniejszy. Dla tych pomiarów narysowaliśmy również dwa wykresy: zależności napięcia Halla od indukcji magnetycznej elektromagnesu i od natężenia prądu zasilającego hallotron. Obie te zeleżności, co widać na wykresie, są liniowe. Należało się tego spodziewać biorąc pod uwagę zależność U_H = γIB.

---