DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE

EDYCJA V - ROK SZKOLNY 2005/06

GIMNAZJA - FINAŁY (duży i mały)

1. Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych (x,y) spełniające nierówność:

2x² − 2x + 2 − 6xy + 13y² + 4y > 0.

2. Udowodnij, że w trójkącie dwusieczna kąta, symetralna boku leżącego naprzeciw tego kąta i okrąg opisany na tym trójkącie mają punkt wspólny.

3. Kwadrat liczby naturalnej ma jednakowe cyfry jedności i dziesiątek. Jakie to cyfry?

4. Dla jakich n równanie: x₁+x₂+...+x_n = x₁⋅x₂⋅...⋅x_n ma w liczbach naturalnych rozwiązanie składające się z n różnych liczb?

5. Znajdź punkt wewnątrz czworościanu foremnego, dla którego suma odległości od ścian tego czworościanu jest najmniejsza.

6. Znajdź wszystkie liczby całkowite x i y spełniające równanie: x²+x+1= y².

7. Trapez ABCD, w którym
   , spełnia warunki: AB = AD = BC > CD. M jest punktem leżącym na
   , takim że figury BCDM i ABM mają równe pola. Udowodnij, że mają też równe obwody.

8. Która liczba jest większa: 1⋅2⋅3⋅...⋅2005⋅2006 czy 1003²⁰⁰⁶?

9. Niech p i q będą różnymi liczbami pierwszymi. Oznaczmy przez n liczbę p⋅q¹⁰⁰. Ile spośród elementów zbioru {1, 2, 3, ..., n} jest względnie pierwszych z n?

(DEFINICJA: liczby naturalne k i l nazywamy względnie pierwszymi, jeśli NWD(k,l)=1).

10. W 2006 punktach płaszczyzny stoją 1003 duchy i 1003 pogromców. Żadne 3 z tych punktów nie leżą na jednej prostej. Pogromca obezwładnia ducha, wysyłając w jego kierunku strumień protonów, który jest przez ducha pochłaniany (tzn. nie biegnie dalej). Strumienie protonów nie mogą mieć punktów wspólnych, ponieważ zaburza to czasoprzestrzeń i jest niesłychanie niebezpieczne. Czy jest możliwe, aby pogromcy obezwładnili wszystkie duchy jednocześnie?

---