KRZYWIZNA NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

dr Mariusz Zając

Wykład przedstawia podstawowe fakty związane z krzywizną krzywych płaskich i przestrzennych oraz miarami krzywizny powierzchni w przestrzeni trój-wymiarowej.

Krzywizna

Krzywizna k jest odwrotnością promienia krzywizny R i może być zdefiniowana trojako.

1. Definicja geometryczna: rozważmy krzywą (płaską lub przestrzenną) i do-wolne trzy punkty na niej leżące: A, B i O. Na ogół punkty te nie leżą na jednej prostej, więc można przez nie przeprowadzić dokładnie jeden okrąg.

Jeśli teraz ustalimy punkt O, a punkty A i B będą się do niego zbliżać, to w granicy A,B → O zarówno współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABO, jak i jego promień będą zwykle dążyć do pewnych wartości, zwanych współrzędnymi środka krzywizny i promieniem krzywizny, a okrąg o tym środku i promieniu nazywany jest okręgiem krzywizno­wym.

Na przykład dla paraboli y = x² i punktu O = (0, 0) środkiem krzywizny jest punkt (0,1/2), a promień krzywizny wynosi 1/2.

Precyzyjne sformułowanie tej definicji i wyprowadzenie ogólnych wzorów pozostaje poza zakresem niniejszego wykładu, można jednak dodać, że krzywizna krzywej γ zadanej we współrzędnych kartezjańskich jako
γ(t) = (x(t) , y(t)) wyraża się równością

1. Definicja kinematyczna: jeśli ciało porusza się po krzywej, to kierunek ruchu (a więc kierunek stycznej do tej krzywej) zmienia się.

Średnią krzywizną łuku AB jest stosunek kąta do długości tego łuku

a krzywizną chwilową odpowiednia pochodna

2. 
   Definicja dynamiczna: aby ciało poruszało się po okręgu o promieniu R (a więc krzywiźnie 1/R), ze stałą co do wartości prędkością v, musi na nie działać przyspieszenie dośrodkowe

gdzie a i v to odpowiednio chwilowe przyspieszenie i prędkość, a więc wielkości dające się zmierzyć fizycznie.

Można więc określić krzywiznę (chwilową) ogólnej krzywej wzorem

Powierzchnie o dodatniej i ujemnej krzywiźnie

Jeśli umieścimy powierzchnię tak, by jej płaszczyzna styczna w ustalonym punkcie O była pozioma, to mamy dwie podstawowe możliwości:

1. Wszystkie przekroje powierzchni pionowymi płaszczyznami przechodzącymi przez O są zakrzywione w tę samą stronę, np. w dół:

wtedy mówimy, że krzywizna powierzchni jest dodatnia.

2. Niektóre z owych przekrojów są zakrzywione w dół, a inne w górę:

- to przykład powierzchni o ujemnej krzywiźnie.

Aby określić to pojęcie bardziej precyzyjnie, należy wprowadzić zorientowaną krzywiznę krzywej płaskiej, umawiając się przykładowo, że krzywa wypukła (mówiąc potocznie - wygięta do góry) ma krzywiznę dodatnią, a wklęsła - ujemną. Wtedy wśród wszystkich liczb wyrażających zorientowane krzywizny przekrojów powierzchni płaszczyznami prostopadłymi do płaszczyzny stycznej można wyróżnić najmniejszą k_min i największą k_max.

Krzywizną Gaussa nazywamy liczbę

W przypadku 1. k_min i k_max mają ten sam znak, więc K > 0, zaś w przypadku 2. znaki k_min i k_max są przeciwne, więc K < 0. Pośrednie stanowisko zajmują powierzchnie, dla których K = 0, np. powierzchnie boczne walca i stożka.

Geodezyjne

Geodezyjna to (przynajmniej w pewnym otoczeniu określonego punktu powierzchni) najkrótsza krzywa łącząca leżące na niej punkty. Na przykład na kuli ziemskiej południki są geodezyjnymi, a równoleżniki (oprócz równika) nie:

Widzimy, że najkrótsza droga łącząca punkty leżące na tym samym równo-leżniku jest nieco wygięta w stronę bieguna (o czym można się też przekonać doświadczalnie przy użyciu globusa i nici).

Defekt

Ponieważ geodezyjne na powierzchniach są na ogół zakrzywione, to nie ma powodu przypuszczać, że suma kątów wewnętrznych w utworzonym przez nie trójkącie musi wynosić 180°. Istotnie, gdy zdefiniuje się defekt trójkąta ABC jako
d = <A + <B + <C — π,
to nietrudno dostrzec, że im większy taki trójkąt geodezyjny, tym bardziej jego kształt odbiega od płaskiego trójkąta, a więc i jego defekt może być większy. Oto przykład geodezyjnego trójkąta sferycznego o trzech kątach prostych:

Przytoczmy bez dowodu kilka własności defektu.

1. Dla powierzchni o stałej krzywiźnie (np. sfery) defekt trójkąta jest wprost proporcjonalny do jego pola.

2. Na powierzchniach o ujemnej krzywiźnie Gaussa (np. przedstawiana wyżej powierzchnia przypominająca siodło) defekt jest również ujemny, tzn. suma kątów trójkąta krzywoliniowego jest mniejsza od 180°.

3. Na powierzchniach o zerowej krzywiźnie Gaussa (np. boczna powierzchnia walca lub stożka) defekt równa się zeru, a więc suma kątów każdego trójkąta geodezyjnego równa się 180° mimo jego zakrzywienia. Przyczyna tego faktu jest prosta: boczną powierzchnię walca lub stożka, jak wiadomo, można rozprostować, uzyskując płaski arkusz. Wtedy geodezyjne staną się odcinkami prostych, a trójkąt geodezyjny - zwykłym płaskim trójkątem.

Theorema egregium Gaussa

Powyższy punkt 3. stanowi przykład o wiele ogólniejszego zjawiska. C.F. Gauss udowodnił, że jedną powierzchnię można przekształcić w drugą bez rozciągania i ściskania tylko wtedy, gdy mają one tę samą miarę krzywizny, zwaną dziś krzywizną Gaussa.

Co za tym idzie żadna płaska mapa (K = 0) nie może bez zniekształceń przedstawiać zakrzywionej powierzchni kuli ziemskiej (K > 0). Oczywiście dla niezbyt wielkich obszarów (np. terytorium Polski) zniekształcenia te są nieistotne w codziennych zastosowaniach, ale by poprawnie odpowiedzieć na pytanie „w jakim kierunku należy wylecieć z Warszawy do Nowego Jorku lub Pekinu, by dotrzeć tam możliwie najszybciej", znacznie lepiej spojrzeć na globus niż na mapę (odpowiedź: w kierunku odpowiednio północno-zachodnim i północno- wschodnim, choć oba te miasta leżą znacznie bliżej równika, a więc pozornie bardziej na południe, niż Warszawa).

Przegląd zastosowań

Mechanika - jak pokazano wyżej, krzywizna jest związana zarówno ze zjawiskami kinematycznymi (zmiana kierunku ruchu, jeśli nie odbywa się on po linii prostej), jak i dynamicznymi (siły, które powodują zakrzywianie trajektorii ciała oraz siły bezwładności).

Optyka - soczewki scharakteryzowane są przez ogniskową, której odwrotnością jest wyrażana w dioptriach zdolność skupiająca (lub rozpraszająca). Przy ustalonym współczynniku załamania szkła zdolność ta jest proporcjonalna do sumy krzywizn obu powierzchni soczewki.

Elektrodynamika - działając polem elektrycznym lub magnetycznym na naładowaną cząstkę możemy nie tylko przyspieszyć ją lub spowolnić, ale także zakrzywić jej tor i skierować w pożądanym kierunku. Na tej zasadzie działają np. wychodzące powoli z użycia w telewizorach lampy kineskopowe, a z większych urządzeń - akceleratory.

Teoria względności - odczuwając podczas jazdy wagonem kolejowym bez okien siłę bezwładności nie możemy być pewni, czy pociąg skręca (zakrzywienie toru w przestrzeni), przyspiesza lub hamuje (wykres x(t) ruchu jednostajnego jest linią prostą, a zmiana wartości prędkości powoduje jego zakrzywienie), czy też (wariant na szczęście mało realistyczny) do Ziemi zbliżyło się nieoczekiwanie jakieś ciało niebieskie, które działa na nas swoją grawitacją. Geniusz Einsteina pozwolił połączyć te zjawiska i wyjaśnić grawitację przez stwierdzenie, że każde ciało (a w istocie każda forma energii) zaburza geometrię czasoprzestrzeni w ten sposób, że linie geodezyjne przestają być proste, a co za tym idzie ciała przyspieszają, zwalniają i skręcają w polu grawitacyjnym - jabłka spadają na Ziemię, planety obiegają Słońce itd. Zakrzywieniu w polu grawitacyjnym masywnych obiektów kosmicznych podlegają także promienie świetlne, co z powodu słabości tego efektu jedynie z wielkim trudem da się zaobserwować w Układzie Słonecznym, ale przy badaniu odległych galaktyk zaobserwowano obiekty silnie zakrzywiające światło i dające efekt tzw. soczewkowania grawitacyjnego.

Dodać należy, że teoria grawitacji Newtona, z której wynika, że takie ciała, jak planety, komety lub satelity, poruszają się po krzywych stożkowych (elipsach, parabolach i hiperbolach), również pozwala obliczyć kątowe odchylenie toru ciała poruszającego się z określoną prędkością (np. 300000 km/s) w pobliżu Słońca. Przewidywania teorii Newtona i Einsteina co do wielkości owego odchylenia różnią się jednak - kąt wynikający z teorii względności jest dwukrotnie większy. Jednym z pierwszych poważnych potwierdzeń teorii Einsteina były pomiary dokonane podczas zaćmienia Słońca w 1919 r. - okazało się, że doświadczenie potwierdza przewidywania Einsteina, a nie Newtona.

Geografia i geodezja - niemożliwość precyzyjnego oddania powierzchni kuli na płaszczyźnie spowodowała opracowanie różnego rodzaju odwzorowań stosowanych przy sporządzaniu map. Jedne z nich zachowują kąty pomiędzy liniami, inne stosunki pól, w jeszcze innych geodezyjne są liniami prostymi na mapie. Aby podać przykład odwzorowania kartograficznego o tej ostatniej własności wyobraźmy sobie przezroczysty globus, w którego środku znajduje się żarówka. Powstające na płaskiej ścianie cienie utworzą mapę obszaru nieco mniejszego niż połowa powierzchnia kuli ziemskiej.

Podręcznik dla nauczyciela

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

7

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

---