1. Monotoniczność funkcji, a znak jej pochodnej

Niech funkcja f będzie różniczkowalna (niech funkcja ma pochodną) na przedziale
.

1. Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest stała na przedziale
.

2. Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest rosnąca na przedziale
.

3. Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest malejąca na przedziale
.

Przy wnioskowaniu w przeciwnym kierunku

1. Jeśli funkcja f jest stała na
, to
dla każdego
.

2. Jeśli funkcja f jest rosnąca na
, to
dla każdego
.

3. Jeśli funkcja f jest malejąca na
, to
dla każdego
.

Wnioski pozostają słuszne dla przedziałów nieskończonych.

2. Ekstrema funkcji

2.1. Ekstrema lokalne funkcji

Minimum lokalne funkcji to punkt, w którym funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w danym przedziale.

Maksimum lokalne funkcji to punkt, w którym funkcja przyjmuje największą wartość w danym przedziale.

Stwierdzenie, że funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie oznacza, że ma w tym punkcie maksimum lub minimum.

Jeżeli funkcja f w punkcie x₀ osiąga wartość największą w całej dziedzinie to mówimy, że f ma w x₀ maksimum globalne.

Jeżeli funkcja f w punkcie x₀ osiąga wartość najmniejszą w całej dziedzinie to mówimy, że f ma w x₀ minimum globalne.

2.2. Warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej

Tw: Fermata

Aby funkcja miała ekstremum w punkcie x₀ , to musi w tym punkcie mieć pierwszą pochodną równą 0 (
).

2.3. Warunek wystarczający ekstremum funkcji różniczkowalnej (zmiana znaku pochodnej)

Tw:

Jeżeli funkcja ƒ w pewnym otoczeniu (a,b), ma punkt x₀ oraz jest na tym przedziale różniczkowalna (to znaczy ma pochodną) to osiąga ekstremum gdy:

a)

czyli funkcja ma pierwszą pochodną dodatnią na lewo od x₀

czyli pierwsza pochodna funkcji w punkcie x₀ jest równa 0

czyli funkcja ma pierwszą pochodną ujemną na prawo od x₀

I jest to wtedy maksimum właściwe.

b)

czyli funkcja ma pierwszą pochodną ujemną na lewo od x₀

czyli pierwsza pochodna funkcji w punkcie x₀ jest równa 0

czyli funkcja ma pierwszą pochodną dodatnią na prawo od x₀

I jest to wtedy minimum właściwe.

2.4. Warunek wykluczający ekstremum

Jeżeli pierwsza pochodna (
) jest

(pierwsza pochodna równa zero)

2^º oraz ƒ′ jest stałego znaku w obustronnym sąsiedztwie punktu x₀,

to w punkcie x₀ funkcja f nie ma ekstremum.

To znaczy na prawo i na lewo od punktu x₀ pierwsza pochodna funkcji jest dodatnia (funkcja jest cały czas malejąca)

lub

na prawo i na lewo od punktu x₀ pierwsza pochodna funkcji jest ujemna (funkcja jest cały czas malejąca) wtedy nie ma ekstremum (mimo, że ƒ′(x₀)=0)

2.5. Warunek wystarczający ekstremum z drugą pochodną

Tw:

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x₀ drugą pochodną, przy czym

pierwsza pochodna jest równa zero

druga pochodna nie równa się zero (jest różna od zera)

to wtedy funkcja f ma w punkcie x₀

maksimum właściwe, jeżeli
, druga pochodna jest ujemna (funkcja jest wklęsła)

minimum właściwe, jeżeli
. druga pochodna jest dodatnia (funkcja jest wypukła)

3. Wklęsłość i wypukłość funkcji

Niech

Funkcję f nazywamy wypukłą w przedziale (a,b), jeżeli odcinek łączący dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży nad tym wykresem z wyjątkiem końców odcinka.

Tw:

Funkcja f mająca pochodną w przedziale (a,b) jest wypukła (wklęsła) w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji f leży nad (pod) styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie o odciętej z tego przedziału lub na tej stycznej.

3.1. Warunek wystarczający wklęsłości, wypukłości

Tw:

Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną w przedziale (a, b) oraz:

, to funkcja f jest wypukła w tym przedziale.

, to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale

4. Punkt przegięcia

Zakładamy, że funkcja f jest ciągła w (a, b) oraz
.

Def

Punkt
nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja ta jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu P i wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót.

Załóżmy, że funkcja f ma w pewnym otoczeniu
pochodną rzędu drugiego.

4.1. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Tw:

Jeżeli punkt
jest punktem przegięcia funkcji f to
.

4.1. Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Tw:

Jeżeli druga pochodna
jest:

albo

to punkt
jest punktem przegięcia funkcji f.

Twierdzenie to można sformułować krótko

Jeżeli
i
zmienia znak przy przejściu przez punkt x₀, to punkt
jest punktem przegięcia funkcji f.

5. Tempo zmian wartości funkcji

Jeśli dla każdego x∈(a,b)

1.
,

to funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale (a,b),

2.
,

to funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale (a,b),

3.
,

to funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale (a,b),

4.
,

to funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale (a,b).

Wygląd funkcji ƒ(x) w zależności od znaku pierwszej i drugiej pochodnej
xє(a,b)	x=b	xє(b,c)	x=c	xє(c,d)	x=d	xє(d,e)	x=e
ƒ′ > 0 „+”	ƒ′ > 0 „+”	ƒ′ > 0 „+”	ƒ′ = 0 „0”	ƒ′ < 0 „−”	ƒ′ < 0 „−”	ƒ′ < 0 „−”	ƒ′ = 0 „0”
ƒ′′ > 0 „+”	ƒ′′ = 0 „0”	ƒ′′ < 0 „−”	ƒ′′ < 0 „−”	ƒ′′ < 0 „−”	ƒ′′ = 0 „0”	ƒ′′ > 0 „+”	ƒ′′ > 0 „+”
funkcja jest rosnąca i wypukła	funkcja jest rosnąca i zmienia znak drugiej pochodnej	funkcja jest rosnąca i wklęsła	funkcja jest wklęsła zmienia znak pierwszej pochodnej	funkcja jest malejąca i wklęsła	funkcja jest malejąca i zmienia znak drugiej pochodnej	funkcja jest malejąca i wypukła	funkcja jest wypukła i zmienia znak pierwszej pochodnej
funkcja rośnie coraz szybciej	funkcja ma punkt przegięcia	funkcja rośnie coraz wolniej	funkcja osiąga maksimum	funkcja maleje coraz szybciej	funkcja ma punkt przegięcia	funkcja maleje coraz wolniej	funkcja osiąga minimum

Przykład:

Sinusoida na przedziale
, gdzie

ƒ(x)=sin x

minimum lokalne funkcji

Funkcja różniczkowalna = ma pochodną w całej dziedzinie

---