SZCZĘŚCIE, CAŁKA I NIESKOŃCZONOŚĆ

prof. Tadeusz Rzeżuchowski

Wykład zawiera elementy wychodzące poza program szkolny, ćwiczenia również. Narzędzia, których trzeba używać pochodzą już z programu szkolnego i warto podkreślać ich rolę.

Główny nacisk położony jest na prowadzenie rozumowania, dyskutowanie własności pojęć, zwracanie uwagi na konieczność precyzyjnego formułowania sądów i krytycznego myślenia.

Najtrudniejszym pojęciem, które się pojawia, jest pojęcie granicy ciągu. Celem jest doprowadzenie do rozumienia jego istoty oraz umiejętności prowadzenia rozumowania, dyskusji na jego temat. Natomiast nie chodzi o nabycie biegłości technicznej w znajdowaniu granic, czy prowadzenia operacji na ciągach zbieżnych.

1. Całka na wykładzie została określona w sposób opisowy, jako graniczna wartość przybliżeń przy coraz drobniejszych podziałach przedziału całkowania. W tym zadaniu chodzi o bardziej ścisłe wprowadzenia pojęcia granicy, na najprostszym przykładzie granicy ciągu.
   Na przykładzie ciągu a_n = 1/n można wprowadzić precyzyjne pojęcie granicy.

a) i. Rysujemy coraz krótsze przedziały o środku w g, wyrazy ciągu począwszy od pewnego wskaźnika wszystkie znajdują się w takim przedziale. Dla ciągu a_n = 1/n można wskazać od którego konkretnie wyrazu. Można wziąć kilka przykładowych wartości liczby ε i wskazać ten indeks, począwszy od którego wyrazy ciągu będą w przedziale. Można to zadanie rozszerzyć i rozważyć kilka innych ciągów.

ii. Przypomnienie czym jest funkcja i jej wykres.
Sposób interpretowania ciągu jako funkcji, charakter wykresu tej funkcji. Rysowanie pasma o grubości 2ε wokół prostej poziomej o równaniu y = g, interpretacja zbieżności ciągu do liczby g.

b) Warto zacząć od zastanowienia się jak wygląda zaprzeczenie warunku z definicji granicy.
Jeśli uczniowie znają zapis kwantyfikatorowy, to jest to okazja do ćwiczenie pisania zaprzeczenia zdania z kwantyfikatorami.
Okazja do zastanowienia się jak wygląda zaprzeczenie różnych zdań złożonych.

c) Przy tłumaczeniu na czym polega granica ciągu istnieje niebezpieczeństwo mylnej interpretacji, że jeśli jakiś wyraz ciągu znajdzie się w przedziale o promieniu ε, to następne też już muszą się w nim znajdować.
Tu warto, żeby uczniowie sami wymyślili przykład, że tak nie jest. Trudnością może być konieczność oderwania się od myślenia o ciągach opisywanych wyłącznie przy pomocy jakiegoś jednego wzoru - dla takich ciągów na ogół ten efekt nie występuje.
Zupełnie wystarczające jest, żeby uczeń ręcznie „zepsuł" jakiś „porządny" ciąg. Jeśli uda się znaleźć opis ciągu przy pomocy wzoru lub wzorów, tym lepiej. Najprostszy przykład, to

d) Tu kryje się pułapka i należy wyjaśnić, czy ciąg, o którym mowa jest w ogóle zbieżny, czy nie. W zależności od tego odpowiedzi będą różne. Sformułowanie zadania nie zawiera stwierdzenia, że ciąg jest zbieżny, ale można odnieść wrażenie, że taka sugestia jest w nim zawarta.
To jest okazja do pokazania jak ważna jest wnikliwa analiza tekstu i nieuleganie pierwszym wrażeniom.

e) To jest okazja do głębszego zrozumienia definicji zbieżności ciągu.
Trzeba zacząć od analizy tego, co chcemy udowodnić, a później próbować wykorzystać posiadane informacje. Precyzyjne rozróżnienie tych dwóch rzeczy jest tu kluczowe.

f) Mechaniczne traktowanie twierdzenia o granicy sumy powoduje, że uczniowie często nie zdają sobie sprawy z tego, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Najprostszym rozwiązaniem problemu jest wzięcie dowolnego ciągu, który nie jest zbieżny (nie trzeba go nawet określać wzorem, jeśli wiemy, że takie ciągi istnieją) i ciągu o wyrazach przeciwnych.
Prawdopodobnie na początku uczniowie będą mozolnie szukali konkretnych przykładów i tak jest dobrze, ale warto na koniec sprowadzić sprawę do uwagi z poprzedniego zdania.

2. Można zacząć od tego czym zastąpić przedział wokół skończonej liczby - będzie to półprosta. Jednak nie dla wszystkich ten sposób będzie naturalny. Warto rozważyć przykład ciągu

i przeprowadzić dyskusję czy jest on zbieżny do +∞ i dlaczego nie jest.

1. Tu trzeba precyzyjnie zapisać definicję zbieżności do +∞ (z użyciem kwantyfikatorów lub bez) i przedyskutować jak wygląda zaprzeczenie tego zdania.

2. Warto przypomnieć tu zasady zachowania się nierówności przy dzieleniu oby­dwóch stron przez jakiś wyraz. Dobrze jest zwrócić uwagę, że choć ciąg jest zbieżny do +∞, to skończenie wiele jego wyrazów może jednak być ujemnych, więc nierówność przy dzieleniu obydwóch stron przez wyraz jest określona począwszy dopiero od pewnego indeksu. Może się też zdarzyć, że niektóre wyrazy są równe 0 i w ogóle nie można dzielić przez nie. 

3. Uczeń może zasugerować się poprzednimi zadaniami i nie zauważyć, że może być nieskończenie wiele wyrazów dodatnich w tym ciągu i nieskończenie wiele ujemnych.

4. Warto rozwinąć zadanie i uzasadnić, że choć dla samego ciągu odpowiedź jest negatywna, to ciąg wartości bezwzględnych odwrotności będzie zbieżny do +∞.

3. Warto na początku nawiązać do sumy ciągu geometrycznego i dyskusji co to wła­ściwie znaczy, że wyraża się ona znanym wzorem - wiadomo że nie umiemy w arytmetyce dodawać nieskończenie wielu liczb.

1. Bezpośrednie wykorzystanie definicji sumy szeregu.

2. Tu warto zwrócić uwagę, że dodawane składniki są zbieżne do zera. Można poszukiwać innych przykładów ciągów zbieżnych do 0 i takich, że szereg ma sumę nieskończoną. Prosty przykład to wzięcie dowolnego ciągu zbieżnego do 0 (o wyrazach dodatnich) i powtarzanie każdego wyrazu tyle razy, żeby suma tych powtórzonych wyrazów była większa od 1. Ten przykład jest prostszy od szeregu odwrotności kolejnych liczb naturalnych, ale oczywiście szereg harmo­niczny (odwrotności liczb naturalnych) jest ważny jeszcze z innych względów.

3. Nawiązanie do sumy wyrazów ciągu geometrycznego.
   Zwrócić uwagę, że granica lewostronna funkcji f w punkcie 1 jest równa.
   To jest okazja, żeby wyjaśnić co to znaczy, że funkcja ma granicę w punkcie 0, również pojęcie granic jednostronnych.
   Zwrócić uwagę na wartość uzyskaną ze wzoru dla x = -1.

4. Warto zwrócić uwagę, że rozwiązując w sugerowany sposób ten problem korzy­sta się z możliwości rozbijania wyrazów szeregu na części i dowolnego grupo­wania tych części. Nie jest to własność oczywista, dokładne uzasadnienie tej możliwości i podanie granic jej stosowalności wykracza poza ramy tych zajęć.

4. W tym przykładzie najprościej jest pokazać, że można dobierać takie aproksymujące całkę sumy z coraz krótszymi przedziałami, na które dzieli się [a, b], że są one zawsze równe 0 oraz inne, które zawsze są równe
   b - a.
   Na tej podstawie można przeprowadzić dyskusję, że całka nie może istnieć.

5. Rozwiązując to zadanie warto przypomnieć definicję i podstawowe pojęcia związane z funkcjami.
   Własność różnowartościowości funkcji i suriektywności (odwzorowanie na całą przeciwdziedzinę) powinny być przedyskutowane, różne przykłady funkcji spełniających tylko jedną z tych własności (albo żadnej).
   Warto tu spróbować pokazać równoliczność dwóch dowolnych przedziałów, równoliczność otwartego przedziału z całą prostą (używając funkcji tangens).

6. Na początku można ten problem rozwiązać używając łączenia w pary. Potem warto doprowadzić do zdefiniowania pojęcia złożenia funkcji.
   Oddzielnie przeprowadzić dyskusję różnowartościowości złożenia funkcji różnowartościowych i suriektywności złożenia funkcji suriektywnych.
   Następnie doprowadzić do zdefiniowania pojęcia funkcji odwrotnej i dyskusji warunków, jakie funkcja musi spełniać, żeby istniała odwrotna.
   Wyszukać przykłady, w których funkcje składające się na złożenie nie spełniają niektórych własności i przedyskutować jaki to ma wpływ na złożenie. Na przykład czy złożenie funkcji, z których jedna nie jest suriektywna może być funkcją suriektywną? Podobny problem dla różnowartościowości. Odróżnić w tych przykładach rolę funkcji wewnętrznej i zewnętrznej.

7. Przypomnieć co to jest suma mnogościowa dwóch zbiorów. Następnie rozszerzyć to na skończoną liczbę zbiorów.
   Przeprowadzić dyskusję jak powinno się definiować sumę ciągu zbiorów. Następnie spróbować (o ile uczestnicy to zaakceptują) zdefiniować sumę dowolnej rodziny zbiorów.
   Podać przykłady na wszystkie te sytuacje.
   Przykład na sumę rodziny indeksowanej liczbami rzeczywistymi:

Przedstawić graficznie sumę mnogościową

W razie zainteresowania uczniów można podobne rozważania przeprowadzić dla czę­ści wspólnej skończonej, przeliczalnej lub dowolnej rodziny zbiorów.

Suma nieskończonej rodziny zbiorów niepustych może zawierać skończenie wiele elementów - o ile te zbiory zawierają elementy ze wspólnego, skończonego zbioru. Tu trzeba podać kilka konkretnych przykładów, choćby nieskończenie wiele zbiorów jednopunktowych, a ten punkt jest wspólny.

8. Na początku warto powrócić do pojęcia równoliczności zbiorów, do obrazowego po­kazania, że dwa odcinki dowolnej długości zawierają tyle samo punktów. Równoliczność kwadratu i boku jest już własnością zaskakującą. Równoliczność sze­ścianu i krawędzi też, ale znając przypadek kwadratu łatwiej w to uwierzyć. Dowód jest bardzo podobny, trzeba tylko z rozwinięcia dziesiętnego liczby na odcinku [0,1] brać co trzecią cyfrę i w analogiczny sposób utworzyć trzy liczby, które będą współ­rzędnymi punktu w sześcianie. Przeprowadzić dyskusję dlaczego w ten sposób utworzone odwzorowanie jest wza­jemnie jednoznaczne.

Podręcznik dla nauczyciela

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

4

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

---