SZCZĘŚCIE, CAŁKA I NIESKOŃCZONOŚĆ

prof. Tadeusz Rzeżuchowski

1. Całka została określona jako graniczna wartość ciągu przybliżeń.

Sprecyzujmy ogólne pojęcie granicy dla ciągu liczb a_n. Na przykład dla ciągu a_n=1/n jego granicą jest 0 - te liczby a_n wraz ze wzrostem n są coraz mniejsze, przybliżają się do zera, choć żadna z nich nigdy nie jest równa 0.

Definicja 0.1 Liczba g nazywa się granicą ciągu a_n, jeśli dla dowolnej liczby ε > 0 przedział [g — ε,g+ε] zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, to znaczy wszystkie oprócz skończonej liczby.

Mówi się wtedy też, że ciąg a_n jest zbieżny do liczby g, a zapisuje w taki sposób

g = lim_n→∞ a_n

1. Spróbuj zinterpretować graficznie znaczenie definicji granicy ciągu:

1. Interpretując ciąg jako kolejno pojawiające się punkty na osi liczbowej.

2. Interpretując ciąg jako funkcję, której argumentami są liczby naturalne, a wartości leżą na prostej liczbowej. Zastanów się jaki charakter ma wykres tej funkcji, jeśli ciąg jest zbieżny.

2. Podaj przykład ciągu, który nie ma granicy.

3. Zastanów się, czy jeśli ciąg a_n jest zbieżny do liczby g i dla pewnej liczby ε > 0 jakiś wyraz tego ciągu należy do przedziału [g —ε ,g + ε], to wszystkie następne wyrazy też muszą do tego przedziału należeć.

4. Zastanów się, czy zaprzeczeniem stwierdzenia, że ciąg a_n jest zbieżny do liczby g jest zdanie, że ciąg a_n jest zbieżny do liczby różnej od g.

5. Spróbuj uzasadnić, że jeśli ciąg a_n jest zbieżny do a, ciąg b_n jest zbieżny do b, to ciąg a_n + b_n jest zbieżny do a + b.

6. Spróbuj uzasadnić stwierdzenie, że jeśli ciąg a_n + b_n jest zbieżny, to ciągi a_n i b_n niekoniecznie są zbieżne.

2. Zastanów się jak można zdefiniować zbieżność ciągu do +∞. A jak zbieżność
   do -∞?

1. Zastanów się czy zaprzeczeniem zdania „Ciąg jest zbieżny do +∞" jest zdanie „Ciąg jest zbieżny do -∞"

2. Jak uzasadnić, że jeśli ciąg jest zbieżny do +∞, to ciąg odwrotności wyrazów tego ciągu jest zbieżny do 0?

3. Czy jest prawdziwe, że jeśli wyrazy ciągu są różne od zera i ciąg ten jest zbieżny do 0, to ciąg odwrotności jest zbieżny do +∞?

3. 
   Dodawanie nieskończenie wielu liczb u1,u2,u3, ... polega na tym, że tworzy się coraz dłuższe sumy

i jeśli ciąg tych sum S1, S2, S3, . . . ma granicę, to tę granicę uważamy za sumę

wszystkich liczb.

Mówi się też, że jest to suma szeregu o wyrazach u1, u2, u3, . . . .

(a) Uzasadnij, że suma liczb

istnieje i podaj jej wartość.

Wskazówka. Spróbuj rozłożyć ułamek frac1n · (n + 1) na różnicę dwóch ułamków

i znajdź prosta reprezentacje skończonej sumy początkowych wyrazów.

(b) Uzasadnij, że suma

jest nieskończona (suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych.

Wskazówka. Uzasadnij nierówność

i wykorzystaj ją grupując wyrazy badanej sumy w taki sposób.

(c) Znajdź dziedzinę funkcji określonej w następujący sposób

f(x) = 1 + x + x² + x³ + . . .

Jakim wzorem można tę funkcję opisać?

Czy naturalna dziedzina funkcji danej tym wzorem jest taka sama jak dziedzina

funkcji f?

(d) Dla x ∈ (−1, +1) znajdź wzór na sumę

czyli

x + 2x² + 3x³ + 4x⁴ + . . .

Wskazówka. Skorzystaj z takiej formy przedstawienia tej sumy

i wyznacz najpierw sumy w kolumnach.

4. Tak zwana funkcja Dirichleta jest określona w następujący sposób

Zastanów się dlaczego ta funkcja nie może mieć całki na żadnym przedziale [a, b].

5. Stwierdzanie równoliczności dwóch zbiorów A, B, czyli łączenie ich elementów w pary, można interpretować jako określanie odwzorowania

Zastanów się jakie własności ma to odwzorowanie.

6. Zastanów się jak uzasadnić, że jeśli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, a zbiór B jest równoliczny ze zbiorem C, to zbiór A jest równoliczny ze zbiorem C.

7. Zastanów się jak uzasadnić, że jeśli każdy ze zbiorów A_n jest skończony, to zbiór

do którego należą wszystkie punkty należące do chociaż jednego ze zbiorów A_n, jest przeliczalny lub skończony.

Czy rzeczywiście może się zdarzyć, że jest on skończony?

8. Zastanów się jak uzasadnić, że zbiór punktów sześcianu jest równoliczny ze zbiorem punktów dowolnej ze swoich krawędzi.

Wskazówka. Spróbuj podobnego sposobu jak przy dowodzeniu równoliczności kwa­dratu i boku.

Zeszyt ćwiczeń

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

4

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

---