1. Wprowadzenie do techniki regulacji

Różnice wynikające ze sterowania w układzie otwartym i zamkniętym rozpatrzmy na przykładzie sterowania silnika obcowzbudnego prądu stałego. Analizę tego układu przeprowadzono przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu stałego można,
z dobrym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu.
Na rys.1 przedstawiono uproszczony schemat silnika obcowzbudnego prądu stałego.

Rys. 1 Uproszczony schemat obcowzbudnego silnika prądu stałego

W układzie tym sterujemy prędkością kątowa *(t) za pomocą napięcia twornika U(t). Zależność wiążącą te wielkości można wyznaczyć korzystając z równań opisujących obwód elektryczny i mechaniczny maszyny.

Rys. 2 Schemat obwodu elektrycznego twornika

Na rys. 2 przedstawiono schemat obwodu elektrycznego twornika uwzględniający oporność R twornika oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Siła elektromotoryczna jest równa:

(1.1)

gdzie c - stała konstrukcyjna maszyny,

φ - strumień wzbudzenia,

ω - prędkość obrotowa silnika.

Ponieważ napięcie U_w w obwodzie wzbudzenia jest stałe, stały jest także strumień wzbudzenia φ . Możemy zatem napisać:

(1.2)

gdzie k_e - stała elektromechaniczna maszyny

Stosując prawo Kirchhoffa do obwodu twornika otrzymujemy równanie:

(1.3)

Równanie równowagi momentów na wale silnika ma postać:

(1.4)

gdzie: J - całkowity moment bezwładności,

M_e - moment elektromagnetyczny silnika,

M - moment obciążenia

Zachodzi także zależność (1.5)

(1.5)

gdzie: k_m - stała mechaniczna

Wobec tego podstawiając do równania (1.4) zależności (1.3) i (1.5) otrzymujemy równanie dynamiki silnika:

(1.6)

oraz

(1.7)

gdzie:
- stała czasowa obiektu,

R - rezystancja twornika,

;
- wzmocnienia statyczne.

W układzie tym sterujemy prędkością kątową *(t) za pomocą napięcia twornika U(t), przy występowaniu zakłócenia w postaci obciążenia M(t).

Przedstawiając równanie (1.7), za pomocą schematu blokowego, otrzymujemy schemat sterowania silnika w układzie otwartym (w otwartej pętli sprzężenia zwrotnego).

Rys. 3. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli

Celem sterowania jest umożliwienie pracy silnika ze stałą, określoną prędkością *_zad(t). Przeanalizujmy pracę silnika w układzie otwartym. W pierwszym etapie analizy przyjmijmy, że znana jest dokładnie dynamika układu. Dla napięcia zasilania U(t)=U₀, rozpatrzmy dwa przypadki:

• moment obciążenia jest równy zero,

• moment obciążenia jest równy M(t)=M₀.

W pierwszym przypadku równanie dynamiki silnika przyjmuje postać:

. (1.8)

Przy zerowych warunkach początkowych (tzn., gdy silnik startuje z prędkością *(0)=0), rozwiązanie równania różniczkowego (1.8) jest następujące (1.9):

. (1.9)

Dla przykładowych danych: T=2, U₀=12, k_u=2 przebieg *(t), przedstawia rys. 4.

Rys. 4. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego w układzie otwartym

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym (dla t->*) równa się
. Stąd wynika, że aby silnik pracował z zadaną prędkością (
=
), należy go zasilać napięciem równym:
.

Sterowanie takiego układu wydaje się bardzo proste. W analizie tego przypadku poczyniliśmy jednak założenie, że moment obciążenia jest równy zero. Prędkość w biegu jałowym jest inna niż przy obciążeniu. Należy zatem przeanalizować sytuację, w której moment obciążenia będzie różny od zera. W tej sytuacji dynamika układu opisana jest równaniem (1.7),
a rozwiązanie tego równania (przy zerowych warunkach początkowych) jest następujące:

. (1.10)

Ten przypadek, przy założeniu wartości momentu obciążenia M(t)=M₀=6, oraz wzmocnienia k₀=1, przedstawia rys. 5.

Rys. 5. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku uwzględnienia stałego momentu obciążenia

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można wyznaczyć z równania (1.4):

.

Błąd pomiędzy wartością zadaną a uzyskaną prędkością, w tym przypadku, wynosi:

.

Im większe obciążenie, tym wartość prędkości kątowej silnika w układzie otwartym jest mniejsza (bardziej różni się od wartości zadanej).

Analiza przeprowadzona w dwóch poprzednich przypadkach dotyczyła sterowania silnika
o znanej charakterystyce dynamicznej. Dynamika silnika zależy od wielu czynników i może się zmieniać w trakcie długiej eksploatacji maszyny (np. starzenie się elementów konstrukcyjnych). Przeprowadźmy analizę w przypadku, w którym wartość stałej elektromechanicznej k_e różni się od wartości wyznaczonej na początku. Załóżmy nową wartość stałej jako:
. Wtedy wartość stałej czasowej
, a wzmocnienia statyczne przyjmują wartości
oraz
.

Przebieg charakterystyki dynamicznej silnika, przy uwzględnieniu nowych wartości parametrów w równaniu (1.2), przedstawia rys. 6.

Rys. 6. Przebieg prędkości kątowej silnika obcowzbudnego, w układzie otwartym, w przypadku zmiany właściwości dynamicznych silnika

Ustalona wartość prędkości kątowej w tym przypadku równa jest:

.

Nasza wiedza o maszynie i środowisku, w którym pracuje nie jest doskonała. Zakłócenia wynikające ze zmiany obciążenia, czy też zmiany parametrów maszyny są nierozerwalnie zwiazane z jej pracą. Jak można zauważyć sterowanie w układzie otwartym, przy występowaniu zakłóceń, nie daje zadowalających rezultatów.

Biorąc to wszystko pod uwagę, rozpatrzmy sterowanie silnika w układzie zamkniętym (układzie ze sprzężeniem zwrotnym - rys. 7).

Rys. 7. Schemat blokowy sterowania silnika w zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego

W układzie tym mierzymy wartość prędkości kątowej *(t) (za pomocą tachometru)
i porównujemy (odejmujemy) w węźle sumacyjnym z wartością zadaną *_zad(t). W celu otrzymania aktualnej wartości napięcia zasilającego silnik, sygnał błędu jest wzmacniany, przez wzmocnienie regulatora proporcjonalnego K_p. Porównanie prędkości najczęściej realizowane jest w woltach, ze względu na możliwość zastosowania liniowego przetwornika pomiarowego prędkość-napięcie. Wzmocnienie przetwornika określono na schemacie symbolem k_cz. Zastosowany w analizie regulator proporcjonalny jest najprostszym elementem regulatora klasycznego PID. Zastosowano go w celu uproszczenia analizy układu.

Zatem równanie dynamiki silnika w układzie z rys. 7 przyjmuje postać:

, (1.11)

a rozwiązanie tego równania:

. (1.12)

Przeprowadźmy analogiczne rozważania, jak dla układu otwartego. Rozpatrzmy najpierw przypadek, w którym moment obciążenia jest równy zero. Prędkość kątowa wyznaczona dla zerowego momentu obciążenia jest następująca:

. (1.13)

Przebieg prędkość kątowej, dla przyjętych wartości k_cz=1, K=5 oraz *_zad=24, przedstawiono na rys. 8.

Rys. 8. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, przy zerowym obciążeniu

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, dla zerowego obciążenia, można wyznaczyć
z zależności:

. (1.14)

Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość *_ust=21,82.

Uwzględniając obciążenie różne od zera M(t)=M₀, otrzymujemy zależność określającą prędkość kątową, za pomocą równania (1.6). Przebieg prędkości kątowej w tym przypadku przedstawiono na rys. 9.

Rys. 9. Przebieg prędkości kątowej w układzie zamkniętym z uwzględnieniem obciążenia

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, przy działaniu stałego obciążenia, można wyznaczyć z zależności:

. (1.15)

Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość *_ust=21,27.

W przypadku trzecim założono inne wartości parametrów maszyny od wcześniej zidentyfikowanych. Analogicznie, jak dla układu otwartego, wartość stałej czasowej
, wzmocnienia statyczne:
oraz
.

Rys. 10. Przebieg prędkości kątowej, w układzie zamkniętym, w przypadku zmiany właściwości dynamicznych silnika

Wartość prędkości kątowej w stanie ustalonym, dla zerowego obciążenia, można wyznaczyć
z zależności:

(1.16)

Dla przyjętych w analizie wartości parametrów, prędkość kątowa w stanie ustalonym przyjmuje wartość *_ust=21,43. Jak można zauważyć dla wszystkich rozpatrywanych przypadków sterowania w układzie zamkniętym, w odróżnieniu od sterowania w układzie otwartym, wartości prędkości kątowej były zbliżone i nieznacznie różniły się od wartości zadanej.

Podsumowanie

Wnioski wynikające z analizy rozpatrywanego przykładu są następujące:

• stosowanie układu zamkniętego przeciwdziałała wpływowi zakłóceń, działających na obiekt regulacji,

• dynamika (określona przez stałą czasową układu) w układzie zamkniętym jest dużo lepsza niż w układzie otwartym,

• w przypadku zastosowania bardziej złożonej struktury regulatora, błąd regulacji można sprowadzić do zera.

W omawianym przykładzie działanie układu regulacji zostało przedstawione w sposób poglądowy. W celu precyzyjnego wyjaśnienia istoty działania układów regulacji, analizy
i syntezy tych układów, w kolejnych rozdziałach, zostaną przedstawione podstawy teorii regulacji.

Teoria regulacji jest obszerną dziedziną nauki o sterowaniu w układach ze sprzężeniem zwrotnym. Do głównych zadań teorii regulacji należą:

• metody opisu właściwości dynamicznych elementów automatyki,

• metody identyfikacji obiektów sterowania,

• stabilność układów automatyki,

• projektowanie układów regulacji,

• metody analizy i korekcji układów regulacji.

Przykład wprowadzający zaczerpnięto z podręcznika: Kaula R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2005.

2

Podstawy automatyki

3

1. Wprowadzenie do techniki regulacji

---