1,Podstawowe pojęcia ruchu punktu (równanie, tor, promień wektor) W przypadku gdy punkt porusza się, czyli zmienia z upływem czasu swoje położenie wówczas x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) Położenie początkowe położenie punktu w chwili t=0 Tor punktu linia będąca miejscem geometrycznym chwilowych położeń punktu Jeśli torem punktu jest linia płaska to może być np. z=con. Wtedy: x=f₁(t), y=f₂(t), Promień wektor r jest funkcją wektorową czasu i oznaczamy to r=r (t) Jeśli początek r pokrywa się z początkiem układu 0xyz tor_x=x(t), r_y=y(t), r_z=z(t) r=ix(t) + jy(t) + kz(t) 2. Równania ruchu punktu we współrzędnych krzywoliniowych Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie r=f₁(t), φ=f₂(t)  = 0 x=rcos y=rsin Współrzędne biegunowe w przestrzeni r=f₁(t) φ=f₂(t)  = f₃(t) x=rsin cos y=rsin sin z=rcos Współrzędne walcowe r^'=f₁(t) φ=f₂(t) z=f₃(t) x=r^'cosφ, y=r^'sinφ, zz 3.Prędkość średnia, chwilowa Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu r promienia wektora w dwóch położeniach do czasu t potrzebnego na przejście z pierwszego położenia w drugie Vsr=r/t gdzie t = t₂ - t₁ czas potrzebny na przejścia punktu A z położenia A₁ do A₂.Wektor prędkości średniej ma kierunek r Wektorem prędkości chwilowej punktu A nazywamy granicę, do której dąży wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu t dąży do zera V=lim del t ->0 (del r/delt) Wektor prędkości V jest styczny do toru punktu.4. Przyspieszenie punktu równe jest granicy, do której dąży stosunek przyrostu geometrycznego prędkości do przyrostu czasu, gdy ten ostatni przyrost dąży do zera. a=lim del t->0(del V/del t =dV/dt) W układzie prostokątnym: a=i*a_x+j*a_y+ k*a V =i*V_x+ j*V_y + k*V_z różniczkując względem czasu i podstawiając otrzymujemy a= i(dVx/dt)+j(dVy/dt)+k(Vz/dt) 5, Ruch prostoliniowy (jednostajny, jednostajnie zmienny) Ze względu na sposób poruszania się po torze ruch punktu możemy podzielić na: jednostajny, jednostajnie zmienny, zmienny, okresowy. Różniczkując względem czasu t promień wektor r, otrzymujemy wektor prędkości V=r'(t)=s'(t)*r Różniczkując względem czasu wektor prędkości V otrzymujemy wektor przyśpieszenia a -dV/dt=s”(t)*e Ruch jednostajny ruch, w którym szybkość jest stała, czyli w dowolnych, jednakowych odstępach czasu, przebyte przez ciało drogi są takie same. W tym ruchu szybkość średnia jest równa szybkości chwilowej. Ruch jednostajnie zmienny a=dV/dt=const czyli dV=a*dt całkujemy to równanie i wychodzi V=Vo+at Jeśli a>0 to ruch jednostajnie przyśpieszony, jeśli a<0 to ruch jednostajnie opóźniony. Ruch jednostajnie zmienny jest szczególnym przypadkiem ruchu zmiennego. W ruchu tym zmiany prędkości ciała są proporcjonalne do czasu., w którym te zmiany nastąpiły. Jeżeli prędkość ciała wzrasta, ruch taki nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym, zaś jeśli prędkość maleje, ruch nazywamy ruchem jednostajnie opóźnionym.

6, Ruch harmoniczny prosty x=bsin( ωt+ φ0)=bsin φ ; b, ω,φ, są stałymi. x odległość punktu M od punktu O zwanego środkiem ruchu harmonicznego. B amplituda ruchu harmonicznego. φ = ω t +φ_o faza ruchu harmonicznego. φ_o faza początkowa ruchu harmonicznego. prędkość punktu M → V=x'=b ωcos( ωt+ φ_{o ) ;} przyśpieszenie punktu M → a=x”=-b ω^2sin( ωt+ φ_o ) Ponieważ funkcja sin(kt+φ₀) jest funkcją okresową badany ruch punktu jest także ruchem okresowym, tzn. powtarzającym się w równych odstępach czasu. Okres T tego ruchu, czyli najkrótszy przedział czasu, po którego upływie punkt powróci do położenia, które zajmował w chwili t, poruszając się w tę samą stronę. Warunek ω(t+T)+ φ0= ωt +φ0 +2 Pi stąd T=2Pi/ ω ; częstość ruchu V=1/T= ω/2Pi [Hz] ; ω- rad / s^-1 pulsacja lub częstość kołowa 7, Ruch krzywo liniowy kśr=delφ/del s ; średnia krzywizna k=lim (del s → 0) delφ /del s= d φ /ds ; krzywizna toru w punkcie p=1/k=ds/d φ promień krzywizny 8, Prędkość i przyśpieszenie punktu w płaskim układzie naturalnym Ruch płaski V^-> = V·t^-> ; a~=d/dt (Vł~)=dV~/dt ł +V dł/dt ; Pochodna wersora |del ł|=2|ł|sin (del φ/2)= 2|ł| (sin del φ/ delφ/2)* delφ /2= |ł|(sin del φ/ delφ/2)* delφ /2) *del φ Po przejściu do granicy mamy |dł|~=lim (delφ/2 → 0) |ł|~ (sin delφ/2 /del φ/2 )* delφ=|ł|dφ=1*dφ gdzie = 1 stąd d/dt |ł|~=dφ/dt przyrost bezwzględny wersora. Kierunek przyrostu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wersora n dlatego przyrost wersora możemy zapisać dł/dt=n~ dφ/dt Podstawiając otrzymujemy a~=dV/dt ł~ +V^2/p n~=at~ + an ~ gdzie at=dV/dt ; przyśpieszenie styczne an=V^2/p przyśpieszenie normalne a=pier z at^2 +an^2 9, Ruch punktu po okręgu s=rφ ; V=ds/dt=r* dφ/dt= r ω [m/s] gdzie ω=dφ/dt *s^-1 ; φ-prędkość kątowa, n-prędkość obrotowa ; Przyśpieszenie normalne an=V^2/r = ω^2*r Przyśpieszenie całkowite a=pier z at^2+an^2=r pier z (dω /dt)^2 +ω^4 10, Prędkość i przyspieszenie kątowe jako wektory ω~=ωe~=dφ /dt *e~ Prędkość kątowa ω~, mająca wartość pochodnej względem czasu kąta obrotu φ, jest wektorem leżącym na osi obrotu. Moduł wektora prędkości V = ωRsinδ = ωr V~ = ω~ x R~ Wektor V jest prostopadły do wektorów ω~ i R~. Przyspieszenie: a=E x R +ω x V= at +an Przyśpieszenie kątowe E~=dω/dt 11,Przyspieszenie w układzie prostokątnym i naturalnym (relacja) at=acosB=axcosL+aysinL ; an=asinB=aycosL-axsinL ponieważ sinL=Vy/V ; cos L=Vx/V otrzymujemy at=1/V *(axVx+ayVy) ; an=1/V *(ayVx-axVy) 12, Ruch ciała sztywnego. Opis położenia ciała sztywnego. Stopnie swobody. ciało sztywne-zbiór punktów których wzajemne odległości są stałe. *Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznie określony przez równania ruchu trzech punktów nie leżących na jednej prostej.

* Ruch ciała sztywnego może być określony wektorowymi równaniami trzech punktów. r_A=r_A(t) r_B=r_B(t);r_C=r_C(t) *Warunek, aby 3 punkty nie leżały na jednej prostej (r_B - r_A)x(r_C - r_A)=/ 0 W układzie prostokątnym równania mają postać: (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² + (z_A - z_B)² = b² (x_A - x_C)² + (y_A - y_C)² + (z_A - z_C)² = c² (x_B - x_C)² + (y_B - y_C)² + (z_B - z_C)² = d² Aby określić położenie ciała w przestrzeni wystarczy określić sześć niezależnych współrzędnych, mówimy że ciało w przestrzeni ma sześć stopni swobody. Aby unieruchomić 1 punkt należy podać 3 współrzędne a więc ciało o unieruchomionym 1 punkcie, ma 3 stopnie swobody 13, Metoda wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego Twierdzenie: W ciele sztywnym podczas dowolnego ruchu, rzuty wektorów prędkości dwóch jej dowolnych punktów na prostą łączącą te punkty są sobie równe. VbcosB=VacosL 14, Ruch postępowy ciała sztywnego ruch postępowy-ruch ciała sztywnego w którymwszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć Va~=Vb~=Vc~=du(t)/dt ; aA~=aB~=aC~=d^2u(t)/dt W ruchu postępowym ciała sztywnego wszystkie punkty mają takie same prędkości, przyśpieszenia i poruszają się po takich samych równolegle przesuniętych torach. 15, Ruch obrotowy ciała sztywnego Równanie toru punktu s = r φ(t) ; V=ds/dt=r dφ/dt=rω(t) ; at=dV/dt=r dω/dt =rE ; an=V^2/r= ω^2*r^2/r= ω^2r ; a=pier z at^2=an^2=r*pier z E^2+ω^4 ; tgL=at/an=E/ω^2 16, Prędkość punktu w ruchu złożonym ruch bezwzględny *ruch względem układu nieruchomego *ruch względny ruch względem układu ruchomego *ruch unoszenia ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego ; 0'XYZ układ nieruchomy,0xyz układ ruchomy oraz układ unoszenia rM=r0+r ; Prędkość bezwzględna punktu M VM~=drM~/dt=dr0~/dt +dr~/dt=V0~+dr~/dt wzór na prędkość bezwzględną punktu M w ruchu złożonm ~~VM= V0+ ωxr+Vw=Vu+Vw=u+w Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest wypadkową prędkości unoszenia u i prędkości względnej w 17,Przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym aM=~~ dVM/dt=dV0/dt+dω /dt xr+ωx dr/dt+dw/dt ; dV0/dt=a0 jest składową przyśpieszenia unoszenia w ruchu postępowym układu ruchomego 0xyz dω~/dt xr~ jest składową styczną przyśpieszenia unoszenia w ruchu obrotowym układu ruchomego. przyśpieszenie punktu M ma postać: ~~ aM=[a0+Exr + ωx(ωxr)]+aw+2ωxw ; au=a0+Exr+ ωx(ωxr) przyśpieszenie unoszenia ; au=a0+aut+aun ac=2ωxw przyśpieszenie Coriolisa ; aM=au+aw+ac Przyśpieszenie bezwzględne a_M punktu M w ruchu złożonym równa się sumie wektorowej przyśpieszeń unoszenia a_u , przyśpieszenia względnego a_w i przyśpieszenia Coriolisa a_c ~.

18, Ruch płaski ciała sztywnego. Twierdzenie Eulera [Pierwsze twierdzenie Eulera: Dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie może być dokonane za pomocą obrotu wokół pewnego punktu, zwanego środkiem obrotu.] Ruch płaski składa się z chwilowego ruchu postępowego i chwilowego ruchu obrotowego. Ruch dowolnego punktu B figury płaskiej w układzie nieruchomym opisujemy za pomocą promienia wektora r_B = r_A + r Prędkość punktu B ~~Vb=drB/dt=drA/dt+dr/dt 19, Wyznaczanie prędkości w ruchu płaskim ( metoda analityczna, metoda chwilowego środka obrotu, metoda superpozycji) Metoda analityczna XB=XA+(XC-XA)-(XC-XB)=Xa+xcosφ-ysinφ ; YB=YA+(YE-YA)+(Yb-Ye)=YA+xsinφ+ycosφ gdzie x i y są stałymi, φ zmienna w czasie. Składowe prędkości punktu B w układzie VB=pier z Vbx^2+Vby^2 Metoda chwilowego środka obrotu ω=VA/A0=VB/B0 ; Wyznaczanie prędkości punktu B metodą superpozycji VAB= ωxAB ; VAB=| ωxAB|= ω*ABsin90= ω*AB ; VB=pier z VA^2+VAB^2-2VAVABcos(90-L) 20, Przyśpieszenia w ruchu płaskim (metoda analityczna, Metoda superpozycji) metoda analityczna Różniczkujac VBX=VAX-φ(YB-YA) ; VBY=VAY+φ(XB-XA) otrzymujemy aBY=A=aAY+φ''(XB-XA)-φ'2(YB-YA) Metoda superpozycji a_B = a_A + a_BA ; a_BA = a_BAn + a_BAt a_BAn = ²l; a_BAt = ·l; gdzie l = AB ; aB=pier z(aAcosL-ω^2l)^2+(El-aAsinL)^2 Przyśpieszenie dowolnego punktu B pręta AB poruszającego się ruchem płaskim, jest równe sumie geometrycznej przyśpieszenia dowolnie obranego punktu A oraz przyśpieszenia punktu B wynikającego z obrotu względem punktu A. 21,Ruchem kulistym ciała sztywnego nazywamy taki ruch ciała podczas którego jeden jego punkt pozostajenieruchomy  - ksi, ψ - psi, ζ - dzeta, φ - fi, η - eta,
- teta Układ nieruchomy 0xyz, wersory tego układu i₁, j₁, k₁, układ związany z ciałem 0ξηζ, wersory tego układu i₂, j₂, k_{2 c}24, PRECESJA REGULARNA Kąt precesji
= const, stąd ω3=d9/dt=0 ; ω=ω1+ω2 oraz ω₁ = const, ω₂ = const Na podstawie wzoru przyśpieszenie kątowe E=ω1xω Biorąc pod uwagę, że ω=ω1+ω2 otrzymamy E=ω1x(ω1+ω2)=ω1xω2 gdyż ω1xω2=0 Wektor przyśpieszenia kątowego ω o przyjętym początku w środku ruchu kulistego 0 jest prostopadły do wektorów ω ₁ i ω ₂, a więc jest skierowany wzdłuż linii węzłów 0n Przyśpieszenie liniowe a jest równe sumie geometrycznej przyśpieszenia precesyjnego a₁ =Exr=(ω 1xω 2)xr i przyśpieszenia doosiowego a₂ = ωxV=( ω1+ ω2)xV ; a=a1+a2

---