WNIOSKOWANIE
(1) Osoba x wywnioskowała to, że q z tego, że p, jeżeli osoba x uznała zdanie q, czyli wniosek, ponieważ uznała zdanie p, czyli przesłankę.
(2) Schemat inferencyjny to schemat wnioskowania, ujawniający strukturę tego wnioskowania - a więc to, które spośród zdań są przesłankami, a które wnioskiem oraz strukturę logiczna przesłanek i wniosku. Przesłanki w schemacie inferencyjnym umieszczane są jedna nad drugą i oddzielone są od wniosku poziomą kreską.
(3) Zasada wnioskowania to formuła, która powstaje ze schematu inferencyjnego przez połączenie przesłanek w jedną koniunkcję i zastąpienie kreski oddzielającej przesłanki od wniosku funktorem implikacji.
(4) Wnioskowania, których zasada jest tautologią są niezawodne, dedukcyjne. Wnioskowania, których zasada nie jest tautologią są zawodne, czyli niededukcyjne.
Zadanie 1. Proszę utworzyć zasadę wnioskowania dla schematów inferencyjnych i sprawdzić, czy wnioskowania o tych schematach są dedukcyjne (niezawodne):
p ⇒ q p p ⇒ q p∨q
q⇒r p⇒q q ¬p
------ ------- ------ ------
p⇒r q p q
Dla pierwszego przykładu:
Zasada: [(p ⇒ q)∧ (q ⇒ r)]⇒ (p ⇒ r) jest tautologią
Zadanie 2. Proszę w odniesieniu do poniższych wnioskowań, podać
podać schemat inferencyjny
podać zasadę wnioskowania
sprawdzić, czy wnioskowanie jest dedukcyjne.
Wnioskowanie 1
Nie mam portfela. Jeżeli ktoś mi ukradł portfel, to go nie mam. A zatem ktoś mi ukradł portfel.
Słowo „zatem” występuje na początku wniosku, a zatem wszystkie zdania przed „zatem” to przesłanki. Wnioskowanie to jest zatem następujące:
Przesłanka 1 (P1): Nie mam portfela.
Przesłanka 2 (P2) Jeżeli ktoś mi ukradł portfel, to go nie mam.
Wniosek (W) : Ktoś mi ukradł portfel.
Schemat inferencyjny jest następujący:
(P1): ¬p
(P2): q ⇒¬p
(W): q
Zasada wnioskowania ma postać:
[P1∧P2] ⇒ W, a zatem: [¬p ∧ (q ⇒¬p)] ⇒ q
Formuła ta nie jest tautologią, a zatem wnioskowanie nie jest dedukcyjne (czyli jest zawodne).
Wnioskowanie 2
Jeżeli Henio dostał wypłatę, to się upił. Ale Henio nie upił się, a zatem nie dostał wypłaty.
Wnioskowanie to jest zatem następujące:
(P1): Jeżeli Henio dostał wypłatę, to się upił.
(P2): Henio nie upił się.
(W) : Henio nie dostal wypłaty
Schemat inferencyjny jest następujący:
(P1): p⇒q
(P2): ¬q
(W): ¬p
Zasada wnioskowania ma postać:
[P1∧P2] ⇒ W, a zatem: [(p⇒q) ∧¬ q)] ⇒ ¬p
Formuła ta jest tautologią, a zatem wnioskowanie jest dedukcyjne (czyli jest niezawodne).
Wnioskowanie 3
Czy 8 jest liczbą parzystą? Załóżmy, że 8 nie jest liczbą parzystą. Jeżeli 8 nie jest liczbą parzystą, to 8 nie dzieli się bez reszty przez dwa. Ale 8 dzieli się bez reszty przez dwa. A zatem 8 jest liczbą parzystą.
Wnioskowanie 4
Czy Zosia znalazła ptaka?
Jeżeli to, co Zosia znalazła jest ptakiem, to owo coś ma skrzydła. Ale to nie ma skrzydeł. A zatem to nie jest ptak.
Wnioskowanie 5
Czy dinozaur T-Rex był mięsożerny?
Jeżeli T-Rex był mięsożerny, to miał ostre zęby.
T-Rex miał ostre zęby. A zatem T-Rex był mięsożerny.
Wyjaśnianie zdania p polega na wskazaniu jego (hipotetycznej) racji. (odpowiadamy na pytanie: Dlaczego p?)
WYJAŚNIANIE PRZEZ GENERALIZACJĘ - polega na wskazaniu dla danego zdania racji, z której to zdanie wynika na podstawie prawa dictum de omni
Dlaczego ten konkretny obiekt typu T jest P-owy?
Bo wszystkie obiekty typu T są P-owe.
Schemat inferencyjny:
Każdy obiekt typu T jest P-owy
Ten konkretny obiekt typu T jest P-owy
Przykład:
Dlaczego ta cytryna jest żółta?
Bo wszystkie cytryny są żółte.
WYJAŚNIANIE PRZEZ INDUKCJĘ
ENUMERACYJNĄ NIEZUPEŁNĄ
Przedmiot P1 typu S jest P-owy.
Przedmiot P2 typu S jest P-owy.
Przedmiot P3 typu S jest P-owy.
Jest więcej przedmiotów typu S niż P1, P2 i P3.
Każdy przedmiot typu S jest P-wy
Przykład:
Muszka owocówka nr 1ma skrzydełka.
Muszka owocówka nr 2ma skrzydełka.
Muszka owocówka nr 3ma skrzydełka.
Jest więcej muszek owocówek niż nr 1, 2 i 3.
Zatem każda muszka owocówka (również nieprzebadana) ma skrzydełka.
WYJAŚNIANIE PRZEZ INDUKCJĘ
ENUMERACYJNĄ ZUPEŁNĄ
Przedmiot P1 typu S jest P-owy.
Przedmiot P2 typu S jest P-owy.
Przedmiot P3 typu S jest P-owy.
Nie ma więcej przedmiotów typu S niż P1, P2 i P3.
Każdy przedmiot typu S jest P-owy
Przykład:
Muszka owocówka nr 1ma skrzydełka.
Muszka owocówka nr 2ma skrzydełka.
Muszka owocówka nr 3ma skrzydełka.
Zatem każda z przebadanych muszek owocówek (muszka nr 1, 2 i 3) ma skrzydełka.
DOWODZENIE
Dowodzenie zdania q - szukamy racji dla zdania q (czyli zdania, z którego q wynika)
DOWÓD WPROST
Czy q?
Wiadomo, że jeżeli p, to q.
Wiadomo, że p.
Zatem na pewno q.
Schemat inferencyjny:
p
p ⇒ q
--------
q
zasada wnioskowania: [p ∧ (p ⇒ q)]⇒ q jest tautologią, więc wnioskowanie to jest niezawodne
Przykład:
Czy 8 jest liczba parzystą?
Jeżeli 8 dzieli się bez reszty przez dwa, to jest liczba parzystą.
8 dzieli się bez reszty przez dwa.
Zatem 8 jest liczbą parzystą.
DOWÓD NIE WPROST
Czy q?
Załóżmy, że ¬ q (założenie nie wchodzi do schematu!)
Wiadomo, że jeżeli ¬ q, to p
Wiadomo, że ¬ p
Zatem na pewno ¬ ¬ q czyli q
Schemat inferencyjny: ¬ q ⇒ p
¬ p
--------
q
zasada wnioskowania: [(¬ q ⇒ p) ∧ ¬ p] ⇒ q jest tautologią, więc wnioskowanie jest niezawodne.
Przykład:
Czy 8 jest liczba parzystą?
Załóżmy, że 8 nie jest liczbą parzystą
Jeżeli 8 nie jest liczbą parzystą, to 8 nie dzieli się bez reszty przez dwa.
Ale 8 dzieli się bez reszty przez dwa.
A zatem 8 jest liczbą parzystą.
DOWÓD PRZEZ REDUKCJĘ DO ABSURDU
Schemat inferencyjny:
s ⇒ (p ∧ ¬ p)
--------------------
¬s
zasada wnioskowania: [(¬ s ⇒ (p ∧ ¬ p)] ⇒ s jest tautologią, zatem wnioskowanie jest niezawodne.
Przykład:
Jeżeli Jola miała tylko jedna siostrę - Olę i Stasię, to zarazem Jola miała jedna siostrę i Jola miała dwie siostry.
A zatem nieprawda, że Jola miała tylko jedna siostrę - Olę i Stasię.
Sprawdzanie zdania p - szukamy następstwa zdania p i z jego prawdziwości wnioskujemy o prawdopodobieństwie zdania p (weryfikacja = potwierdzanie) lub z fałszywości następstwa wnioskujemy o fałszywości zdania p (falsyfikacja = obalanie)
WERYFIKACJA czyli POTWIERDZANIE
Czy H?
Wiadomo, że jeżeli H, to w.
Wiadomo, że w
Zatem prawdopodobnie H.
Schemat inferencyjny:
H ⇒ w
w
--------
H
zasada wnioskowania: [(H ⇒ w) ∧ w] ⇒ H
Uwaga! Zasada wnioskowania weryfikacji nie jest tautologią, zatem weryfikacja jest wnioskowaniem zawodnym.
Przykład:
Czy dinozaur T-Rex był mięsożerny?
Jeżeli T-Rex był mięsożerny, to miał ostre zęby.
T-Rex miał ostre zęby
A zatem T-Rex był mięsożerny.
FALSYFIKACJA czyli OBALANIE
Czy H?
Wiadomo, że jeżeli H, to w
Wiadomo, że ¬ w
Zatem na pewno ¬ H
Schemat inferencyjny: H ⇒ w
¬w
--------
¬H
zasada wnioskowania: [(H ⇒ w) ∧ ¬w] ⇒ ¬ H
Uwaga! Zasada wnioskowania falsyfikacji jest tautologią.
Falsyfikacja jest rozumowaniem niezawodnym.
Przykład:
Czy Zosia znalazła ptaka?
Jeżeli Zosia znalazła ptaka, to to ma skrzydła.
Ale to nie ma skrzydeł.
A zatem Zosia nie znalazła ptaka.
WNIOSKOWANIE REDUKCYJNE
Schemat:
p
q ⇒ p
--------
q
Zasada: [p ∧ (q⇒p)]⇒ q nie jest tautologią, więc wnioskowanie jest zawodne
Wnioskowanie redukcyjne zwane jest „wnioskowaniem od skutków do przyczyn”.
Przykład:
Zauważamy, że nie mamy czapki. I wnioskujemy, że ją zgubiliśmy. We wnioskowaniu jest ukryta przesłanka: Jeżeli zgubiłem czapkę, to jej nie mam.
Nie mam czapki
Jeżeli zgubiłam czapkę, to jej nie mam.
Zgubiłam czapkę.
WNIOSKOWANIE PRZEZ ANALOGIĘ
Przedmiot P1 ma własność C1 i C2
Przedmiot P2 ma własność C1
Przedmiot P2 ma własność C2.
Owa własność C1 może być złożona z większej liczby własności - np. W1,W2, W3.
W wypadku analogii nie mamy do czynienia z wynikaniem logicznym.
Przykład:
Bułka B1 ze sklepu S jest chrupiąca.
Bułka B2 też jest (będzie) ze sklepu S
A zatem B2 też jest (będzie) chrupiąca.
WNIOSKOWANIE ZBIEŻNE (KONDUKCYJNE)
Po pierwsze, p.
Po drugie, q
Po trzecie r
A zatem s.
Przykład:
Po pierwsze, powieść Jotenki jest okropnie długa.
Po drugie, jest w niej za dużo bohaterów, bo aż 50.
Po trzecie jej fabuła została zaczerpnięta z brukowca.
Po czwarte, człowiek gubi się zaraz na początku lektury.
Powieść ta jest pozbawiona wartości estetycznych.
PARALOGIZMY
Jeżeli ktoś jest przekonany, że jego wnioskowanie jest niezawodne, a w rzeczywistości tak nie jest, to takie wnioskowanie jest paralogizmem. Paralogizmami są:
CIRCULUS IN PROBANDO - teza dowodzona jest jedną z przesłanek (błędne koło w dowodzeniu)
IGNORATIO ELENCHI - ktoś chce uzasadnić jakąś tezę, a w rzeczywistości uzasadnia jakąś inną tezę.
NON SEQUITUR - wniosek nie wynika z przyjętych przesłanek (błąd formalny)
PETITIO PRINCIPI - jedna z przesłanek wnioskowania jest fałszywa (błąd materialny)
EKWIWOKACJA - pewne wyrażenie P występujące w przesłance jest równokształtne z pewnym wyrażeniem Q występującym we wniosku, ale wyrażenie P ma inne znaczenie niż Q.
2