DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

RUNDA ELIMINACYJNA

MECZ I

1. Panowie Piekarz, Lekarz i Dekarz to piekarz, lekarz i dekarz. Pan Piekarz mówi: "Żaden z nas nie wykonuje zawodu takiego, jak brzmi jego nazwisko.". Na to lekarz mówi: "Tak, to prawda.". Obaj panowie powiedzieli prawdę. Jaki zawód wykonuje każdy z nich?

2. Ile jest liczb stucyfrowych niepodzielnych przez 6?

3. Jakie liczby całkowite spełniają równanie (x−2001)(x−2002)(x−2003)(x−2004)(x−2005) = 24 ?

4. Ustaw liczby
   ,
   ,
   od najmniejszej do największej.

5. 
   

Przy sytuacji przedstawionej na rysunku wiadomo, że ∠BUT = 120°, ∠STU = 90°, TU = 1. Oblicz promień okręgu stycznego do
i półprostych UB i TS.

6. Gdy Piotr miał połowę lat, które Paweł ma teraz, obaj mieli w sumie 18 lat. Za 5 lat będą razem mieli 40 lat. Ile lat ma każdy z chłopców obecnie?

7. Skrzynia ma zamek z 6-cyfrowym kodem. Gdy jest zamknięta, układ cyfr tworzy liczbę 499244. W zamku nie można dowolnie zmieniać cyfr, dopuszczalne są jedynie dwie operacje: jeśli po cyfrze 4 występuje 9, to parę 49 można zastąpić parą 24, a jeśli po cyfrze 2 występuje 4, to parę 24 można zastąpić parą 92. Kod otwierający skrzynię to najmniejsza z liczb, jakie można otrzymać z 499244, stosując te operacje. Jaki to kod?

8. Dane jest koło o promieniu r i środku O. A jest różnym od O punktem z wnętrza tego koła. Niech B będzie takim punktem na półprostej OA, że OA⋅OB=r². Udowodnij, że środek odcinka AB leży poza danym kołem.

9. Na kwadratowej ścianie prostopadłościanu 4×4×10 siedzi pająk krzyżak. Jest w odległości 3 od jednego boku ściany, na której siedzi, i 2 od innego. Znajdź najkrótszą drogę, po której pająk może przedostać się na punkt położony symetrycznie do jego obecnego położenia względem środka prostopadłościanu?

10. Zebrane grzyby zawierały 90% wody. Po częściowym wyschnięciu miały 80% wody. O ile procent zmniejszyła się ich waga?

DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

RUNDA ELIMINACYJNA

MECZ II

1. Czterej matematycy ustawiają się w kółko grają w następującą grę: każdemu zakłada się na głowę beret, tak żeby go nie widział. Matematycy wiedzą, że każdy beret jest czerwony albo zielony i że przynajmniej jeden jest zielony. W kolejnych rundach gracz ma podnieść rękę, jeśli wie, jakiego koloru beret ma na głowie. W trzech pierwszych rundach nikt nie podniósł ręki. Jakie berety mają na głowach matematycy?

2. Właściciele fermy drobiowej „Kurza łapka” podają, że statystycznie ¾ kury znosi w ciągu ¾ doby ¾ jajka. Ile średnio jajek znosi kura w ciągu doby?

3. Wiek pana Kowalskiego powstaje w wyniku przestawienia cyfr w liczbie lat jego ojca. Ile lat ma pan Kowalski, jeżeli rok temu był dwa razy młodszy od swojego ojca?

4. Ile dzielników naturalnych ma liczba 12²⁰⁰⁴ ?

5. Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które są sześcianami sumy swoich cyfr.

6. W Powiatowym Maratonie Szachowym każdy spośród 12 graczy rozegrał jedną partię z każdym innym i żadna gra nie zakończyła się remisem. Niech a_k oznacza liczbę partii przegranych, a b_k - wygranych przez gracza z numerem k. Udowodnij, że
   .

7. W kwadrat jednostkowy A₁B₁C₁D₁ wpisano jak na rysunku kwadrat A₂B₂C₂D₂. (A₂ jest środkiem
   itd.). Następnie w A₂B₂C₂D₂ wpisano analogicznie kwadrat A₃B₃C₃D₃ (A₃ jest środkiem
   itd.), w A₃B₃C₃D₃ - kwadrat A₄B₄C₄D₄, tak że A₄ jest środkiem
   itd., itd. Oblicz pole czworokąta A₂₀₀₄B₂₀₀₃C₂₀₀₂D₂₀₀₁.

8. Koła olimpijskie tworzą figurą jednobieżną, tj. można je objechać, przejeżdżając po każdym łuku dokładnie raz. Na ile sposobów można to zrobić, startując z punktu S?

9. W trójkącie ABC o polu 20 cm² wybrano na boku AB punkt D, tak że AD = ¹/₅ AB, a na boku BC punkt E, taki że BE = ¹/₅ BC. Oblicz pole trójkąta BDE.

10. Wśród panów: Abacki, Babacki, Cabacki, Dabacki tylko jeden jest klaunem, ale tylko jeden z nich mówi prawdę, a pozostali zawsze kłamią. Abacki mówi: "Dabacki jest klaunem.", Babacki mówi: "Ja nie jestem klaunem.", Cabacki mówi: "Ja nie jestem klaunem.", Dabacki mówi: "Cabacki jest klaunem.". Który z nich jest klaunem?

DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

RUNDA ELIMINACYJNA

MECZ III

1. Trzech panów poszło w deszczowy dzień do sklepu i kupili za 30 zł parasolkę, składając się po 10 zł. Po ich wyjściu ze sklepu sprzedawczyni uświadomiła sobie, że parasolka kosztuje 25 zł, więc wysłała pomocnicę, żeby 5 zł im oddała. Nie wiedząc, jak podzielić 5 zł na trzy osoby, pomocnica wzięła sobie 2 zł, a klientom oddała po złotówce. Zapłacili oni zatem po 9 zł, ale 3 ^. 9 zł = 27 zł, do tego 2 zł u pomocnicy = 29 zł, więc gdzie jest złotówka?

2. Jan ma 36 lat. Ile lat ma Paweł, jeśli Jan ma dwa razy tyle, ile Paweł miał wtedy, kiedy Jan miał tyle, ile Paweł ma teraz?

3. Czy trójkąt o bokach długości
   ,
   i
   jest prostokątny?

4. Jaką resztę przy dzieleniu przez 6 daje liczba, której zapis dziesiętny to 2004 jedynki?

5. Czy to prawda, że między każdymi dwiema liczbami rzeczywistymi znajduje się jakaś liczba wymierna.

6. Ustaw liczby:
   w kolejności od najmniejszej do największej.

7. W nieskończonym ciągu a₁, a₂, a₃, ... różnica każdych dwóch kolejnych elementów jest stała. Ponadto wiadomo, że a₉ jest potrojonym a₇, a a₂₁ to 10. Ile wynosi a₁?

8. Jakie pary (x, y) spełniają nierówność ½(x + y - |x - y|) > 2004 ?

9. Na ile części rozpadnie się wypukły stukąt rozcięty wzdłuż wszystkich przekątnych poprowadzonych z dwóch sąsiednich wierzchołków?

10. Trzy siostry studiują na uniwersytetach: Warszawskim, Jagiellońskim i Wrocławskim. Ich kierunki studiów to biologia, chemia i historia. Wiadomo, że Kaśka nie studiuje w Krakowie, siostra ucząca się w stolicy nie studiuje historii, jedna z sióstr studiuje chemię na najstarszej polskiej uczelni, Kaśka nie studiuje biologii, Marta nie studiuje na Mazowszu. Co i gdzie studiuje Ania?

U

B

T

S

C₁

D₁

A₁

B₁

A₂

D₂

C₂

B₂

---