GEOMETRIA JEST PROSTA

prof. Krzysztof Chełmiński

Zadanie 1.

Na płaszczyźnie dane są 4 parami nierównoległe proste l₁, l₂, l₃, l₄ oraz punkt O nie należący do żadnej z tych prostych. Znajdź punkty A_i ∈ l_i dla i = 1, 2, 3, 4 takie, że czworokąt A₁A₂A₃A₄ jest równoległobokiem, którego środkiem symetrii jest punkt O.

Rozwiązanie

Zadane proste zawierają boki czworokąta wypukłego P₁P₂P₃P₄. Grupujemy zadane proste w dwie pary. Pierwsza para to proste P₁P₂ i P₃P₄ oraz druga para to proste P₁P₄ i P₂P₃. Za każdym razem bierzemy parę prostych zawierających przeciwległe boki tego czworokąta. Do prostych P₁P₂ i P₃P₄ oraz punktu O stosujemy zadanie z wykładu, tzn. znajdujemy na tych prostych takie punkty A₁ i A_3, aby punkt O był środkiem odcinka A₁A₃. W tym celu wystarczy przekształcić prostą P₁P₂ w symetrii środkowej względem punktu O i punkt przecięcia się tego obrazu z prostą, P₃P₄ wyznacza punkt A₃. Punkt A₁ jest obrazem A₃ w tej symetrii. W ten sposób znajdujemy jedną przekątną poszukiwanego czworokąta. Następnie postępujemy podobnie z parą prostych P₁P₄ i P₂P₃ oraz z punktem O i znajdujemy drugą przekątną A₂A₄ równoległoboku. Wprost z definicji punktów A_i dla i = 1, 2, 3, 4 widzimy, że czworokąt A₁A₂A₃A₄ jest równoległobokiem, którego środkiem symetrii jest rzeczywiście punkt O.

Zadanie 2

Dany jest kąt wypukły α o wierzchołku P oraz odcinki o długościach t i a. Poprowadzić prostą, która odetnie od kąta trójkąt PAB o obwodzie 2t taki, że AB = a.

Rozwiązanie

Konstrukcja poprowadzenia wymaganej w zadaniu prostej jest związana z następującym dodatkowym zadaniem:
Dane są dwa okręgi rozłączne o₁, o₂ o promieniach r₁ < r₂. Niech k i l będą wspólnymi stycznymi zewnętrznymi do obu tych okręgów (tzn. takimi stycznymi, że oba okręgi leżą po tej .samej stronie stycznej). Styczne te przecinają się w punkcie P. Oznaczmy punkty styczności prostej k z o₁ i o₂ przez A i B oraz punkty styczności l z o₁ i o₂ przez C i D. Wspólna styczna wewnętrzna m do danej pary okręgów (tzn. taka styczna, że dane okręgi leżą po różnych stronach tej stycznej) przecina k i l w punktach K i L odpowiednio. Wykaż, że KL = AB.

Rozwiązanie

Oznaczmy punkty styczności m z okręgami przez E i F. Z najmocniejszego twierdzenia geometrii mamy KF = KB oraz KA = KE. Wystarczy więc wykazać, że
KE = FL. Jednakie ponownie z najmocniejszego twierdzenia geometrii mamy AB = 2KE + EF oraz CD = 2FL + EF i stąd, że AB = CD otrzymujemy tezę zadania dodatkowego.

Wracamy do zadania 2. Opierając sie na zadaniu dodatkowym przeprowadzamy następującą konstrukcję: na obu ramionach kąta odkładamy od wierzchołka odcinki długości t i otrzymujemy punkty B i D. Z otrzymanych punktów odkładamy w kierunku do wierzchołka odcinki o długości a (z warunków zadania wynika, że a < t). Otrzymujemy punkty A i C. Rysujemy okręgi styczne do ramion kąta w punktach B, D i A, C. Wspólna styczna wewnętrzna odcina od ramion kąta trójkąt o zadanych własnościach.

Zadanie 3.

Niech AB i CD będą nieprzecinającymi się cięciwami danego okręgu o. Znajdź kąt pomiędzy AC i BD.

Rozwiązanie

Zakładamy, że AC i BD się przecinają. Odpowiedz w tym zadaniu zalety od tego, czy punkt przecięcia się tych prostych leży wewnątrz czy na zewnątrz okręgu. Rozwalmy pierwszy przypadek. Oznaczmy punkt przecięcia się prostych AC i BD przez P. Widzimy, że poszukiwany kąt jest kątem zewnętrznym w trójkącie PBC przy wierzchołku P. Jest więc równy sumie dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta przy wierzchołkach B i C. Stąd miara tego kąta jest równa sumie kątów wpisanych opartych na łukach AB i CD. W przypadku gdy P leży na zewnątrz okręgu rozumując analogicznie otrzymujemy, że poszukiwany kąt jest równy rojnicy kątów wpisanych opartych na łukach AB i CD.

Zadanie 4.

Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta ABC są wysokościami trójkąta o wierzchołkach będących punktami przecięcia się dwusiecznych z okręgiem opisanym na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Niech A', B', C' będą punktami przecięcia się dwusiecznych kątów A, B, C z okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Nalepy wykazać, że prosta AA' jest prostopadła do prostej B 'C'. Niech P będzie punktem przecięcia się tych prostych. kąt wewnętrzny trójkąta PA'C' przy wierzchołku C' jest kątem wpisanym w okrąg opartym na sumie luków B'C i CA'. Natomiast kąt wewnętrzny tego trójkąta przy wierzchołku A' jest kątem wpisanym w okrąg opartym na luku C'A. Stąd, że suma wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180° mamy, że suma luków B'C, CA' i C'A jest połowa okręgu. Tak więc suma kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A' i C' wynosi 90°, co jest równoważne stwierdzeniu, że kąt trójkąta PA'C' przy wierzchołku P jest prosty.

Zadanie 5

Wykaż, że symediana CK dzieli postawę AB trójkąta w stosunku (AC)² : (BC )²

Rozwiązanie

Oznaczmy przez M środek boku AB. Z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów ACM oraz MBC mamy

Stąd, że AM = MB oraz sin ∠AMC = sin ∠BMC otrzymujemy równość AC sin ∠ACM = CB sin ∠MCB. Podobnie stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ACK oraz KBC mamy

Ponownie zauważając, że sin ∠AKC = sin ∠BKC oraz, że ∠ACK = ∠MCB, ∠ACM = ∠BCK dostajemy

Zadanie 6

Wykaż, że jeżeli AK jest symedianą w trójkącie ABC to styczne do okręgu opisanego na tym trójkącie w punktach B i C oraz AK są współpękowe.

Rozwiązanie

Niech D będzie punktem przecięcia się stycznych do okręgu opisanego na trójkącie ABC w punktach B i C. Oznaczmy przez M środek odcinka BC. Na przedłużeniu boku AB znajdujemy taki punkt X, aby ∠DXB = ∠DBX. Niech Y będzie punktem przecięcia się prostych XD i AC. Z konstrukcji punktu X trójkąty ABC i AYX są podobne. Stąd ∠DYC = ∠CBA oraz trójkąty XDA i CMA są podobne. Z tego podobieństwa wynika, że ∠BAD = ∠CAM. Oznacza to, że AD jest symedianą i punkt przecięcia AD z bokiem BC musi być punktem K.

Zeszyt ćwiczeń

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

3

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

---