2. Ekstrema funkcji

2.1. Ekstrema lokalne funkcji

Minimum lokalne funkcji to punkt, w którym funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w danym przedziale.

Maksimum lokalne funkcji to punkt, w którym funkcja przyjmuje największą wartość w danym przedziale.

Stwierdzenie, że funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie oznacza, że ma w tym punkcie maksimum lub minimum.

Jeżeli funkcja f w punkcie x₀ osiąga wartość największą w całej dziedzinie to mówimy, że f ma w x₀ maksimum globalne.

Jeżeli funkcja f w punkcie x₀ osiąga wartość najmniejszą w całej dziedzinie to mówimy, że f ma w x₀ minimum globalne.

2.2. Warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej

Tw: Fermata

Aby funkcja miała ekstremum w punkcie x₀ , to musi w tym punkcie mieć pierwszą pochodną równą 0 (
).

2.3. Warunek wystarczający ekstremum funkcji różniczkowalnej (zmiana znaku pochodnej)

Tw:

Jeżeli funkcja ƒ w pewnym otoczeniu (a,b), ma punkt x₀ oraz jest na tym przedziale różniczkowalna (to znaczy ma pochodną) to osiąga ekstremum gdy:

a)

czyli funkcja ma pierwszą pochodną dodatnią na lewo od x₀

czyli pierwsza pochodna funkcji w punkcie x₀ jest równa 0

czyli funkcja ma pierwszą pochodną ujemną na prawo od x₀

I jest to wtedy maksimum właściwe.

b)

czyli funkcja ma pierwszą pochodną ujemną na lewo od x₀

czyli pierwsza pochodna funkcji w punkcie x₀ jest równa 0

czyli funkcja ma pierwszą pochodną dodatnią na prawo od x₀

I jest to wtedy minimum właściwe.

2.4. Warunek wykluczający ekstremum

Jeżeli pierwsza pochodna (
) jest

(pierwsza pochodna równa zero)

2^º oraz ƒ′ jest stałego znaku w obustronnym sąsiedztwie punktu x₀,

to w punkcie x₀ funkcja f nie ma ekstremum.

To znaczy na prawo i na lewo od punktu x₀ pierwsza pochodna funkcji jest dodatnia (funkcja jest cały czas malejąca)

lub

na prawo i na lewo od punktu x₀ pierwsza pochodna funkcji jest ujemna (funkcja jest cały czas malejąca) wtedy nie ma ekstremum (mimo, że ƒ′(x₀)=0)

2.5. Warunek wystarczający ekstremum z drugą pochodną

Tw:

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x₀ drugą pochodną, przy czym

pierwsza pochodna jest równa zero

druga pochodna nie równa się zero (jest różna od zera)

to wtedy funkcja f ma w punkcie x₀

maksimum właściwe, jeżeli
, druga pochodna jest ujemna (funkcja jest wklęsła)

minimum właściwe, jeżeli
. druga pochodna jest dodatnia (funkcja jest wypukła)

Wygląd funkcji ƒ(x) w zależności od znaku pierwszej i drugiej pochodnej
xє(a,b)	x=b	xє(b,c)	x=c	xє(c,d)	x=d	xє(d,e)	x=e
ƒ′ > 0 „+”	ƒ′ > 0 „+”	ƒ′ > 0 „+”	ƒ′ = 0 „0”	ƒ′ < 0 „−”	ƒ′ < 0 „−”	ƒ′ < 0 „−”	ƒ′ = 0 „0”
ƒ′′ > 0 „+”	ƒ′′ = 0 „0”	ƒ′′ < 0 „−”	ƒ′′ < 0 „−”	ƒ′′ < 0 „−”	ƒ′′ = 0 „0”	ƒ′′ > 0 „+”	ƒ′′ > 0 „+”
funkcja jest rosnąca i wypukła	funkcja jest rosnąca i zmienia znak drugiej pochodnej	funkcja jest rosnąca i wklęsła	funkcja jest wklęsła zmienia znak pierwszej pochodnej	funkcja jest malejąca i wklęsła	funkcja jest malejąca i zmienia znak drugiej pochodnej	funkcja jest malejąca i wypukła	funkcja jest wypukła i zmienia znak pierwszej pochodnej
funkcja rośnie coraz szybciej	funkcja ma punkt przegięcia	funkcja rośnie coraz wolniej	funkcja osiąga maksimum	funkcja maleje coraz szybciej	funkcja ma punkt przegięcia	funkcja maleje coraz wolniej	funkcja osiąga minimum

Przykład:

Sinusoida na przedziale
, gdzie

ƒ(x)=sin x

minimum lokalne funkcji

Funkcja różniczkowalna = ma pochodną w całej dziedzinie

---