1. Co to jest poziom Fermiego?

W warunkach równowagi termodynamicznej ustala się w danym układzie fizycznym określony rozkład obsadzeń, opisany tzw. funkcją rozkładu Fermiego-Diraca, określającą prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony stanów o energii W. Funkcja ta ma następującą postać:

, przy czym W_F oznacza tzw. energię Fermiego, nazywaną także poziomem Fermiego. Dla W=W_F otrzymujemy f(W)=0,5, a zatem energia Fermiego jest to wartość energii, dla której prawdopodobieństwo obsadzenia stanów wynosi 50%.

2. Narysuj  funkcję rozkładu f(E) prawdopodobieństwa obsadzenia stanu - na tle układu pasm energetycznych - w Si domieszkowanym N_D = 10¹⁶ cm^-3 , T=300K. Oznacz poziom Fermiego.

3. Od czego zależy wartość n_i w półprzewodniku samoistnym? Podaj interpretację fizyczną tej wielkości.

Wartość n_i zależy tylko od rodzaju materiału podstawowego i od temperatury. Nie zależy ona natomiast od rodzaju i koncentracji domieszek. Wynika to z zależności dla iloczynu koncentracji równowagowych (normalnych) nośników:

Ten wniosek jest określany nazwą prawa działania mas. Z prawa tego wynika, że jeżeli ulegnie zwiększeniu koncentracja elektronów (np. przy wprowadzeniu domieszki), to w tym samym stopniu zmniejszy się koncentracja dziur.

W półprzewodniku samoistnym elektrony i dziury są wytwarzane i zanikają parami. Ich koncentracje są więc jednakowe i są oznaczane symbolem n_i. Wielkość tę nazywamy koncentracją samoistną. Możemy więc zapisać dwa wzory:

4. Narysuj i wyjaśnij zależność  n_i(T).

Ze wzoru na koncentrację samoistną n_i:

wynika, że największe znaczenie ma czynnik wykładniczy, a zatem koncentracja samoistna zależy w bardzo silnym stopniu od wartości przerwy energetycznej i od temperatury.

Im wyższa jest temperatura półprzewodnika, tym większa jest energia drgań atomów tworzących sieć krystaliczną, a wskutek tego większe prawdopodobieństwo zerwania wiązania międzyatomowego. Ze wzrostem temperatury wzrasta więc szybkość generacji par elektron-dziura, a to pociąga za sobą wzrost n_i.

5. Od czego zależy położenie poziomu Fermiego w półprzewodniku domieszkowanym?

Poziom Fermiego to inaczej energia, dla której prawdopodobieństwo obsadzenia stanów wynosi 50%. W półprzewodniku samoistnym znajduje się ona w bardzo dobrym przybliżeniu w połowie przerwy energetycznej. Istnieją dwa sposoby wpływania na położenie tego poziomu w półprzewodniku. Jednym z nich jest domieszkowanie go atomami, które łatwo ulegają jonizacji w sieci krystalicznej, drugim zaś oddziaływanie na półprzewodnik zewnętrznym polem elektrycznym.

6. Jak zależy położenie poziomu Fermiego w półprzewodniku od koncentracji domieszek?

W procesie domieszkowania, zaczyna się ona przesuwać. Kierunek tego przesuwania się jest uzależniony od tego, czy domieszkujemy dany półprzewodnik donorami czy akceptorami.

Jeśli domieszkujemy półprzewodnik donorami, następuje zwiększenie się liczby elektronów (stają się one nośnikami większościowymi). Jest to powodem przesuwania się poziomu Fermiego w kierunku pasma przewodnictwa.

Jeśli domieszkujemy półprzewodnik akceptorami, następuje zwiększenie się liczby dziur (stają się one nośnikami większościowymi). Jest to powodem przesuwania się poziomu Fermiego w kierunku pasma walencyjnego.

7. Co to jest półprzewodnik skompensowany i jakie są jego własności?

Jeżeli przewaga koncentracji donorów nad koncentracją akceptorów, lub odwrotnie, jest bardzo mała, tzn. jeżeli
, to wynika z tego, że:
.

Elektrony z poziomów donorowych obsadzają wówczas wszystkie lub prawie wszystkie poziomy akceptorowe, w wyniku czego koncentracje elektronów w pasmie przewodnictwa i dziur w pasmie walencyjnym są w przybliżeniu takie, jak w półprzewodniku samoistnym. Półprzewodnik zawierający w przybliżeniu jednakową ilość donorów i akceptorów nazywamy półprzewodnikiem skompensowanym.

Porównując pasma energetyczne półprzewodnika samoistnego i skompensowanego nie zauważa się prawie żadnych różnic. Gdy jednak zaczniemy badać, jaki wpływ ma rodzaj półprzewodnika na nośniki okaże się, że ruchliwość nośników w półprzewodniku samoistnym potrafi być znacznie większa od ruchliwości w nośniku skompensowanym. Dzieje się tak na skutek rozpraszania na zjonizowanych domieszkach (w przypadku półprzewodnika skompensowanego na zjonizowanych donorach i akceptorach).

8. Jak zależy położenie poziomu Fermiego od temperatury w
   półprzewodniku o koncentracji  domieszek N_A = 10¹⁵ cm^-3?

Dla domieszki akceptorowej, poziom Fermiego jest przesunięty względem poziomu samoistnego w kierunku pasma przewodzenia. Przesunięcie to jest proporcjonalne do ilości nośników, które przybyły wraz z domieszką.

Na skutek ogrzewania następują kolejne generacje par elektron-dziura, przez co zwiększa się liczba nośników ładunku. Dalsze ogrzewanie prowadzi do kolejnych generacji nośników i dla pewnej temperatury, nośników wygenerowanych jest tak dużo, iż wprowadzone wraz z domieszką elektrony traktowane być mogą jako mniejszościowe, liczba elektronów jest z dobrym przybliżeniem równa liczbie dziur, a poziom Fermiego „powraca” na poziom samoistny.

9. Narysuj rozkłady koncentracji nośników większościowych i mniejszościowych w Si w T=300K od koncentracji wprowadzonej domieszki N_A = 10⁸ - 10¹⁵  cm^-3.

10. Narysuj rozkłady koncentracji nośników większościowych i mniejszościowych w Si w T=300K od  koncentracji wprowadzonej domieszki  N_D = 10¹³ - 10¹⁸  cm^-3. Półprzewodnik był wcześniej domieszkowany  N_A = 10¹⁵ cm^-3.

11. Określ koncentracje nośników mniejszościowych i większościowych w temperaturze pokojowej w krzemie po poszczególnych etapach a), b), c) domieszkowania:

1. Najpierw domieszkowano N_A = 10¹⁵  cm^-3

W temperaturze pokojowej (T=300K) mamy dla półprzewodnika samoistnego następującą koncentrację nośników:

Domieszkując go akceptorami następuje następująca zmiana tych koncentracji:

- tyle wprowadzono atomów domieszki

- taka jest koncentracja elektronów

Uzyskaliśmy w ten sposób półprzewodnik typu p.

2. Potem domieszkowano N_D = 10¹⁷  cm^-3

Domieszkując go donorami następuje ponowna zmiana koncentracji nośników:

- tyle wprowadzono atomów domieszki

- taka jest koncentracja dziur

Uzyskaliśmy w ten sposób półprzewodnik typu n.

3. Potem domieszkowano N_A = 10¹⁷  cm^-3

Wprowadzając teraz domieszkę akceptorową na tym samym poziomie, co domieszka donorowa następuje wyrównanie się koncentracji nośników - półprzewodnik skompensowany. Mimo jednakowych koncentracji nośników różni się on od półprzewodnika samoistnego zmniejszoną ruchliwością nośników (rozpraszanie na zjonizowanych domieszkach)

12. Podaj warunki równowagi termodynamicznej układu fizycznego.

Każdy układ fizyczny znajdujący się w niezmiennych w czasie warunkach zewnętrznych i nieoddziałujący z otoczeniem osiąga po dostatecznie długim czasie stan równowagi, który nazywamy równowagą termodynamiczną. Charakteryzuje się ona następującymi dwiema cechami:

1) stan układu jest ustalony, tzn. opisujące go parametry makroskopowe (takie np. jak temperatura, energia, koncentracja nośników itd.) nie zmieniają się w czasie.

2) nie występują żadne przepływy (np. energii, nośników itp.) ani wewnątrz układu, ani też między tym układem a otoczeniem.

13. Jak zależy koncentracja nośników mniejszościowych i większościowych w półprzewodniku domieszkowanym od temperatury - wykres?

W zakresie od 0 - 100K, następuje jonizacja domieszek. Dla temperatur z zakresu 100-400K koncentracja nośników większościowych utrzymuje się na poziomie domieszkowania. Powyżej pewnego poziomu temperatury (uzależniony jest od rodzaju półprzewodnika i wprowadzonych domieszek) liczba generowanych par elektron-dziura jest już tak duża, iż dodatkowe nośniki wprowadzone z domieszką przestają mieć wpływ na właściwości przewodnie półprzewodnika, a koncentracja nośników jest prawie taka sama jak w półprzewodniku samoistnym.

14. Narysuj zależności koncentracji nośników większościowych i mniejszościowych w Si domieszkowanym N_D = 10¹⁶ cm^-3 od temperatury (200 - 600K) na tle n_i(T).

15. Co to jest prąd unoszenia i od czego zależy?

Przepływ nośników ładunku w półprzewodniku może być wywołany działaniem różnych czynników. Prąd ten może być wywołany między innymi polem elektrycznym. Siły tego pola zmuszają chaotycznie poruszające się nośniki do przesuwania się w kierunku zgodnym (dziury) lub przeciwnym (elektrony) do kierunku pola. Można, więc powiedzieć, że nośniki ładunku w półprzewodniku są unoszone przez pole elektryczne w dwóch przeciwnych kierunkach. Z tego wzglądu odpowiedni składnik prądu nazywamy prądem unoszenia.

Prąd unoszenia można opisać wzorem:

Z powyższego wzoru wynika, że prąd unoszenia w głównej mierze zależy od natężenia pola elektrycznego. Ma ono wpływ na prędkość unoszenia. Jednak dla dużych natężeń pola, prędkość unoszenia ustala się na pewnym poziomie zwanym prędkością nasycenia.

Ponieważ we wzorze występuje też ruchliwość, na prąd unoszenia musi mieć więc też wpływ czas relaksacji, a więc i temperatura.

16. Od czego zależy prędkość unoszenia nośników ładunku w półprzewodniku?

Prędkość unoszenia nośników w półprzewodniku można opisać dwoma wzorami:

Wynika z nich, że prędkość unoszenia nośników ładunku, zależy przede wszystkim od natężenia pola elektrycznego. Dla różnych materiałów, z których wytwarzane są półprzewodniki, zależność ta jest nieco inna, ale przyjmuje się, że wygląda ona tak jak to przedstawia poniższy wykres:

Wynika z niego, iż dla pewnych wartości natężenia pola, prędkość unoszenia rośnie liniowo, ale po przekroczeniu pewnej wartości natężenia, prędkość ta zaczyna ustalać się na pewnej wartości i powyżej pewnych wartości natężeń pola staje się ona od niego niezależna. Poziom ten nazywamy prędkością nasycenia.

Z podanych wyżej wzorów wynika ponadto, iż prędkość unoszenia zależy także od ruchliwości nośników, a co za tym idzie od czynników takich jak: temperatura (na skutek zderzeń nośników z siecią krystaliczną pobudzane są atomy i wydziela się ciepło), czas relaksacji (czas swobodnej drogi nośników).

17. Co to jest prędkość nasycenia nośników ładunku?

W miarę powiększania natężenia pola elektrycznego przyrost prędkości unoszenia staje się coraz wolniejszy, a po przekroczeniu pewnej wartości, (która dla krzemu wynosi ok.
) prędkość unoszenia staje się niezależna od E. Mówimy wówczas, że prędkość unoszenia uległa nasyceniu. Wartość prędkości w tym zakresie nazywamy prędkością nasycenia i oznaczamy symbolem
.

18. Co to jest ruchliwość nośników w półprzewodniku i od czego zależy?

Ruchliwość nośników w półprzewodniku jest wielkością przedstawiającą zachowanie się nośników pola elektrycznego. Ruchliwość jest proporcjonalna do czasu relaksacji zderzeniowej, to znaczy do czasu pomiędzy kolejnymi zderzeniami nośnika z siecią krystaliczną. Na czas relaksacji mają z kolei wpływ głównie dwa zjawiska fizyczne - rozpraszanie na fononach oraz rozpraszanie na zjonizowanych domieszkach. Pierwsze z tych zjawisk jest uzależnione od temperatury (im wyższa temperatura tym drgania sieci krystalicznej większe - zwiększa się ilość fononów, a więc i ruchliwość się zmniejsza). Drugie zjawisko jest uzależnione od ilości wprowadzonych domieszek. Im więcej ich się wprowadzi, tym rozpraszanie na zjonizowanych domieszkach będzie częstsze, a więc ruchliwość również i w tym przypadku będzie maleć.

19. Jak zależy ruchliwość nośników w półprzewodniku od (a) koncentracji domieszek, (b) temperatury? Podaj fizyczne przyczyny tych zależności.

1. Zależność ruchliwości nośników od koncentracji domieszek

Zależność ta jest dla półprzewodników z domieszkami różniącymi się ilościowo, jak i dla tak zwanych półprzewodników skompensowanych. Ruchliwość nośników w półprzewodniku zmniejsza się wraz ze wzrostem domieszek. Jest to spowodowane rozpraszaniem na zjonizowanych domieszkach. Rozpraszanie na nie zjonizowanych domieszkach jest pomijalnie małe i ma niewielki wpływ na ruchliwość nośników. Przykładową zależność ruchliwości od koncentracji domieszek pokazuje poniższy rysunek:

2. Zależność ruchliwości nośników od temperatury

Fizyczną przyczyną tej zależności jest rozpraszanie wynikające z drgań termicznych sieci krystalicznej (jest to tzw. rozpraszanie na fononach, traktuje się je jako wynik zderzeń nośników z fononami). Wraz ze wzrostem temperatury zwiększa się energia drgań sieci krystalicznej (czyli powiększa się koncentracja fononów), a zatem ruchliwość maleje. Można tę zależność przedstawić za pomocą wzoru:

, gdzie: μ(T) - ruchliwość danego rodzaju nośników w temperaturze T; m - wykładnik zależny od rodzaju półprzewodnika i rodzaju nośników.

W miarę powiększania domieszek obserwuje się coraz słabszy wpływ temperatury na ruchliwość nośników.

20. Co to jest stała dyfuzji i od czego zależy?

Nazwą współczynnika dyfuzji (stałej dyfuzji) określamy wzorem:

Z powyższego wzoru wynika, iż współczynnik ten zależy od ruchliwości nośników, a ta z kolei zależy od koncentracji domieszek oraz temperatury, a także od U_T - napięcia termicznego, które jest uwarunkowane przez temperaturę i ładunek niesiony przez nośnik (elektron czy też dziurę).

21. Opisz mechanizm dyfuzji nośników w półprzewodniku. Jakie warunki muszą być spełnione, aby dyfuzja była ukierunkowana (prąd dyfuzji)?

22. Co to jest prąd dyfuzyjny i od czego zależy?

Przepływ nośników ładunku w półprzewodniku może być wywołany działaniem różnych czynników. Prąd ten może być między innymi wywołany nierównomiernym rozkładem koncentracji nośników. W wyniku ruchów termicznych nośniki przemieszczają się z obszarów o większej do obszarów o mniejszej koncentracji. Proces ten prowadzi w granicy do wyrównania się koncentracji nośników w całej objętości półprzewodnika. Nosi on nazwę dyfuzji, a odpowiedni składnik prądu jest nazwany prądem dyfuzyjnym.

Dyfuzja nośników charakteryzuje się następującymi najbardziej istotnymi cechami:

- odbywa się bez udziału jakichkolwiek sił zewnętrznych;

- nośniki nie oddziałują na siebie;

- nośniki muszą być wzbudzone wskutek zderzeń z ośrodkiem, w którym się znajdują.

Gęstość elektronowego prądu dyfuzyjnego jest proporcjonalna do gradientu koncentracji elektronów. Prąd dyfuzyjny można opisać wzorem:

, przy czym D_n nosi nazwę współczynnika dyfuzji elektronów i opisany jest wzorem:

, gdzie U_T jest, tzw. napięciem termicznym. Jest to jak gdyby odpowiednik temperatury wyrażony w woltach. Z kolei średnia prędkość dyfuzji elektronów wynosi:

Z powyższych wzorów wynika, iż prąd dyfuzyjny zależy od koncentracji nośników w półprzewodniku, ich energii oraz od temperatury półprzewodnika.

23. Jakie konsekwencje powoduje nierównomierny rozkład domieszek w półprzewodniku?

Najważniejszą konsekwencją nierównomiernego rozkładu domieszek w półprzewodniku jest powstanie w nim pola wewnętrznego (wbudowanego). Jest to nic innego jak pole elektryczne, które pojawia się w wyniku przemieszczenia się ładunków w strukturze półprzewodnika. Dzieje się tak, ponieważ elektrony czy też dziury wprowadzone z domieszką zaczynają dyfundować i w obszarach silniej domieszkowanych koncentracja ich zmaleje, a wzrośnie na przeciwległym końcu półprzewodnika.

Drugą konsekwencją jest przesuwanie się pasm energetycznych w półprzewodniku. O ile poziom Fermiego pozostaje w tym samym miejscu, o tyle pozostałe poziomy (przewodnictwa, samoistny i walencyjny) są uzależnione od parametru x (odległość od maksymalnej ilości domieszki w półprzewodniku).

24. Od czego zależy wartość wewnętrznego (wbudowanego) pola elektrycznego w półprzewodniku? Kiedy pole to ma wartość stałą?

Wartość pola elektrycznego w półprzewodniku niejednorodnym określona jest wzorem:

dla domieszki donorowej

dla domieszki akceptorowej

Wynika z nich jasno, iż wartość tego pola jest uwarunkowana koncentracją wprowadzonej domieszki i jej typem (donorowa lub też akceptorowa), oraz tzw. napięciem termicznym, które jest niejako odpowiednikiem temperatury wyrażonej w woltach, a więc pole elektryczne zależy także od temperatury.

Pole to ma wartość stałą, gdy osiągnięty zostanie stan równowagi termodynamicznej. Nastąpi to wówczas, gdy tendencja elektronów do dyfuzji zostanie dokładnie zrównoważona tendencją do przepływu w przeciwnym kierunku pod działaniem sił pola elektrycznego. Równowaga ta następuje przy takim rozkładzie ładunku przestrzennego, przy którym w każdym punkcie półprzewodnika gęstość prądu elektronowego staje się równa zeru.

25. Co to jest pole wewnętrzne (wbudowane) w półprzewodniku? Jak można określić jego wartość?

Polem wewnętrznym (wbudowanym) w półprzewodniku nazywamy pole elektryczne pojawiające się wówczas, gdy część elektronów w półprzewodniku przemieszcza się w kierunku malejącej jonizacji donorów. Ma to miejsce jedynie w domieszkowanych półprzewodnikach niejednorodnych. Pole te jest efektem pojawienia się w takim półprzewodniku ładunku przestrzennego. Nazwa „wewnętrzne” bierze się stąd, że źródłem tego pola są ładunki znajdujące się wewnątrz rozpatrywanego obszaru. Z kolei nazwa „wbudowane” bierze się stąd, iż pole to zostało niejako „wbudowane” w półprzewodnik w wyniku odpowiedniego rozkładu wprowadzonych do niego domieszek. Siły tego pola działają na elektrony w kierunku przeciwnym do kierunku ich przepływu dyfuzyjnego, przeciwdziałają, więc dalszemu przemieszczaniu się elektronów.

Aby określić wartość tego pola korzystamy ze wzorów:

dla domieszki donorowej

dla domieszki akceptorowej

, gdzie N(x) oznacza koncentrację donorów w punkcie x, |N(x)| oznacza koncentrację akceptorów w punkcie x, a U_T nazywamy napięciem termicznym i wyraża się ono wzorem:

26. Kiedy pole wbudowane (wewnętrzne) w półprzewodniku może być stałe?

Siły pola wbudowanego działają na elektrony w kierunku przeciwnym do kierunku ich przepływu dyfuzyjnego, przeciwdziałają, więc dalszemu przemieszczeniu się elektronów. Może ono być stałe, gdy stan równowagi termodynamicznej zostanie osiągnięty, - gdy tendencja elektronów do dyfuzji zostanie dokładnie zrównoważona tendencją do przepływu w przeciwnym kierunku pod działaniem sił pola elektrycznego. Równowaga ta następuje przy takim rozkładzie ładunku przestrzennego, przy którym w każdym punkcie półprzewodnika gęstość prądu elektronowego staje się równa zeru.

27. Narysuj rozkład nośników mniejszościowych i większościowych w półprzewodniku niejednorodnie domieszkowanym Nd(x) = Nd(0)exp(-ax).

28. Narysuj przebieg położenia poziomu Fermiego w półprzewodniku niejednorodnie domieszkowanym Na(x) = Na(0)exp(-ax).

Rysunek dla półprzewodnika typu p. (Dla półprzewodnika typu p poziom Fermiego jest pomiędzy dolną granicą poziomu przewodzenia, a poziomem samoistnym).

11

---